MATEMÁTICAS A. CS II

1. MATEMÁTICAS A. CS II Tema 11 * PROBABILIDADES Matemáticas 2º Bachillerato CS

2. AZAR Y PROBABILIDAD Tema 11.1 * 2º B CS Matemáticas 2º Bachillerato CS

3. Axiomas • Llamamos PROBABILIDAD a toda aplicación P definida entre el espacio de sucesos S y el conjunto de los números reales R, de modo que todo suceso A le asocia un número real P(A), al que llamamos probabilidad del suceso A • AXIOMA 1 • Cuando un suceso se da siempre, se llama suceso seguro. • P(E) = 1. • AXIOMA 2 • La probabilidad de un suceso A es un número no negativo. • P(A)≥0 • AXIOMA 3 • Si A y B son sucesos incompatibles (no se pueden dar a la vez) la probabilidad de A U B es la suma de probabilidades. • Si A∩B = Ø  P(AUB)=P(A)+P(B) Matemáticas 2º Bachillerato CS

4. Consecuencias • Consecuencia 1 • Cuando un suceso no se pueda dar nunca, se llama suceso imposible . • P(A) = 0 • Consecuencia 2 • El valor de la Probabilidad de un suceso A será siempre: • 0 ≤ P(A) ≤ 1 • Ejemplos en el experimento aleatorio de lanzar un dado: • P(7) = 0 , pues el 7 es un suceso imposible. • P(“Número entero”) = 1 , pues es un suceso seguro. • P(5) = 1/6 = 0,1667 , vemos que 0 ≤ P(5) ≤ 1 • P(5∩6)=P(5)+P(6) = 0,1667 + 0,1667 = 0,3334 , pues el suceso A=“Obtener un 5” es incompatible con el suceso B=“Obtener un 6) Matemáticas 2º Bachillerato CS

5. EXPERIMENTOS COMPUESTOS • Son el resultado de combinar dos o más experiencias aleatorias simples: Lanzar dos monedas al aire, lanzar tres dados al aire, extraer una bola de una urna y luego otra bola de otra urna. • Pueden darse dos casos muy importantes: • Extracciones CON REEMPLAZAMIENTO. Será cuando lo extraído se devuelva donde estaba de inmediato tras mirar el resultado. • Un caso particular, pero muy importante, es reemplazar el objeto extraído por otro de distinta modalidad (color, número, etc). • Extracciones SIN REEMPLAZAMIENTO. Será cuando lo extraído NO se devuelva donde estaba tras mirar el resultado. • Un caso particular, pero muy importante, es cuando se realizan todas las extracciones a la vez, en cuyo caso no podemos hablar de orden en los resultados. Matemáticas 2º Bachillerato CS

6. SUCESOS COMPATIBLES • SUCESOS COMPATIBLES • Dos sucesos, A y B, se los llama sucesos compatibles cuando se pueden dar a la vez. • Si A∩B <> Ø  P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A).P(B) • Ejemplo: • Sea A el suceso “Que al lanzar un dado el resultado sea un 6” • Sea B el suceso “Que al lanzar un dado el resultado sea un número par” • Ambos sucesos se pueden dar a la vez, luego son compatibles. • Ejemplo: • Sea A el suceso “Al extraer una carta ésta sea un rey” • Sea B el suceso “Al extraer una carta ésta sea de copas“ • Ambos sucesos se pueden dar a la vez, pues hay un rey de copas, luego son compatibles. Matemáticas 2º Bachillerato CS

7. SUCESOS INCOMPATIBLES • SUCESOS INCOMPATIBLES • Dos sucesos, A y B, se los llama sucesos incompatibles cuando no se pueden dar a la vez. • Ejemplo: • Sea A el suceso “Que al lanzar un dado el resultado sea un 5” • Sea B el suceso “Que al lanzar un dado el resultado sea un número par” • Ambos sucesos no se pueden dar a la vez, luego son incompatibles. • Ejemplo: • Sea A el suceso “Al extraer una carta ésta sea un rey o un tres” • Sea B el suceso “Al extraer una carta ésta sea un as o un dos“ • Ambos sucesos no se pueden dar a la vez, luego son incompatibles. Matemáticas 2º Bachillerato CS

