1. feladat

1. 1. feladat Egy osztályban egy fiúnak négyszer annyi fiú osztálytársa van, mint lány. Egy lány fiú osztálytársainak a száma a lány osztálytársai számának ugyancsak egész számszorosa. Hány fiú és hány lány jár ebbe az osztályba, ha az osztálylétszám 30-nál több?

2.   Mivel az osztálylétszám 30-nál nagyobb, ezért 6 lány és 25 fiú lehet csak ebben az osztályban.

3. 2. feladat Egy 90 km hosszú pályán egy kerékpáros állandó sebességgel haladva valamikor elhaladt egy km-kő mellett, melyre az AB kétjegyű szám volt írva. Egy óra múlva a BA km-kő mellett haladt el, majd újabb egy óra elteltével célba ért. Mennyi idő alatt tette meg a 90 km-t?

4. A feltételek szerint A jobb oldal páros, ezért a bal oldalnak, tehát B-nek is párosnak kell lennie. De nem lehet 4-gyel osztható, mert a 90 nem osztható 4-gyel. Tehát B = 2-re a bal oldal legfeljebb 38, így B = 6, és ezzel A = 3. A sebesség 27 km/h, a keresett idő:

5. 3. feladat Milyen számjegyeket írjunk az egyes négyszögekbe, hogy helyes szorzást kap-junk?

6. Az egyedüli helyes megoldás:

7. 4. feladat a) A fiam idén (2005-ben) annyi idős, mint születési éve számjegyeinek összege. Hány éves a fiam? b) Nagyapám viszont idén annyi idős, mint születési éve számjegyei négyzetének összege. Ő hány éves?

8. a) és a páratlan, így csak lehet, és ekkor A születési év 1979, tehát 2005-ben a gyerek 26 éves. b) Itt a = 1 vagy a = 0 lehet csak.

9. Ha a = 0, akkor Ez nem lehetséges, hiszen a 23 nem bontható fel két szomszédos egész szorzatára. Ha a = 1, akkor A születési év: 1913, tehát idén a papa: 92 éves.

10. 5. feladat Gondoljunk egy olyan háromjegyű számra, melyben a százasok és az egyesek helyén levő számjegyek különbsége legalább 2. Vegyük e szám „fordítottját”, majd a nagyobb számból vonjuk ki a kisebbiket, végül a különbséghez adjuk hozzá annak a „fordítottját” Eredményül mindig 1089-et kapunk. Vajon miért?

11. 6. feladat Nyuszi készített karácsonyra egy-egy ajándékot Micimackónak és minden üzletfelének. Nyuszi üzletfelei ugyancsak készítettek egy-egy ajándékot Nyuszinak, Micimackónak és egymásnak. Ezután az ajándékokat egy kupacba rakták a Nagy Tölgy-fa tövébe, ahol Róbert Gida megszámolta őket, majd így szólt Micimackóhoz: - Lám, az ajándékok száma olyan 200-nál na-gyobb háromjegyű szám, melynek minden szám-jegye pozitív négyzetszám. Mondd meg kedves Micimackó: Hány üzletfele van a Nyuszinak?

12. 7. feladat Pisti meglátott a kirakatban egy nagyon olcsó szendvicset. Mivel igen éhes volt, bement a boltba, hogy megvásárolja, ám a pénztárnál 1 Ft-tal számoltak kevesebbet, mint a kirakatban látott ár kétszerese. Mikor reklamált, kiderült, hogy a kirakatban a szendvics árát (mely Ft-ban három jegyű egész szám) feltüntető papíron a szám-jegyeket véletlenül fordított sorrendben írták ki. Mennyibe került a szendvics?

13. 8. feladat Legyenek p és q prímszámok. Igazoljuk, hogy nem lehet prímszám!

14. 9. feladat Az x és y pozitív egész számok számtani, ill. mértani közepe az kétjegyű számok. Határozza meg az x és y számokat!

15. 10. feladat Legyenek p>s>z prímek. Egy dobozban elhelyeztünk p4 db piros, s4 db sárga és z4 db zöld golyót. Legyen k az a legkisebb pozitív egész szám, ahány golyót ki kell venni a dobozból, hogy biztosan legyen a kivett golyók között három különböző, n pedig az a legkisebb szám, ahány golyót ki kell venni a dobozból, hogy biztosan legyen közöttük három egyforma. Összesen hány golyó van a dobozban, ha ugyancsak prímszám?