CHAPITRE 1

1. CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D' INÉQUATIONS

2. Les inéquations Une inéquation prend forme lorsqu’on est en présence d’une inégalité entre deux quantités algébriques.

3. Les symboles

4. Les règles de transformation Lorsqu’on cherche à résoudre une inéquation, il importe de respecter quelques règles afin de conserver des inéquations équivalentes à la première, c’est-à-dire qui conserve le même ensemble-solution.

5. Représentation graphique • Comment s’y prendre !? • Isoler le « y » ( toujours le garder positif ! ) • Tracer deux points ( aidez-vous d’une table de valeur ) • Tracer la droite : • Pleine : ≤ , ≥ • Pointillée :  , • Hachurer la bonne section ( )

6. Et la solution !? • On est en présence d’un système : • Même démarche que l’on répète deux fois!!! • La solution est la section hachurée par toutes les inéquations en même temps!

8. Polygone de contraintes • Qu’est-ce que c’est !? • « Il s’agit de traduire toutes les contraintes d’une même situation dans un plan cartésien. À l’aide des inégalités, on repère le polygone de contraintes qui contient toutes les parties ombragées de chacune des contraintes1. » 1 Sylvain Lacroix 2005-2006

9. À partir d’une situation... • Important • Lorsqu’une situation est RÉELLE (qu’on ne peut pas avoir de nombres négatifs), on doit énoncer les contraintes de non-négativité :

10. Traduire une situation en inéquation • Démarche : • Identifier les variables; • Déterminer les expressions algébriques à comparer; • Compléter l’inéquation avec le bon symbole.

11. Schématisation Situation (texte) Identification des variables Inéquation Expressions Symbole

12. Attention aux colles ! • On est en présence d’un problème qui parle : • de temps • d’argent… • Faire attention d’en « avoir » des deux côtés du symbole !

13. Du système au polygone Démarche : • Identifier les variables; • Surligner toutes les contraintes; • Les traduire en inéquations; • Représenter l’ensemble-solution; • Trouver les sommets(sera vu plus tard).

15. Situation Identification des contraintes Inéquations L’ensemble-solution Les sommets Schématisation

18. Les sommets Pour résoudre un polygone de contraintes, il suffit de trouver les coordonnées de chacun des sommets. Démarche : 1. Nommer vos sommets avec des lettres majuscules; 2. Identifier les deux droites qui forment le point d’intersection; 3. Résoudre le système formé par ces deux droites; 4. Mettre les réponses sous la forme de couple (x, y)

19. La résolution… • Une fois les droites identifiées, il faut trouver les coordonnées… • Rappel important • Deux façons algébriques de résoudre un • système : • Comparaison • Substitution 

20. Les sommets Pour résoudre un polygone de contraintes, il suffit de trouver les coordonnées de chacun des sommets. Démarche : 1. Nommer vos sommets avec des lettres majuscules; 2. Identifier les deux droites qui forment le point d’intersection; 3. Résoudre le système formé par ces deux droites; 4. Mettre les réponses sous la forme de couple (x, y)

21. L’objectif visé Dans une situation, un problème écrit, on se doit de déterminer s’il faut maximiser ou minimiser la situation. Maximiser : obtenir le maximum Minimiser : obtenir le minimum

22. La règle de l’objectif Dans une situation, on a toujours des contraintes, mais on a aussi un objectif : maximiser ou minimiser. Pour vérifier quelle est la situation la plus avantageuse, il s’agit de trouver la règle qui nous permettra de répondre à la question du problème.

23. Et une fois qu’on l’a !? Une fois que la règle de l’objectif est trouvée, il nous suffit de vérifier avec lequel des sommets antérieurement trouvés on optimise notre situation. (c’est-à-dire qu’on maximise ou minimise, selon la situation).

24. Problème d’optimisation Voici un exemple de problème : Notre club de vélo de montagne est en campagne de recrutement. Il s’adresse aussi bien aux adultes qu’aux jeunes d’âge mineur. Le club s’attend à obtenir un minimum de 15 adultes et un minimum de 30 jeunes. On s’attend aussi à obtenir au moins 45 jeunes de plus que d’adultes. Dû à la quantité d’entraîneurs à notre disposition, nous devons limiter les inscriptions à 135 membres. En sachant que le coût d’inscription pour un adulte est de 50$ et qu’il est de 40$ pour un jeune, quel est le revenu maximal que nous pouvons espérer cette année ?

25. Problème d’optimisation Voici un exemple de problème : Notre club de vélo de montagne est en campagne de recrutement. Il s’adresse aussi bien aux adultes qu’aux jeunes d’âge mineur. Le club s’attend à obtenir un minimum de 15 adultes et un minimum de 30 jeunes. On s’attend aussi à obtenir au moins 45 jeunes de plus que d’adultes. Dû à la quantité d’entraîneurs à notre disposition, nous devons limiter les inscriptions à 135 membres. En sachant que le coût d’inscription pour un adulte est de 50$ et qu’il est de 40$ pour un jeune, quel est le revenu maximal que nous pouvons espérer cette année ?

26. Problème d’optimisation Voici un exemple de problème : Notre club de vélo de montagne est en campagne de recrutement. Il s’adresse aussi bien aux adultes qu’aux jeunes d’âge mineur. Le club s’attend à obtenir un minimum de 15 adultes et un minimum de 30 jeunes. On s’attend aussi à obtenir au moins 45 jeunes de plus que d’adultes. Dû à la quantité d’entraîneurs à notre disposition, nous devons limiter les inscriptions à 135 membres. En sachant que le coût d’inscription pour un adulte est de 50$ et qu’il est de 40$ pour un jeune, quel est le revenu maximal que nous pouvons espérer cette année ?