Afet yönetimi için risk ölçütü içeren iki aşamalı rassal programlama modeli

1. Nilay Noyan Üretim Sistemleri ve Endüstri Mühendisliği Sabancı Üniversitesi YAEM 2010 Afetyönetimiiçin risk ölçütüiçerenikiaşamalırassalprogramlamamodeli

2. Afet öncesi hazırlığı yönetimi • Afet yanıt birimlerinin ana amacı afet mağdurlarına çeşitli yardım malzemelerini en kısa zamanda temin etmektir. • Yardım malzemelerinin stratejik konumlarda önceden depolanması afet durumunda malzeme tedariğinin etkinliği açısından önemlidir. “Afet öncesi depolama” planı hazırlarken karşılaşılantemelzorluklar: • Afet olaylarının olup olmayacağına dair belirsizlik, ve afet olduğu zaman • yardım malzemelerine olan taleptekibelirsizlik • afetin şiddetine ve olduğu yere dair belirsizlik • ulaşım ağında oluşabilecek hasar düzeyindekibelirsizlik • depolanmış malzemelerin zarar görme oranlarındakibelirsizlik.

3. Yardım malzemelerinin afet yönetimi için önceden depolanması Problem Tanımı: • Belirlenmesigerekenler: • Eniyi depo (dağıtım merkezi) yer seçimi ve depo büyüklüğü, • Afet durumunda ihtiyaç duyulan farklı malzemelerden her depoda ne miktarda stoklanacağı • Amaç:Çeşitli belirsizlikler düşünülerek toplam maliyetin enküçüklenmesi.

4. Belirsizlikler üzerine • Afet sonucu • depolar zarar görebilir • zarar görmemiş kullanılabilir depolanmış malzeme miktarı • afetin şiddetine bağlı olarak değişkenlik gösterebilir • ulaşım yolları zarar görebilir • ulaşım ağı bağlantı kapasiteleri afetin şiddetine bağlı olarak • değişkenlik gösterebilir • Belirsizlikler bir senaryo kümesi kullanılarak modellendi.

5. Belirsizlikler üzerine Modellenen belirsizlikler ile ilgili bazı parametreler:

6. Mevcut belirsizler altında karar verme modelleri Rassal Programlamabelirsizlikleri modellemek için kullanılan temel yaklaşımlardan biridir. • Bazı parametrelerin rassal olduğumatematiksel programlama problemleri ile ilgilenir. • Problem parametrelerindeki belirsizlikler modelleme aşamasında göz önüne alınır. • “Afet öncesi depolama” probleminin yapısından dolayı, iki aşamalı rassal programlamanın kullanılmasıuygundur.

7. İki aşamalı rassal programlama modeli Genel formulasyon: • İlk aşama kararları (x) • daha sonra belirsizliklerin çözülmesi • en son ikinci aşama kararları (y) • İkinci aşama kararları: parametre değerlerine bağlı operasyonel kararlar

8. İki aşamalı rassal programlama modeli • İkinci aşama probleminin amaç fonksiyonu rassaldır. • Bu nedenle, toplam maliyet fonksiyonu da rassaldır. Rassal değişkenlerin kıyaslanması belirsizlik altında karar verme alanının önemli odaklarından biridir. Alışılagelmiş iki aşamalı rassal programlama riske-aldırışsızdır; eniyi kararları bulmak için rassal değişkenleri kıyaslarkan “beklenen değerler” yeğlik ölçütü olarak kullanılır:

9. Rawls ve Turnquist (2010) tarafından önerilen riske-aldırışsız model

10. Halihazirdaki riske-aldırışsız model

11. Halihazirdaki riske-aldırışsız model

12. Riske-aldırışsız yaklaşımın dezavantajı Rawls ve Turnquist (2010) tarafından önerilen modelde rassal değişkenleri kıyaslarken“beklenen değerler” yeğlik ölçütü olarak kullanılmıştır: • Eğer aynı kararlar benzer koşullar altında tekrarlanarak alınıyorsa, • eniyi kararları bulmak için “beklenen değerler”ölçütünün • kullanılması “Büyük Sayılar Kuralı” ile savunulabilir. • Tekrarlanmayan taktiksel kararlar“beklenen değerler”ölçütüne • dayalı alındığında ise, rassal parametrelerin bazı gözlemlenmiş • değerleri için kötü sonuçlar ortaya çıkabilir.

13. Risk kavramın modele dahil edilmesi • Rassal değişkenliğin mevcut olduğu durumlarda, bu değişkenliğin etkilerinin modellenmesi için karar verme problemlerinde risk kavramı göz önüne alınmalıdır. • Rassal değişkenleri kıyaslarkanbir risk ölçütü kullanılır. Farklı kararlar farklı rassal değişkenlere neden olur. Hangisini tercih ederiz? örnek: (r1,y1) ya da (r2,y2) ? f(r1,y1,) ya daf(r2,y2,) ? • Çalışmamızda “riskten-kaçınan” iki aşamalı rassal programlama modelleri üzerinde durulmakta ve risk ölçütü olarak da “koşullu riske maruz değer (conditional value-at-risk, CVaR)” kullanılmaktadır.

