Nazwa szkoły : Gimnazjum im. Noblistów Polskich w Koźminku ID grupy: 98/44_mf_g2

2. Dane informacyjne szkoły zapraszającej w projekcie MGP • Nazwa szkoły: • Gimnazjum im. Noblistów Polskich w Koźminku • ID grupy: 98/44_mf_g2 • Opiekun: p. Edyta Trocha • Kompetencja: Matematyczno - fizyczna • Temat projektowy: Liczba pi • Semestr/rok szkolny: • Semestr IV, rok szkolny 2011/2012

3. Gimnazjum z Koźminka • 1.Katarzyna Janiak • 2.Kinga Humelt • 3.Karolina Trzcińska • 4.Ewelina Murawska • 5.Kamil Krakus • 6.Adrian Wesołowski • 7.Kamil Kapłonek • 8.Tobiasz Kawecki • 9.Szymon Wojciechowski • 10.Józef Muszyński • 11.Klaudia Antczak • 12.Aleksandra Pietura • 13.Kinga Jędrzejak • 14.Piotr Kostera • 15.Tomasz Jaśkiewicz

4. Dane informacyjne szkoły zapraszanej w projekcie MGP • Nazwa szkoły: • Gimnazjum im. Królowej Jadwigi we Wschowie • ID grupy:98/87_MF_G1 • Opiekun: p. Teresa Czapiewska - Jędrzychowska • Kompetencja: Matematyczno - fizyczna • Temat projektowy: W świecie liczb • Semestr/rok szkolny: Semestr III, rok szkolny 2010/2011

5. Gimnazjum ze Wschowy 1.Agnieszka Gąsiorek. 2. Nicole Kamińska3. Michał Kroma4. Wojciech Mały5. Agnieszka Marciniak6. Martyna Mielnik7. Natalia Młynarczak8. Aleksandra Rybka9.Oktawia Suda10. Katarzyna Walner11. Jarosław Urbanowicz

6. Liczba π… • „Następnie sporządził odlew okrągłego morza o średnicy dziesięciu łokci, o wysokości 5 łokci i o obwodzie 30 łokci.” • Biblia Tysiąclecia • π≈3,141592653589793238462643383279502884197169...

7. Historia liczby π… • Już w czasach zamierzchłych starożytni rachmistrze zauważyli, że wszystkie koła mają ze sobą coś wspólnego, że ich średnica i obwód pozostają wobec siebie w takim samym stosunku, a liczba ta bliska jest 3. W Starym Testamencie obwód był właśnie trzykrotnością średnicy, a w jednym z najstarszych tekstów matematycznych- papirusie Rhinda (XVII w. p. n. e.) wartość ta była przedstawiana jako • (169)2≈3,160493...

8. Film o liczbie Pi… • Liczbę Pi poznajemy jako pierwszą w szkole – jako iloraz obwodu koła i jego średnicy. „Pi” to również tytuł i inspiracja niekomercyjnego filmu Darrena Aronofskiego. Bohater filmu Max Cohen jest stereotypowym naukowcem. Zamknięty w sobie, poświęcający każdą wolną chwilę matematyce, zaniedbujący doczesną egzystencję, prowadzi niekończącą się walkę z migrenowymi halucynacjami oraz ... liczbami. Jego obsesją jest odnalezienie reguły w chaosie dziesiętnego rozwinięcia liczby Pi.

9. Ciekawostki… • W piramidzie Cheopsa stosunek sumy dwóch boków podstawy do wysokości wynosi 3,1416, czyli przybliżenie pi z dokładnością do czterech miejsc po przecinku! Dziś nie można stwierdzić czy był to zadziwiający przypadek, czy wynik geniuszu nieznanych nam z imienia uczonych. • Liczba 31415926535897932384626433832795028841 zestawiona z początkowych 38 cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby Pi, jest pierwsza. • Tak i mnie i tobie poznawana tu liczba cudna dla ogół przynosi wszystkim pożytek wspaniały • π ≈ 3,14159265358979 • Uczeni szukając kontaktu z cywilizacjami pozaziemskimi, wysłali w kosmos drogą radiową informację o wartości liczby π.

