Simulation pour les nanotechnologies : de la physique quantique au transistor

2008 Simulation pour les nanotechnologies : de la physique quantique au transistor François Triozon Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Résumé • Théorie semi-classique du transport électronique • Fondements, illustrations • Succès pour la simulation des transistors • Théorie quantique du transport • Bref historique • Exemples illustratifs • Développements actuels • Exemple : transport dans les nanotubes de carbone • Difficultés théoriques Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Partie IThéorie semi-classique du transport électronique Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Pourquoi « semi-classique » ? • La nature ondulatoire des électrons domine les propriétés des molécules et des solides • Pourtant, le transport électronique est souvent bien décrit par des modèlesparticulairesdits « semi-classiques » • Les paramètres de ces modèles particulaires contiennent (cachent) l’aspect ondulatoire Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Semi-conducteurs et métaux Electrons dans un solide cristallin : • états stationnaires = ondes de Blochrelations de dispersionEn(k) (= ħwn(k)) → bandes d’énergies permises  propagation balistique + diffusion sur défauts du cristal • statistique de Fermi-Dirac Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Exemple 1 : Cuivre Dernière bande partiellement remplie → métal G. Onida et al., Rev. Mod. Phys. 2002 niveau de Fermi vecteur d’onde k Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Exemple 2 : Silicium Bande complète → semi-conducteur ou isolant Y.M. Niquet et al., Phys. Rev. B 2000 états vides bande interdite 1.1 eV états occupés vecteur d’onde k Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Remarques • Electrons dans un cristal =problème à N corps Ici on se limite aux liquides de Fermi. Les états excités du système de N électrons se comportent comme des fermions admettant des relations de dispersion En(k) :quasiparticules (électrons et trous) • Pourquoi une bande totalement remplie ne conduit-elle pas ? Comme nous allons le voir, c’est un phénomène ondulatoire. Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Ondes de Bloch potentiel périodique vu par un électron dans un cristal parfait Equation de Schrödinger stationnaire : Théorème de Bloch : les états stationnaires sont de la forme : vecteur d’ondes indice de bande ( plusieurs états à donné) a la périodicité du cristal Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Relations de dispersion 1ère zone de Brillouin largeur  2p/a a = distance interatomique états identiques dynamique de l’électron Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Paquets d’ondes et vitesse de groupe « Vitesse » d’un électron dans l’état de Bloch? opérateur courant paquet d’ondes 2 méthodes : Fourier  W >> distance interatomique Dk << 1ère zone de Brillouin Vitesse de groupe : Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Illustration : evolution d’un paquet d’ondes E kx Hamiltonien 2D discrétisé sur réseau carré (a = pas du réseau, t = 1 eV) Evolution à pas de temps égaux : m* « masse effective » Bas de bande : Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Effet d’un champ électrique E (eV) 0 b -2 eV a a kx b Bande complète  compensation entre e- accélérés et ralentis  pas de courant Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Effet d’une impureté ionisée -e (E. Sarrazin, CEA/LETI) Théorème d’Ehrenfest → mouvement classique du centre du paquet d’ondes Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Aspect probabiliste Vision plus correcte : diffusion quantique impureté • Pour améliorer la description semi-classique, on ajoute • un caractère probabiliste aux collisions. • Les probabilités de diffusion peuvent être : • ajustées sur des expériences • calculées dans un modèle quantique (règle d’or de Fermi) Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Formulation de la théorie semi-classique • Relations de dispersion ou masses effectives  vitesse, réponse à un champ électrique • Sections efficaces de collision sur défauts et phonons • Collisions indépendantes (pas de cohérence de phase) • Equation de Boltzmann pour la fonction de distribution f(n,k,r) des électrons : Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Exemple : transistor MOSFET Metal-Oxyde-Semiconductor Field Effect Transistor Grille oxyde < 1 nm Source Drain LG = qq. dizaines de nm BOX (S. Martinie, CEA/LETI) Impuretés, défauts … Electron Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Diagramme de bandes canal controlé par l’électrode de « grille » silicium pur ou dopé P « Drain » silicium dopé N « Source » silicium dopé N bande de conduction mS e- mD bande interdite 1.1 eV bande de valence Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Simulation (logiciel commercial) VGS = 0.05 V e- VGS = 0.7 V VDS = 0.05 V potentiel -eV(x) en eV transport diffusif (impuretés, phonons) VDS = 0.7 V (S. Martinie, CEA/LETI) Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Simulation (logiciel commercial) VGS = 0.05 V e- VGS = 0.7 V VDS = 0.05 V potentiel -eV(x) en eV transport balistique VDS = 0.7 V (S. Martinie, CEA/LETI) Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Aperçu de la simulation pour l’électronique TCAD : Technology Computer-Aided Design • Transport électronique dans le dispositif unique (transistor, diode) • Procédés (implantation de dopants, lithographie, …) • Simulation de circuits : quelques transistors  plusieurs milliers • Electromagnétisme (couplages parasites) Forte compétence au CEA-LETI. Lien avec les dispositifs réalisés en salle blanche. Longueur des transistors étudiés : < 20 nm  la théorie semi-classique atteint ses limites Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Partie IIThéorie quantique du transport électronique Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Pour décrire quels phénomènes ? • Transport dans des matériaux non massifs : • interfaces entre matériaux (exemple : électrode/canal) • dimensions nanométriques • Cohérence quantique : • basse température et/ou dimensions nanométriques Mêmes phénomènes quantiques que précédemment, mais on ne peut plus les cacher dans quelques paramètres. Ces phénomènes dépendent fortement du système : matériaux, géométrie, … Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Bref historique • Effet tunnel à travers une couche mince isolante (années 60) • Conductance d’un système 1D connecté à des réservoirs  formule de Landauer, quantum de conductance (1957) • Fonctions de Green hors-équilibre (Keldysh, 1965) appliquées au transport : Caroli et al., J. Phys. C 1971 • Conductance « multi-canaux » de Landauer-Büttiker : M. Büttiker et al., Phys. Rev. B 1985 Idée : système petit et/ou quantiquement cohérent connecté à des réservoirs (électrodes de mesure)  Intérêt fondamental. Physique « mésoscopique ». Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Canal 1D idéal connecté à des réservoirs V S D contacts « transparents » Energie Courant ? limité par le principe de Pauli mS Dm=-eV mD compensation du courant Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Calcul du courant E(k) mS mD k p/a -p/a Densité d’états de vitesse > 0 par unité de longueur et d’énergie : (vitesse) avec Densité par unité de longueur, dans l’intervalle d’énergie [mD,mS] : D’où le courant : Quantum de conductance Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Où a lieu la dissipation ? Canal idéal (balistique) l’électron n’y cède pas d’énergie E e- mS mD trou La dissipation a lieu dans les réservoirs Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Généralisation (S) mode n mode m Tmn R L Système (S) = canal + une partie des réservoirs Tmn coefficient de transmission du mode n au mode m Conductance de Landauer-Büttiker : Conductance maximale =nb. de modes x Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Illustration Gaz d’électrons confiné sur une bande de largeur nanométrique. Analogue à un guide d’ondes. 1 énergie  1 ou plusieurs modes transverses E(k) A cette énergie : 3 modes de vitesse positive k Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Barrière tunnel Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Barrière tunnel 1-T T Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Diffusion sur un défaut E(k) k Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Formalisme adapté : fonctions de Green Calcul de la transmission des différents modes  recherche desétats de diffusion : onde incidente  ondes transmises et réfléchies L S R état incident dans L, d’énergie E état de diffusion associé, d’énergie E aussi Lippmann-Schwinger : fonction de Green retardée hamiltonien de couplage entre (S) et les électrodes Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Calcul du courant et de la charge On remplit les états de diffusion venant de L selon le potentiel chimique mL. Idem pour ceux venant de R. La contribution de tous ces états donne le courant et la répartition de charge dans le système. E mL mR Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Interactions Il existe un formalisme plus général (fonctions de Green hors-équilibre, « NEGF ») qui permet en principe de traiter les interactions dans le canal :  électron-phonon  électron-électron Introduit par Caroli et al., J. Phys. C 1971 pour calculer les courants tunnel. C’est une méthode perturbative. Nombreuses variantes selon le système étudié. Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Partie IIIDéveloppements actuels Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Nanotubes de carbone : introduction E k (5,5) Nombre de canaux :  métallique Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Nanotubes de carbone : introduction E k (8,0) Nombre de canaux :  semi-conducteur Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Simulation d’un transistor FET à nanotube grille coaxiale e- source drain nanotube semi-conducteur Equation de Poisson potentiel électrostatique V(r) → modification du hamiltonien → calcul de la densité de charge r(r) (Schrödinger méthode Green) Une fois l’autocohérence atteinte, on calcule le courant Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Exemple : FET à contacts Schottky VDS = 0.5 V VG = 0.2 V FB (modèle simple pour les contacts) Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Exemple : FET à contacts Schottky VDS = 0.5 V VG = 0.6 V FB électrons Remarque : forte dispersion des données expérimentales : la hauteur de barrière dépend du contact et de son environnement (cf. expériences DRECAM) Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Quelques difficultés théoriques • Besoin d’hamiltoniens réalistes pour lesinterfaces(contacts métal/nanotube), les dopants, les défauts…  apport des calculs de structure électroniqueab initio(fonctionnelle de la densité :DFT) • Transistor  fort champ électrique  modification non triviale de la structure électronique • Couplageélectron-phonon  calculs lourds • Système hors-équilibre la DFT n’est pas fiable. Recherches théoriques sur la « Time-Dependent DFT » appliquée au transport Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Simulation de contacts métal/nanotube Calculs ab initio DFT, C. Adessi (LPMCN, Lyon) et X. Blase (Institut Néel, Grenoble) Transmission Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Effet d’un dopant unique sur le courant nanotube semi-conducteur nanotube métallique (C. Adessi, S. Roche, X. Blase, PRB 2006) Perspectives : fonctionnalisation des nanotubes par greffage moléculaire  capteurs chimiques ou optiques. Lien avec travaux expérimentaux du DRECAM Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Couplage électron-phonon • Les phonons optiques ouvrent un gap dans les nanotubes • métalliques • forte influence sur la conductance • non traitable par une méthode perturbative  lourd ! L. Foa Torres et S. Roche, PRL 2006 (DSM/INAC) Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Nanofils de silicium Effet de la rugosité de surface sur le transport A. Lherbier, et al. PRB 2008 (collab. INAC et LETI) Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Et bien d’autres thématiques… • Calculs ab initio d’interfaces métal-oxyde-semi-conducteur (activité au LETI : Ph. Blaise) • Dynamique moléculaire : diffusion de dopants (INAC/L_Sim), croissance de nanotubes (DRECAM) • Chimie quantique • Etats excités, spectroscopie, propriétés optiques des nano-objets Forum Théorie 2008 - F. Triozon

Conclusion • Les logiciels de simulation actuels deviennent limités pour l’électronique aux petites dimensions • Diversité des nouveaux matériaux + complexité de la physique  les logiciels pour la nano-électronique sont difficiles à mettre au point • Les données expérimentales deviennent nombreuses  bons tests pour les modèles. Il faut faire de la science. Forum Théorie 2008 - F. Triozon

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