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CÁLCULO DE PROBABILIDADES. TEMA 13. REGLA DE LAPLACE. TEMA 13.5 * 1º BCS. REGLA DE LAPLACE. La probabilidad de un suceso A es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles . casos favorables P(A) = ------------------------------------

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c lculo de probabilidades

CÁLCULO DE PROBABILIDADES

TEMA 13

Matemáticas Aplicadas CS I

regla de laplace

REGLA DE LAPLACE

TEMA 13.5 * 1º BCS

Matemáticas Aplicadas CS I

regla de laplace1
REGLA DE LAPLACE
  • La probabilidad de un suceso A es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles.
  • casos favorables
  • P(A) = ------------------------------------
  • casos posibles o totales
  • Para que se pueda aplicar la fórmula de Laplace TODOS y cada uno de los sucesos elementales deben ser EQUIPROBABLES, tener la misma probabilidad de que sucedan.
  • Ejemplo 1:
  • Lanzamiento de una moneda al aire.
  • Casos posibles o totales E = {C, X}  2
  • Casos favorables al suceso “Salir una cara” {C}  1
  • P(A) = P(de que nos resulte cara) = casos favorables / casos posibles =1 / 2 = 0,5

Matemáticas Aplicadas CS I

regla de laplace2
REGLA DE LAPLACE
  • Ejemplo 2:
  • Lanzamiento de un dado al aire.
  • Casos posibles o totales E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  6
  • Casos favorables al suceso “Salir par” {2, 4, 6}  3
  • P(A) = P(de que nos resulte par) =
  • = casos favorables / casos posibles =3 / 6 = 0,5
  • Ejemplo 3:
  • Extracción de una carta de baraja.
  • Casos posibles o totales E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …, 40}  40
  • Casos favorables al suceso “Resulta un rey” {RO,RC,RB,RE}  4
  • P(A) = P(de que nos resulte un rey) =
  • = casos favorables / casos posibles = 4 / 40 = 0,1

Matemáticas Aplicadas CS I

regla de laplace3
REGLA DE LAPLACE
  • Ejemplo 4:
  • Extracción de una carta de baraja.
  • Casos posibles o totales E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …, 40}  40
  • Casos favorables al suceso “Resulta una carta de copas”  10
  • P(A) = P(de que nos resulte una copa) = c.f. / c.p. = 10 / 40 = 0,25
  • Ejemplo 5:
  • Extracción de una bola de una urna que contiene 5 bolas blancas y 3 bolas negras.
  • Casos posibles o totales E = {B1, B2, B3, B4, B5, N1, N2, N3}  8
  • Casos favorables al suceso “Resulta blanca” {B1, B2, B3, B4, B5}  5
  • P(A) = P(de que nos resulte una bola blanca) =
  • = casos favorables / casos posibles = 5 / 8 = 0,625

Matemáticas Aplicadas CS I

valor de la probabilidad
Valor de la probabilidad
  • P(Suceso imposible) = 0
  • Axioma 1 P(Suceso seguro) = P(E) = 1
  • Axioma 2 P(Cualquier suceso) = P(A) ≥ 0
  • Luego la probabilidad de cualquier suceso A será siempre:
  • 0 ≤ P(A) ≤ 1
  • Ejemplos:
  • Sea A el suceso “Obtener un 7 en el lanzamiento de un dado normal”
  • Como es un suceso imposible, entonces P(A) = 0
  • Sea A el suceso “Obtener un número entero en el lanzamiento de un dado”
  • Como es un suceso seguro, entonces P(A) = 1
  • Sea A el suceso “Obtener un número múltiplo de 3 en el lanzamiento de un dado normal”
  • Por Laplace: P(A = 2 / 6 = 1/3 = 0,3333. Vemos que 0 ≤ 0,3333 ≤ 1

Matemáticas Aplicadas CS I

slide7
AXIOMA 3 Si A y B son sucesos incompatibles( no se pueden dar a la vez ) la probabilidad de AUB es la suma de las probabilidades.
  • Si A∩B = ø P(A U B) = P(A)+P(B)
  • Ejemplo
  • Al extraer una carta de una baraja, que el resultado sea un oro o una copa.
  • P(A U B) = P(A)+P(B) = (10/40)+(10/40) = 0,25+0,25 = 0,5
  • Por el contrario, si A y B son sucesos compatibles (se pueden dar a la vez) la probabilidad de AUB es la suma de las probabilidades menos el producto de las mismas.
  • Si A∩B ≠ ø P(A U B) = P(A)+P(B) – P(A).P(B)
  • Ejemplo
  • Al extraer una carta de una baraja, que el resultado sea un oro o una figura.
  • P(AUB) = P(A)+P(B) - P(A).P(B) = (10/40)+(12/40) - (10/40).(12/40) =
  • = 0,25+0,30 – 0,25.0,3 = 0,55 – 0,075 = 0,475
  • De otra manera, para comprobar: P(AUB) = (10+9)/40 = 19/40 = 0,475

