Colégio João agripino filho – cjaf / geo FUNÇÃO QUADRÁTICA

1. Colégio João agripino filho – cjaf/geoFUNÇÃO QUADRÁTICA Prof. Mascena Cordeiro www.mascenacordeiro.com.br

2. FUNÇÃO QUADRÁTICA Forma Algébrica Gráfico PARÁBOLA

3. A Parábola

4. Coordenadas de V

5. Pontos Principais • Interceptam eixo x; • Interceptam eixo y; • Vértice;

6. Os seis possíveis tipos de gráfico com relação ao eixo x

7. Exemplo: f(x) =

8. Exemplo: f(x) =

9. Técnica para construção de gráficos da função 2° grau 1° Determinar o valor Xv(vértice) 2º Determinar o domínio (dois n° maiores, e menores do que o Xv) 3º Ao construir a tabela de valores, observar a simetria dos resultados 4° Construir o gráfico com os valores da tabela

10. Exemplo construir o gráfico da função: y = x2 - 4x+3 = -(-4)/2.1 = 4/2 = 2 1° Calculando o Xv = -b/2.a 2° Escrevendo o x(domínio) (0,1,2,3,4) 3° Construindo a tabela de valores x e y

11. Exercícios

12. Construir o gráfico • Em cada caso a seguir, esboce o gráfico de f e dê o conjunto-imagem.

13. Construindo o Gráfico • Obtenha f(x), sabendo que o gráfico de f é a parábola que passa pelos pontos (0, -2), (-1, 0) e (1, -2). Determine, também, o conjunto-imagem de f.

14. Construindo o Gráfico • A parábola de equação y = -2 x2 + bx + c passa pelo ponto (1,0) e seu vértice é o ponto (3,v). Determine o valor de v.

15. FGV-SP • Uma função quadrática f tem um gráfico cujo vértice é o ponto (3, -4). Sabe-se que 2 é uma raiz da função. • A) Obtenha a expressão de f. • B) Para que valores de x tem-se f(x)>0?

16. Mackenzie 2003 • Se a figura mostra o esboço do gráfico de f(x)= ax2 + 2bx + c, então os números a, b e c sempre são: • nessa ordem, termos de uma progressão aritmética. • b) nessa ordem, termos de uma progressão geométrica. • c) números inteiros. • d) tais que a < b < c. • e) tais que a > b > c.

17. Uff 2001 • Considere a função f: IR+ → IR definida por f(x)=(3-x).(x-1). • Identifique a melhor representação do gráfico de f.

18. Mack - SP A parábola da figura é o gráfico de y = -x2 + bx + c. A raiz positiva desse trinômio, qualquer que seja k > 0, sempre é igual a: • 2k – 1 • k – 1 • ½ • 1 • k/2

19. Ufmg 2005 • Observe esta figura: Nessa figura, os pontos A e B estão sobre o gráfico da função de segundo grau y = ax2 + bx + c. O ponto A situa-se no eixo das ordenadas e o segmento AB é paralelo ao eixo das abscissas. Assim sendo, é CORRETO afirmar que o comprimento do segmento AB é a) c. b) -c/a. c) b/a. d) -b/a.

20. Ufmg 2005 - Resposta • Observe esta figura: Resposta certa: d Eixo de simetria da parábola Xv = -b/2a 2.Xv = -b/a

21. Ufsm 2003 • A parábola P representada na figura é o gráfico de uma função quadrática f. Se y = g(x) for outra função quadrática cujas raízes sejam as mesmas de f e se o vértice do gráfico dessa g for simétrico ao vértice de P com relação ao eixo 0x, então g(-1) vale a) - 8 b) - 6 c) 0 d) 6 e) 8

22. Ufsm 2003 - Resposta • Raízes de f(x): x1 = 1 e x2 = 3. • Vértice de f(x): (2, -1); • Vértice simétrico com relação ao eixo x de f(x): (2,1) • Logo, g(x)=a(x-1)(x-3) e, • 1 = a (2-1)(2-3), logo a = -1 • g(x) = -1(x-1)(x-3) • g(-1)=-1(-1-1)(-1-3) • g(-1)=-8 • Alternativa a

23. Unesp 2007 • A expressão que define a função quadrática f(x), cujo gráfico está esboçado, é: • f(x) = -2x2 - 2x + 4. • b) f(x) = x2 + 2x - 4. • c) f(x) = x2 + x - 2. • d) f(x) = 2x2 + 2x - 4. • e) f(x) = 2x2 + 2x - 2.

24. Uerj 2007 A foto a seguir mostra um túnel cuja entrada forma um arco parabólico com base AB = 8m e altura central OC = 5,6m. Observe, na foto, um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, cujo eixo horizontal Ox é tangente ao solo e o vertical Oy representa o eixo de simetria da parábola. Ao entrar no túnel, um caminhão com altura AP igual a 2,45 m, como ilustrado a seguir, toca sua extremidade P em um determinado ponto do arco parabólico. Calcule a distância do ponto P ao eixo vertical Oy.

