Þyngdarlögmál Newtons og Keplers lögmálin

1. Þyngdarlögmál Newtons og Keplers lögmálin

2. Í stjörnufræði og stjarneðlisfræði er algengt að vinna með einingar sem tengjast þremur mikilvægum stærðum í sólkerfinu. Það er meðalfjarlægð jarðar frá sól sem er um 1,5·1011 m og kallast AU eða stjarnfræðieining. Massi jarðarinnar sem er 6·1024 kg, merkt með Me og endanlega massi sólarinnar sem er 2·1030 kg, táknað með Ms.

3. Kepler setti fram þrjú lögmál um brautir reikistjarnanna. Þessi lögmál voru eingöngu fengin með því að prófa hvernig rúmfræðilegar reglur lýstu mælingunum best. Kepler hafði enga hugmynd um hvers vegna brautir reikistjarnanna eru eins og þær eru. Afrek hans er það að hafa haft þrautseigju til að vinna þessa vinnu og gera kröfur um að misræmi milli mælinga og reikninga væri minna en mælinákvæmnin.

4. Lögmál Keplers • 1. lögmálið er svona: Brautir reikistjarnanna eru sporbaugar með sólina í öðrum brennipuntinum.

5. Lögmál Keplers • 2. lögmálið er svona: Tengilína reikistjörnunnar og sólar fer alltaf yfir jafnstórt flatarmál á jafnlöngum tíma.

6. Lögmál Keplers • 3. lögmálið er svona: Fyrir hvaða reikistjörnu sem er gildir að umferðatími hennar T í öðru veldi deilt í langás brautar hennar a í þriðja veldi er fasti

7. Sólfastinn • Kepler komst þannig að sambandi milli stöðu reikistjörnunnar í sólkerfinu og þess tíma sem hver umferð tekur. Fastinn er kallaður sólfastinn og verður skýrður síðar, öll kerfi með miðlægum hnetti og hlut á braut um hann hefur sinn fasta sem einkennir kerfið. Jörðin hefur sinn sem einkennir braut tunglsins um hana og líka ferðir gervihnatta á braut um jörð.

8. Þyngdarlögmál Newtons • Newton setti fram að milli hverra tveggja massa í alheiminum virkaði aðdráttarkraftur sem væri í réttu hlutfalli við margfeldi massanna og í öfugu hlutfalli við fjarlægðina milli þeirra í öðru veldi

9. Þyngdarlögmál Newtons • G hefur gildið

10. Þyngdarlögmál Newtons • Í kafla 5 var meðal annars skilgreint mætti fyrir miðlægan kraft, nú er um sérhvern massa þyngdarsvið sem er kraftsvið og því má lýsa með mætti. Samkvæmt jöfnu 5-42 fæst mættið

11. Þyngdarlögmál Newtons • sem leiðir af sér að mættið verður

12. Þyngdarlögmál Newtons • Styrkur þyngdarsviðsins er skilgreindur svona: Þar sem eina stærðin sem ekki er tengd massanum sem veldur sviðinu er massinn m sem sviðið verkar á er styrkur þess • sem að sjálfsögðu er þyngdarhröðunin í fjarlægðinni r frá miðjunni.

13. Þyngdarlögmál Newtons • Áður hefur verðið sett fram hvernig finna má stöðuorku í þyngdarsviði jarðar í nánd við yfirborð hennar. Nú verður þetta sett fram almennar og það fyrsta sem blasir við að velja verður hentugan núllpunkt fyrir stöðuorkuna. Þar sem mættið gefur til kynna að í miðju kerfisins sé ósamfella og að í óendanlegri fjarlægð stefni það á 0 er eðlilegt að velja að núllpunktur stöðuorkunnar sé í óendanlegu sem gefur að stöðuorkan er ávalt negatíf og því er heildarorkan líka negatíf fyrir hluti sem eru á lokuðum brautum.

14. Þyngdarlögmál Newtons • Þá má rita stöðuorkuna samkvæmt jöfnu 5-43

15. Þyngdarlögmál Newtons • Eitt sem gert er ráð fyrir þegar verið er að skoða þyngdarsvið utan við hluti er að líta megi þannig á að allur massinn sé í massamiðju hans. Þetta er í fullkomlega rétt fyrir kúluaga hnetti, flestir hnettir eru mjög nærri því að vera kúlulaga svo þetta er góð nálgun.