Matemáticas Aplicadas CS I

sucesos contrarios
Sucesos CONTRARIOS
  • Cuando en un experimento aleatorio sólo hay dos posibilidades o dos sucesos posibles, que se excluyen mutuamente, se los llama sucesos contrarios.
  • En una moneda, lo contrario de resultar Cara es resultar Cruz.
  • En un dado, lo contrario de resultar Par es resultar Impar.
  • En un dado lo contrario de resultar un 5 es no resultar un 5.
  • Todos los experimentos aleatorios los podemos expresar como espacio muestral de dos únicos sucesos: El que interesa y el contrario.
  • _ _
  • Como P(A) + P( A ) = 1 ; P( A ) = 1 - P(A)
  • Ejemplo
  • Al lanzar un dado al aire, que el resultado sea un 5 o que no sea un 5.
  • P(5) = 1 / 6 = 0,1667
  • _
  • P(5) = 1 – 1/6 = 5 / 6 = 0,8333

Matemáticas Aplicadas CS I

tablas de contingencia
Tablas de contingencia
  • Son muy usadas en problemas donde se precisa organizar los datos para calcular probabilidades.
  • En general los sucesos a trabajar son incompatibles entre sí, aunque estén relacionados.
  • Ejemplo_1
  • En la presente tabla de contingencia, hallar la probabilidad de que elegido un alumno al azar, este sea:
  • a) Chico.
  • b) Chica.
  • c) Chico en ESO
  • d) Chica en ESO
  • e) Chico en Bachillerato
  • d) Chica en Bachillerato.
  • d) Alumno en ESO
  • e) Alumno en Bachillerato

Chico Chica

ESO 145 130 275

BACH 50 75 125

195 205 400

Matemáticas Aplicadas CS I

slide10
Resolución
  • a) Chico.
  • P(A)=195/400=0,4875
  • b) Chica.
  • P(B)=205/400=0,50125
  • c) Chico en ESO
  • P(C)=145/400=0,3625
  • d) Chica en ESO
  • P(D)=130/400=0,325
  • e) Chico en Bachillerato
  • P(E)=50/400=0,125
  • f) Chica en Bachillerato.
  • P(F)=74/400=0,185
  • g) Alumno en ESO
  • P(G)=275/400=0,6875
  • h) Alumno en Bachillerato
  • P(H)=125/400=0,3125

Chico Chica

ESO 145 130 275

BACH 50 75 125

195 205 400

Matemáticas Aplicadas CS I

slide11
Ejemplo_2
  • En la presente tabla de contingencia sobre la dedicación preferente del tiempo libre de los alumnos de un instituto, hallar la probabilidad de que:
  • a) Sea chico y se dedique al deporte.
  • b) Sea chica y se dedique a la lectura o los juegos.
  • c) Se dedique a ver Cine/TV
  • d) Se dedique a la música.
  • Resolución
  • P(A)= 60/400 = 0,15
  • P(B)=45/400 + 10/400 =
  • =55/400 = 0,1375
  • P(C)= 60/400=0,15
  • P(D)=175/400 =0,4375

Chico Chica

Música 55 120 175

Deporte 60 15 75

Lectura 20 45 65

Juegos 15 10 25

Cine/TV 45 15 60

195 205 400

Matemáticas Aplicadas CS I

uni n en sucesos compatibles
Unión en sucesos compatibles
  • Cuando dos o más sucesos son compatibles (se pueden dar a la vez) ya hemos dicho que:
  • P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A).P(B)
  • Ello es así porque si no restamos el producto, los elementos comunes estarían repetidos.
  • El producto simboliza a los elementos comunes.
  • Ejemplo 1
  • Hallar la probabilidad de que al extraer una carta de una baraja el resultado sea un oro o un rey.
  • P(O)=10/40=0,25
  • P(R) =4/40=0,1
  • P(OUR)=P(O)+P(R) - P(O).P(R)
  • P(OUR)=0,25+0,1 – 0,25.0,1
  • P(OUR)=0,35 – 0,025
  • P(OUR)=0,325
  • 1 2 3 Rc
  • 4 5 Re
  • 7 Ro Rb
  • So Co

Matemáticas Aplicadas CS I

slide13

FAMILIA A

  • Ejemplo 2
  • Una vivienda rural es compartida por tres familias, A, B y C.
  • Ocupan el 55%, el 40% y el 30% de la vivienda respectivamente. Hay espacios comunes a dos y a las tres familias.
  • Hallar la probabilidad de que eligiendo un lugar al azar:
  • a) Coincidan A y B
  • b) Coincidan A y C
  • c) Encontremos B o C
  • d) Encontremos A o C
  • e) Encontremos A, B o C

FAMILIA B

FAMILIA C

Matemáticas Aplicadas CS I

slide14
Resolución
  • Aunque no nos lo hubiera indicado el enunciado, hay zonas comunes, pues en total no pueden ocupar el 55+40+30 =125% de la vivienda.
  • a) Coincidan A y B
  • P(A∩B)=P(A).PB)= 0,55.0,40=0,22
  • b) Coincidan A y C
  • P(A∩C)=P(A).P(C)= 0,55.0,30=0,165
  • c) Encontremos B o C
  • P(BUC)=P(B)+P(C) - P(B).P(C)= 0,40+0,30 – 0,40.0,30 =0,58
  • d) Encontremos A o C
  • P(AUC)=P(A)+P(C) - P(A).P(C)= 0,55+0,30 – 0,55.0,30 =0,685
  • e) Encontremos A , B o C
  • P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C) - P(A).P(B) - P(B).P(C) – P(A).P( C) +
  • + P(A).P(B).P(C) =
  • = 0,55+0,4+0,30 – 0,22 – 0,12 – 0,165 + 0,55.0,4.0,30 = 0,811

Matemáticas Aplicadas CS I