25. Uerj 2007 - Resposta A foto a seguir mostra um túnel cuja entrada forma um arco parabólico com base AB = 8m e altura central OC = 5,6m. Observe, na foto, um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, cujo eixo horizontal Ox é tangente ao solo e o vertical Oy representa o eixo de simetria da parábola. Ao entrar no túnel, um caminhão com altura AP igual a 2,45 m, como ilustrado a seguir, toca sua extremidade P em um determinado ponto do arco parabólico. Calcule a distância do ponto P ao eixo vertical Oy. R: A distância de P à Oy é de 3 metros.

26. Unesp 2003 Suponha que um projétil de ataque partiu da origem do sistema de coordenadas cartesianas descrevendo uma parábola, conforme a figura. a) Sabendo-se que o vértice da parábola do projétil de ataque é dado pelas coordenadas (15,45) e baseado nos dados da figura, calcule a equação da parábola do projétil de ataque. b) Um projétil de defesa é lançado a partir das coordenadas (6,0) e sua trajetória também descreve uma parábola segundo a equação y = - 0,25x2 + 9x - 45. Considerando-se que o projétil de defesa atingirá o projétil de ataque, calcule as coordenadas onde isto ocorrerá e diga se o alvo estará a salvo do ataque.

27. Unesp 2003 - Resposta a) Sabendo-se que o vértice da parábola do projétil de ataque é dado pelas coordenadas (15,45) e baseado nos dados da figura, calcule a equação da parábola do projétil de ataque. R: y = ax (x-30) → 45 = a.15(15-30) a = - 0,2. y = -0,2 x2 + 6 b) Um projétil de defesa é lançado a partir das coordenadas (6,0) e sua trajetória também descreve uma parábola segundo a equação y = - 0,25x2 + 9x - 45. Considerando-se que o projétil de defesa atingirá o projétil de ataque, calcule as coordenadas onde isto ocorrerá e diga se o alvo estará a salvo do ataque. R: -0,2 x2 + 6 = -0,25 x2 +9x – 45 X = 30 Então o projétil de defesa atinge o projétil de ataque em (30,0), exatamente no alvo.

28. Fuvest 2001 • A função f(x), definida para -3 ≤ x ≤ 3, tem o seguinte gráfico: onde as linhas ligando (-1,0) a (0,2) e (0,2) a (1,0) são segmentos de reta. Supondo a ≤ 0, para que valores de a o gráfico do polinômio p(x) = a (x2 - 4) intercepta o gráfico de f(x) em exatamente 4 pontos distintos? a) -1/2 < a < 0 b) -1 < a < -1/2 c) -3/2 < a < -1 d) -2 < a < -3/2 e) a < -2

29. Enem 2001 • Um boato tem um público-alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral, essa rapidez é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que conhecem o boato e diretamente proporcional também ao número de pessoas que não o conhecem. Em outras palavras, sendo R a rapidez de propagação, P o público-alvo e x o número de pessoas que conhecem o boato, tem-se: • R(x) = k.x.(P-x), onde k é uma constante positiva característica do boato. • O gráfico cartesiano que melhor representa a função R(x), para x real, é:

30. Enem 2001 • Um boato tem um público-alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral, essa rapidez é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que conhecem o boato e diretamente proporcional também ao número de pessoas que não o conhecem. Em outras palavras, sendo R a rapidez de propagação, P o público-alvo e x o número de pessoas que conhecem o boato, tem-se: • R(x) = k.x.(P-x), onde k é uma constante positiva característica do boato. • Considerando o modelo acima descrito, se o público-alvo é de 44.000 pessoas, então a máxima rapidez de propagação ocorrerá quando o boato for conhecido por um número de pessoas igual a: • a) 11.000. b) 22.000. c) 33.000. d) 38.000. e) 44.000.

31. Ufjf 2006 • Um pesticida foi ministrado a uma população de insetos para testar sua eficiência. Ao proceder ao controle da variação em função do tempo, em semanas, concluiu-se que o tamanho da população é dado por: • f(t) = - 10t2 + 20t + 100. • a) Determine o intervalo de tempo em que a população de insetos ainda cresce. • b) Na ação do pesticida, existe algum momento em que a população de insetos é igual à população inicial? Quando? • c) Entre quais semanas a população de insetos seria exterminada?

32. Ufjf 2006 - Resposta • f(t) = - 10t2 + 20t + 100. • a) Determine o intervalo de tempo em que a população de insetos ainda cresce. • R: Xv = 1, portanto a população ainda cresce em 1 semana. • b) Na ação do pesticida, existe algum momento em que a população de insetos é igual à população inicial? Quando? • R: 100 = - 10t2 + 20t + 100. Em duas semanas a população é a mesma que a inicial. • c) Entre quais semanas a população de insetos seria exterminada? • R: 0 = - 10t2 + 20t + 100 → t = 1 + √11 → t ≈ 4,... semanas. Portanto entre a quarta e a quinta semana a população se exterminará.