16. Þyngdarlögmál Newtons • Nú er að öðru að hyggja. Inni í hnettinum hlýtur líka að vera þyngdarsvið. Þyngdarkrafturinn hlýtur líka að vera hverfandi í (massa)miðju hans. Það er hann hlýtur að minnka frá yfirborði hnattarins inn að miðju. Það er styrkur sviðsins minnkar frá yfirborði inn að miðju.

17. Þyngdarlögmál Newtons • Fyrir r minna en R, R er radíus hnattarins, og ef eðlismassinn er fasti er massinn, sem er innan við r, gefinn sem

18. Þyngdarlögmál Newtons • fæst fyrir styrk þyngdarsviðsins • Með þessari framsetningu er komin rétt niðurstaða, að þyngdarkrafturinn inni í hnettinum er í réttu hlutfalli við fjarlægðina frá miðju.

19. Þyngdarlögmál Newtons • Ef hlutur með massa m er á lokaðri braut í þyngdarsviði þá er samkvæmt jöfnu 5-50, jöfnu 5-1 og jöfnu 5-52 heildarorkan hálf stöðuorkan og skriðorkan jöfn negatífri heildarorkunni:

20. Þyngdarlögmál Newtons • Ef hluturinn er ekki á lokaðri braut getur vélræn orka hans verið hvað sem er, hvort heldur negatíf eða pósitíf. Ef hún er negatíf er hluturinn bundinn í þyngdarsviðinu. Ef hún er pósitíf getur hluturinn losnað úr þyngdarsviðinu, það er komist óendanlega langt frá massanum sem veldur sviðinu.

21. Þyngdarlögmál Newtons • Rétt er að skoða hvað skriðorka eða öllu heldur hver hraði hlutarins þarf að vera til að hann sé óbundinn. Minnsti hraði sem þarf til þess er kallaður sleppihraði. Hann finnst svona:

22. Þyngdarlögmál Newtons • Eðlilegast er að skoða sleppihraða frá yfirborði hnattarins sem veldur þyngdarsviðinu. Fyrir jörðina er þetta um 11 km/s. Til að geimfar losni úr þyngdarsviði jarðar þarf það að ná minnst þeim hraða.

23. Þyngdarlögmál Newtons • 2. lögmál Keplers rökstutt • Hér gildir að þar sem um miðlægan kraft er að ræða er hverfiþunginn varðveittur fyrir hlut á lokaðri braut eins og sýnt var í kafla 5. En ef krossfeldið er skoðað aðeins betur sést eftirfarandi

24. Þyngdarlögmál Newtons • en einingin á þessu síðasta er m2/s það er flatarmál á tímaeiningu. Því er 2. lögmálið bein afleiðing af varðveislu hverfiþungans.

25. Útleiðsla á 1. lögmáli Keplers

26. Útleiðsla á 3. lögmáli Keplers • Aðferð 1: Á hlut sem er að sveigja verkar miðsóknarkraftur. Auðvelt er fyrir plánetu sem hefur braut sem er hringur að leiða út 3. lögmálið. Þessi nálgun er í raun góð fyrir flestar reikistjörnurnar í sólkerfinu. Útleiðslan er þá svona: Þegar farið er eftir hringferli er hraðinn jafn og eina hröðunin sem verkar á plánetuna er miðsóknarhröðun

27. Útleiðsla á 3. lögmáli Keplers • Miðsóknarkrafturinn í þessu tilviki hlýtur að vera jafnstór þyngdarkraftinum

28. Útleiðsla á 3. lögmáli Keplers • Aðferð 2: Seinni aðferðin sem notuð verður hér er ekki nálgun. Hægt að finna umferðartímann fyrir sporbauginn. Samkvæmt reglunni um flatarmálshraðann fæst • margfaldað er með hálfum af því að krossfeldið gefur flatarmál samsíðungs.

29. Útleiðsla á 3. lögmáli Keplers • Hér er bara annar helmingur hans sem myndar raunflatarmálið, og tíminn sem tekur að fara umferðina er þá flatarmál sporbaugsins deilt með flatarmálshraðanum

30. Útleiðsla á 3. lögmáli Keplers • sem að lokum gefur 3. lögmálið á venjulegu formi • Fastinn hægra megin er kallaður sólfastinn þegar verið er að vinna með sólkerfið en fyrir sérhvert kerfi er til slíkur fasti sem eingöngu er háður massanum sem stýrir hreyfingunni.