14. Koşullu riske maruz değer (CVaR) • VaR(Z) : riske maruz değer. • Maliyet bağlamında: • Z: rassal toplam maliyet • VaR(Z): rassal maliyetin dağılım fonksiyonun -yüzdeliği değeri • Çok küçük bir olasılık (1-)ile aşılan bir üst sınır tanımlamaktadır. seviyesinde“koşullu riske maruz değer” basit olarak aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır (Rockafellar ve Uryasev, 2000) • üst sınır aşıldığında durumun vahimliğini ölçmektedir • VaR(Z) sınırını aşan değerlerin koşullu beklentisidir • olası yüksek maliyetleri kontrol etmekte kullanılan bir risk ölçütüdür

15. CVaR risk ölçütü Tam doğru tanım: Bu şekil S. Uryasev (Florida Üniversitesi) tarafından hazırlanmış bir sunumdandır.

16. İki aşamalı “beklenen değer-risk” yaklaşımlı rassal programlama Rassal toplam maliyetin değişkenliğinin etkisinin modellenmesi için risk ölçütü olarak “koşullu riske maruz değer (Conditional value-at-risk, CVaR)” in amaç fonksiyonuna dahil edilmiştir. Beklenen değer-risk (mean-risk)yaklaşımı: • ödünleşim (riskibeklenen değere yeğleme)katsayısı • katsayısı değiştirilerek farklı etkin yerleştirme-paylaştırma planları oluşturulup, farklı risk tercihleri modellenebilir.

17. “Riskten kaçınan” iki aşamalı rassal programlama modeli • İlk ve ikinci aşama problemleri beraber düşünülerek rassal afet • yönetim modelinin belirlenimci eşdeğer (deterministik equivalent) • karışık tam sayılıdoğrusalformulasyonu elde edilebilir. Direkt olarak bu formulasyonu kullanıpCPLEX gibi hazır çözücüler ile eniyi sonucu bulmak problemin büyüklüğüne bağlı olarak zordur.

18. İlgili Yazın • İki aşamalı rassal programlama kapsamında risk ölçütlerinin amaç fonksiyonuna dahil edilmesi oldukça yeni bir konudur. (Ahmed, 2006; Schultz ve Tiedeman, 2006; Fabian 2008; Miller ve Ruszczyński, 2009). • Çeşitli afet yönetimi problemleri için iki aşamalı rassal programlama yaklaşımları önerilmiştir. (Barbarosoğlu ve Arda, 2004; Balçık ve Beamon,2008; Rawls ve Turnquist, 2010). Bu alandaki mevcut çalışmalar beklenen değerleri göz önüne almaktadır.

19. Katkılarımız • Afet öncesi hazırlık yönetimi için“riskten kaçınan”iki aşamalı rassal programlama modeli önerdik. • CVaR içeren iki aşamalı rassal programlamaya özel ayrışım algoritmaları geliştirdik. • “L-Shaped metot” (Van Slyke and Wets, 2009),beklenen değer içeren • modelleri çözmek için çok yaygınca kullanılan bir Benders-ayrışım (kesen • düzlem) yöntemidir. • L-shaped yönteminin türevleri olan iki ayrışım algoritması önerdik. • Bu tür hesaplama kolaylığı sağlayan algoritmalar daha büyük sayıda senaryo kullanabilmemezi sağlar. • Belirsizliklerin daha doğru şekilde modellenebilmesi için senaryo sayısı önemlidir.

20. Vaka analizi (Rawls ve Turnquist, 2010) Amerikanın güneydoğusundaki bir bölgeyi gösteren ulaşım ağı 30 düğümve 55 bağlantıdan oluşmaktadır.

21. Vaka analizi (Rawls ve Turnquist, 2010) • Kasırga tehlikesiüzerinde durulmuş ve seçilmiş bölgede daha önce meydana gelmiş kasırgalara dair geçmiş verilere dayanılarak 51 senaryo oluşturulmuştur. • k malzemesi için birim “eksiklik maliyeti”nin, “satın alma maliyeti”nin katı olduğu varsayılmıştır; pck =  *qk (=5 ve 10).

22. Yiyecek malzemeleri için eksiklik olasılıklarıvetoplam envanter seviyeleri

23. Toplam maliyetin birikimli dağılım fonksiyonları

24. Beklenen değer ve CVaR(f(r,y,)), =5 “Efficient frontier (beklenen değer-risk eğrisi)” kavramı

25. Önerilen “ayrışımalgoritmaları”nın hesaplama performansları Örnek problemlerin boyutları Düğüm ve tamsayılı değişken sayısı = 50

26. CPU zamanlarıve “eniyilik boşluğu” için üst sınır değerleri, =1

27. Sonuçlar ve Gelecek Çalışmalar • Önerilen problem farklı risk parametreleri için çözülebilir; karar alıcıların farklı planları hizmet kalitesi ve maliyet arasındaki ödünleşime göre değerlendirmelerine imkan kılar. • Sayısal deneyler risk ölçütü kullanmanın etkisini ve önerilen yaklaşım algoritmalarının etkinliğini göstermektedir. • Gelecek çalışmalarımızda, ulaşım ağı kapasitelerine dair kararları da düşünmeyi ve yeni rassal ulaşım ağı tasarım modelleri geliştirmeyi planlıyoruz.