8. SUCESOS CONTRARIOS • Cuando en un experimento aleatorio sólo hay dos posibilidades o dos sucesos posibles, que se excluyen mutuamente, se los llama sucesos contrarios. • En una moneda, lo contrario de resultar Cara es resultar Cruz. • En un dado, lo contrario de resultar Par es resultar Impar. • En un dado lo contrario de resultar un 5 es no resultar un 5. • Todos los experimentos aleatorios los podemos expresar como espacio muestral de dos únicos sucesos: El que interesa y el contrario. • _ _ • Como P(A) + P( A ) = 1 ; P( A ) = 1 - P(A) • Ejemplo: Al lanzar un dado al aire, que el resultado sea un 5 o que no sea un 5. • P(5) = 1 / 6 = 0,1667 • _ • P(5) = 1 – 1/6 = 5 / 6 = 0,8333 Matemáticas 2º Bachillerato CS

9. Ejercicios • EJERCICIO_1 • Lanzamos un dado al aire cuatro veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener las cuatro veces el mismo resultado numérico?. • RESOLUCIÓN: • a) El mismo resultado numérico concreto (un cinco por ejemplo). • P(5∩5∩5∩5)= P(5).P(5).P(5).P(5) = (1/6)4 = 0,000771 • b) El mismo resultado numérico cualquiera. • P(V∩A∩A∩A)= P(V).P(A).P(A).P(A) = 1. (1/6)3 = 0,00452 Matemáticas 2º Bachillerato CS

10. EJERCICIO_2 • En un examen de 20 temas, un alumno sabe 13 de ellos. El profesor pone 3 temas al azar. Para aprobar, el alumno debe saber al menos dos de los tres temas propuestos. ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe el examen? • C13,2 . C7,1 C13,3 • P(A)=P(2)+P(3) = -------------------- + --------------------- = • C20,3 C20,3 • 13!/2!.11! . 7!/1!.6! 13!/3!.10! • = -------------------------------- + --------------------- = • 20!/3!.17! 20!/3!.17! • 13.6. 7 13.2.11 • = --------------- + -------------- = (546+ 286)/ 1140 = 832/1140 = 0,7298 • 20.19.3 20.19.3 Matemáticas 2º Bachillerato CS

11. EJERCICIO_3 • Dos futbolistas se juegan el campeonato en un penalti. La probabilidad de que lo meta el primero es ½, y de que lo meta el segundo, si el primero lo hace antes, es ¼. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos metan el penalti?. • P(A∩B) = P(A). P(B/A) = 0,5 . 0,25 = 0,125 • P(A∩NB) = P(A). P(NB/A) = 0,5 . 0,75 = 0,375 • P(A∩B) = 0,125 • EJERCICIO_4 • La probabilidad de que un alumno apruebe Matemáticas es de 0,6 y la de aprobar Física, habiendo superado Matemáticas, es de 0,7.¿Cuál es la probabilidad de aprobar ambas asignaturas? • P(M∩F) = P(M). P(F/M) = 0,6 . 0,7 = 0,42 Matemáticas 2º Bachillerato CS

12. EJERCICIO_4 • La probabilidad de que Andrés haga la comida es de 2 / 9. La probabilidad de que la haga su mujer es de 3 / 5. ¿Cuál es la probabilidad de que la comida esté hecha?. • Como puede haber intersección se sucesos, la unión será: • P(AUM) = P(A) + P(M) – P(A).P(M) • P(AUM) = 2/9 + 3/5 – 2/9.3/5 = 0,2222 + 0,6000 – 0,1333 = 0,6889 • EJERCICIO_5 • En un cruce nos encontramos dos semáforos. La probabilidad de que el primero esté en rojo es 1 / 3 y la probabilidad de que, si el primero está en rojo, el segundo esté en ámbar, es de 1 / 5. ¿Cuál es la probabilidad de que el primero esté en rojo y el segundo en ámbar?. • P(R∩A) = P(R). P(A/R) = 0,3333 . 0,2 = 0,0666 Matemáticas 2º Bachillerato CS

13. EJERCICIO_6 • Miriam espera la llamada de Carlos y de Guillermo. La probabilidad de que la llame Carlos es de 0,7 y de que la llame Guillermo es de 0,5. Calcula: • a) La probabilidad de que llamen los dos. • b) La probabilidad de que llame alguno de ellos. • c) La probabilidad de que no llame ninguno. • a) P(C∩G)=P(C).P(G) = 0,7 . 0,5 = 0,35 • b) P(CUG)=P(C) + P(G) - P(C).P(G) = 0,7+ 0,5 – 0,35 = 0,85 • _ _ _ _ • c) P(C∩G)=P(C).P(G) = (1 – 0,7). (1 – 0,5) = 0,3 . 0,5 = 0,15 • De otra forma: • P(Ninguno) = 1 – [P(CUG)] = 1 – 0,85 = 0,15 • Observesé que P(C) + P(G) = 0,7 + 0,5 = 1,2 , lo que es imposible. Matemáticas 2º Bachillerato CS