Różne własności liczb naturalnych

2. Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: ZESPÓŁ SZKÓŁ CENTRUM KSZTAŁCENIA ROLNICZEGO im. W.WITOSA w BONINIE ID grupy: 97/42_mf_g1 Kompetencja: MAT-FIZ Temat projektowy: Różne własności liczb naturalnych Semestr/rok szkolny: II /2010/2011

3. „Bóg stworzył liczby naturalne, wszystko inne jest dziełem człowieka” • Leopold Kronecker

4. Liczby naturalne • Zbiór liczb naturalnych {0,1,2,3, …} • oznaczamy przez N. • Liczb naturalnych jest nieskończenie wiele. Najmniejszą liczbą naturalną jest 0. Nie ma liczby największej.

5. Ciąg Fibonacciego • Wyrazy ciągu Fibonacciego to:0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181. • Pierwszy wyraz jest równy 0, drugi jest równy 1, każdy następny jest sumą dwóch poprzednich. • Ciąg został podany w 1202 roku przez Leonarda z Pizy zwanego Fibonaccim. Nazywanie tego ciągu jako ciąg Fibonacciego spopularyzował w XIX Edward Lucas.

6. Ciąg Fibonacciego • Matematycy odkryli, że ciąg Fibonacciego można odnaleźć w przyrodzie. Opisuje liczbę pędów rośliny jednostajnie przyrastającej w latach. • W słoneczniku możemy zaobserwować dwa układy linii spiralnych, wychodzących ze środka. Liczba linii rozwijających się zgodnie z ruchem wskazówek zegara wynosi 55 i tylko 34 skręconych w przeciwną stronę. • Takie same spirale można zaobserwować na wielu innych roślinach, takich jak kalafior, ananas czy szyszki. Liczby spiral występujących w tych roślinach są kolejnymi liczbami Fibonacciego.

8. Liczby bliźniacze • Greccy matematycy ze szkoły pitagorejskej cenili sobie harmonię wśród liczb, dlatego interesowali się liczbami bliźniaczymi, czyli takimi parami kolejnych liczb pierwszych, których różnica jest równa 2. • Na przykład: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31) • W 1949 r. P.A. Clement następująco scharakteryzował liczby pierwsze bliźniacze: niech n ≥ 2. Liczby n i n + 2 tworzą parę liczb pierwszych bliźniaczych wtedy i tylko wtedy, gdy • 4((n - 1)! + 1) + n ≡ 0 (mod n(n + 2)).

9. Liczby czworacze • Istnieją także czwórki kolejnych liczb pierwszych, dające dwie pary liczb bliźniaczych, na przykład • 11, 13, 17, 19 lub 191, 193, 197, 199. • Jeżeli taką czwórkę tworzą liczby pierwsze • p, p+2, p+6 i p+8, • to pary takie nazywamy liczbami czworaczymi.

10. Liczba doskonała • Liczba doskonała, liczba naturalna n, będąca sumą wszystkich swoich podzielników różnych od niej samej, np. 28=1+2+4+7+14. Inne znane liczby doskonałe to np.: 6, 496, 8128. • Parzyste liczby doskonałe mają postać: • n=2(k-1)(2k-1), • o ile 2k-1 jest liczbą pierwszą (k - pewna liczba naturalna). Twierdzenie powyższe udowodnił Euklides.

11. Liczby Mersenne’a • Liczbami Mersenne’a nazywamy liczby postaci 2p - 1, gdzie p jest liczbą pierwszą. Liczby tej postaci oznaczamy obecnie M[p]. Okazało się, że cztery pierwsze liczby Mersenne'a: M[2] = 22 - 1 = 3, M[3] = 23 - 1 = 7,M[5] = 25 - 1 = 31, M[7] = 27 - 1 = 127, są liczbami pierwszymi, ale następna liczba: • M[11] = 211 - 1 = 2047 • nie jest pierwsza, gdyż rozkłada się na czynniki 23 i 89. • Największą liczbę pierwszą jaką wyznaczyły do tej pory najpotężniejsze na świecie komputery jest 213466917 - 1. Ma ona 4053946 cyfr.

12. BIBLIOGRAFIA • http://www.swiatmatematyki.pl • http://www.math.edu.pl • http://www.bimago.pl/obrazy-cyfrowe/3d/ciag-fibonacciego.html • http://www.megamatma.pl/uczniowie/powtorka-z-podstawowki/liczby-elementy-algebry/liczby-naturalne • http://osilek.mimuw.edu.pl/index.php?title=Analiza_matematyczna_1/Wyk%C5%82ad_1:_Zbiory_liczbowe