Ökonometrie I

1. Ökonometrie I OLS-Schätzer und seine Eigenschaften

2. 1200 1000 800 600 400 200 70 75 80 85 90 95 00 PYR PCR Einkommen und Konsum PCR: Privater Konsum, real, in Mrd.EUR PYR: Verfügbares Einkom- men der Haushalte, real 1970:1-2002:4 Basis: 1995 Quelle: AWM-Datenbasis Ökonometrie I

3. PCR vs. PYR 1000 800 600 PCR 400 200 500 600 700 800 900 1000 1100 PYR Einkommen und Konsum, Forts. PCR: Privater Konsum, real, in Mrd.EUR PYR: Verfügbares Einkom- men der Haushalte, real 1970:1-2002:4 Basis: 1995 Quelle: AWM-Datenbasis Ökonometrie I

4. Konsumfunktion AWM-Datenbasis C: Privater Konsum (PCR) Y: Verfügbares Einkommen der Haushalte (PYR) OLS-Schätzer: Anstieg Interzept Ökonometrie I

5. OLS-Schätzer • Einfache Regression: Yt = b1 + b2 Xt + ut Anstieg Interzept • Multiple Regression: Yt = xt‘b + ut b = (X‘X)-1X‘y Ökonometrie I

6. ML-Schätzer Annahme: u ~ N(0, s2I), normalverteilte Störgrößen Dichtefunktion der Beobachtungen (X1,Y1), … , (Xn,Yn) Likelihood-Funktion Log-Likelihood-Funktion Ökonometrie I

7. ML-Schätzer, Forts. Ableitungen: Likelihood-Gleichungen: Nullsetzen der Ableitungen Maximum-Likelihood (ML)-Schätzer: Beachte: ML-Schätzer für b ist identisch mit OLS-Schätzer (wenn Störgrößen normalverteilt sind) Ökonometrie I

8. Eigenschaften von Schätzern • Erwartungstreue: Schätzer bfür Parameter b ist erwartungstreu, wenn E{b} = b • Effizienz: Schätzer bfür Parameter b ist effizienter als b*, wenn Var{b} < Var{b*}; bist effizient, wenn seine Varianz geringer als die jedes anderen Schätzers (aus einer Klasse von Schätzern) ist • Konsistenz: Schätzer bnfür Parameter b ist konsistent, wenn die Wahrscheinlichkeitsverteilung von bnfür n->∞ im Punkt b kollabiert Ökonometrie I

9. OLS-Schätzer: Erwartungstreue wegen E{u|X}=0 Der OLS-Schätzer b (und damit auch der ML-Schätzer) ist erwartungstreu! Die Verteilung der ut muss als unabhängig von den Regressoren (Spalten von X) vorausgesetzt werden! Für fixe X ist das stets erfüllt. Ökonometrie I

10. Varianz der OLS-Schätzer wegen Var{a+Au} = A Var(u) A‘, wenn Var(u) =s2I vorausgesetzt wird. Ökonometrie I

11. Beispiel: Einfache Regression Yt = a + bXt + ut Dafür ergibt sich Die Varianzen sind Ökonometrie I

12. Konsumfunktion Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 08/20/04 Time: 11:06 Sample(adjusted): 1971:1 2002:4 Included observations: 128 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.010855 0.001053 10.31071 0.0000 PYR_D4 0.747032 0.041840 17.85451 0.0000 R-squared 0.716716 Mean dependent var 0.024898 Adjusted R-squared 0.714468 S.D. dependent var 0.014817 S.E. of regression 0.007918 Akaike info criterion -6.823949 Sum squared resid 0.007899 Schwarz criterion -6.779386 Log likelihood 438.7327 F-statistic 318.7837 Durbin-Watson stat 0.632776 Prob(F-statistic) 0.000000 Ökonometrie I

13. OLS-Schätzer: Effizienz Das Gauss-Markov Theorem sagt: • der OLS-Schätzer b ist der beste, lineare, erwartungstreue (BLU) Schätzer für b • b hat minimale Varianz unter allen linearen, erwartungstreuen Schätzern • b ist effizient gegenüber allen linearen, erwartungstreuen Schätzern Achtung! Die Annahme Var(u) = s2I bedeutet: • Homoskedastizität • Serielle Unkorreliertheit Ökonometrie I

14. Gauss-Markov Theorem Sei b* = Cy ein erwartungstreuer Schätzer: E{b*} = E{CXb+Cu} = CXb = b also gilt: CX=I; wir erhalten Var{b*} = Var{CXb+Cu} = Cs2IC‘ = CC‘s2 Sei C = (X‘X)-1X‘+D; wegen CX=I gilt DX=0; wir erhalten CC‘ = (X‘X)-1+DD‘ und CC‘ - (X‘X)-1 ≥ 0 b hat minimale Varianz Ökonometrie I

15. OLS-Schätzer: Konsistenz hat die Varianz Konvergenz im quadratischen Mittel: E{bn}=b für alle n mit der regulären Matrix Q = lim (Xn‘Xn/n) Ökonometrie I

16. Beispiel: Einfache Regression Yt = a + bXt + ut Dafür ergibt sich Damit Q regulär ist, muss SXt2/n auch bei beliebig großem n endlich bleiben. Achtung! X kann einen Trend enthalten! Ökonometrie I

17. Eigenschaften der ML-Schätzer • Schätzer für b • erwartungstreu • effizient • konsistent • Schätzer für s2 • nicht erwartungstreu! • konsistent Ökonometrie I

18. OLS-SchätzerWahrscheinlichkeitsverteilung • ML-Schätzer sind asymptotisch normalverteilt • OLS- und ML-Schätzer für b sind ident; daher ist auch der OLS-Schätzer asymptotisch normalverteilt • Bei endlichem Umfang n: nur bei normalverteilten Störgrößen gilt Ökonometrie I

19. Konfidenzintervall für b Yt = a + bXt + ut 95%-iges Konfidenzintervall für b: b ± sb mit Beispiel: AWM-Konsumfunktion 95%-iges KI für b: 0.747 ± 0.042; oder 0.795 ≤ b ≤ 0.789 Ökonometrie I