33. Unifesp 2006 • A porcentagem p de bactérias em uma certa cultura sempre decresce em função do número t de segundos em que ela fica exposta à radiação ultravioleta, segundo a relação • p(t) = 100 - 15t + 0,5t2. • a) Considerando que p deve ser uma função decrescente variando de 0 a 100, determine a variação correspondente do tempo t (domínio da função). • b) A cultura não é segura para ser usada se tiver mais de 28% de bactérias. Obtenha o tempo mínimo de exposição que resulta em uma cultura segura.

34. Ufg 2007 • Um supermercado vende 400 pacotes de 5 kg de uma determinada marca de arroz por semana. O preço de cada pacote é R$ 6,00, e o lucro do supermercado, em cada pacote vendido, é de R$ 2,00. Se for dado um desconto de x reais no preço do pacote do arroz, o lucro por pacote terá uma redução de x reais, mas, em compensação, o supermercado aumentará sua venda em 400x pacotes por semana. Nestas condições, calcule: • a) O lucro desse supermercado em uma semana, caso o desconto dado seja de R$ 1,00. • b) O preço do pacote do arroz para que o lucro do supermercado seja máximo, no período considerado.

35. Ufg 2007 - Resposta • L(x) = (400 + 400x).(2 – x) • a) O lucro desse supermercado em uma semana, caso o desconto dado seja de R$ 1,00. R: L(1) = R$ 800,00 • b) O preço do pacote do arroz para que o lucro do supermercado seja máximo, no período considerado. • R: Xv = 0,5, portanto o preço do pacote é R$ 5,50

36. Unesp 97 • Considere uma parábola de equação y=ax2+bx+c, em que a+b+c=0. • a) Mostre que o ponto (1,0) pertence a essa parábola. • b) Mantida ainda a suposição inicial, prove que o ponto (0,0) pertence à parábola se e somente se b=-a.

37. Unesp 97 - Resposta • Considere uma parábola de equação y=ax2+bx+c, em que a + b + c =0. • a) Mostre que o ponto (1,0) pertence a essa parábola. • R: Se x = 1, então f(1) = a+b+c, logo f(1) = 0. • b) Mantida ainda a suposição inicial, prove que o ponto (0,0) pertence à parábola se e somente se b=-a. • R: Para (0,0) pertencer à parábola será necessário que c = 0, logo, a + b + c = 0 → a + b = 0 → b = -a.

38. Fuvest 92 • Num terreno, na forma de um triângulo retângulo com catetos com medidas 20 e 30 metros, deseja-se construir uma casa retangular de dimensões x e y, como indicado na figura adiante. • a) Exprima y em função de x. • b) Para que valores de x e de y a área ocupada pela casa será máxima

39. Fgv 2007 • Na parte sombreada da figura, as extremidades dos segmentos de reta paralelos ao eixo y são pontos das representações gráficas das funções definidas por f(x) = x2 e g(x) = x + 6, conforme indicado. A medida do comprimento do maior desses segmentos localizado na região indicada na figura é a) 6. b) 6,25. c) 6,5. d) 6,75. e) 7

40. Unifesp 2007 • A figura mostra um arco parabólico ACB de altura CM = 16 cm, sobre uma base AB de 40 cm. M é o ponto médio de AB. A altura do arco em centímetros, em um ponto da base que dista 5 cm de M, é a) 15. b) 14. c) 13. d) 12. e) 10.

41. Fuvest 2005 • Suponha que um fio suspenso entre duas colunas de mesma altura h, situadas à distância d (ver figura), assuma a forma de uma parábola. Suponha também que • (i) a altura mínima do fio ao solo seja igual a 2; • (ii) a altura do fio sobre um ponto no solo que dista d/4 de uma das colunas seja igual a h/2. • Se h = 3 (d/8) , então d vale a) 14 b) 16 c) 18 d) 20 e) 22

42. Mackenzie 2001 Na figura temos os gráficos das funções f e g. Se f(x)=2x2, então g(3) vale: a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14

43. Ufjf 2003 • Um ônibus de 54 lugares foi fretado para uma excursão. A empresa cobrou de cada passageiro a quantia de R$ 55,00 e mais R$ 2,50 por lugar vago. O número de passageiros que dá à empresa rentabilidade máxima é: • a) 16. • b) 24. • c) 38. • d) 49. • e) 54.

44. Unifesp 2007 • De um cartão retangular de base 14 cm e altura 12 cm, deseja-se recortar um quadrado de lado x e um trapézio isósceles, conforme a figura, onde a parte hachurada será retirada. O valor de x em centímetros, para que a área total removida seja mínima, é a) 3. b) 2. c) 1,5. d) 1. e) 0,5.

45. Puc-rio 2007 • Sejam f(x) = x + (5/4) e g(x) = 1 – x2. Determine: • a) os valores reais de x para os quais. f(x) ≥ g(x). • b) os valores reais de x para os quais. f(x) ≤ g(x).

46. Puc-rio 2007- Resposta • Sejam f(x) = x + (5/4) e g(x) = 1 – x2. Determine: • a) os valores reais de x para os quais. f(x) ≥ g(x). • R: f(x) ≥ g(x) para todo x real. • b) os valores reais de x para os quais. f(x) ≤ g(x). • R: f(x) ≤ g(x) para x = -1/2.