10. Wzory na Pi… • Oto wzory na liczbę pi : • Babilończycy: π≈3 • Egipcjanie (ok. 2000 r. p.n.e.):π≈(169)2 ≈3,160493... • Archimedes:π≈227≈3,14 • Chiński matematyk Chang Hing :14245≈3,1555... • Klaudiusz Ptolomeusz π≈3+860+3360≈3,1416 • hinduski matematyk Ariabhata (V w. n.e.): • π≈ 628322000=3,1416

11. Czym jest liczba Pi… •  Liczba π to stosunek długości okręgu do długości jego średnicy, jest wielkością stałą i wynosi w przybliżeniu 3,1415... Ale dlaczego w przybliżeniu? • Liczba PI" jest liczbą niewymierną • Symbol ten pochodzi od greckich słów: • periferia lub perimetron.

12. Dziś jesteśmy w stanie obliczyć wartość pi do milionów miejsc po przecinku. Rodzi się pytanie: jakiego rodzaju to liczba? Wiemy, że jest bardzo bliska • 227≈3,14 , ale nie ma tu równości. Bliższa jest wartości • 355113≈3,1415929203..., ale nawet ta liczba nie określa dokładnej wartości.

13. liczba Pi… • Ostatecznie w roku 1882 niemiecki matematyk Ferdinand Lindemann rozstrzygnął podstawowy problem dotyczący liczby i wykazał, że π jest liczbą przestępną czyli taką, która nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu o współczynnikach całkowitych. • Liczba pi jest więc liczbą niewymierną, taką której rozwinięcie dziesiętne zachowuje się "byle jak",nie ma w nim żadnego porządku i nigdy się nie kończy.

14. Używany dzisiaj symbol π wprowadzony został dopiero w 1706 roku przez Wiliama Jonesa, a spopularyzował go Leonhard Euler używając tego zapisu w dziele Analiza. • Swą nazwę zawdzięcza pierwszej literze greckiego słowa "peryferia". Liczba ta nazywana jest również ludolfiną od imienia niemieckiego matematyka Ludolpha van Ceulena, który wraz z żoną na początku XVII w. podał jej przybliżenie z dokładnością 35 miejsc po przecinku.

15. „PI w arytmetyce” • Pi można wykorzystać również w arytmetyce. Jeśli liczbę parzystą podzielimy przez nieparzystą, a później tę samą parzystą przez kolejną nieparzystą, po czym następną parzystą przez tę samą nieparzystą co poprzednio (czyli 2/1, 2/3, 4/3, 4/5, 6/5, 6/7 itd. ) to po wymnożeniu ich wyników otrzymujemy połowę Pi - Wielu ludzi pasjonuje się Pi, bo sądzą że można związać z nią zdarzenia losowe.

16. Międzynarodowy dzień „PI” • 14 marca obchodzony jest międzynarodowy dzień liczby Pi. Datę święta wyznaczono ze względu na pierwsze cyfry rozszerzenia dziesiętnego PI (3,14)…

17. Wiersz o „PI” • Liczba Pi [Fragment Wiersza Wisławy Szymborskiej] • Podziwu godna liczba Pi trzy koma jeden cztery jeden. Wszystkie jej dalsze cyfry też są początkowe, pięć dziewięć dwa ponieważ nigdy się nie kończy. • Nie pozwala się objąć sześć pięć trzy pięć spojrzeniem osiem dziewięć obliczeniem siedem dziewięć wyobraźnią, a nawet trzy dwa trzy osiem żartem, czyli porównaniem…

18. 1 rok świetlny równa się w przybliżeniu π·107·c (km), gdzie c oznacza prędkość światła (w kilometrach na sekundę). Liczba sekund w roku wynosi 365·24·60·60=31 536 000, co w przybliżeniu wynosi π·107·c.

19. Obliczanie liczby π metodą Monte-Carlo • Metoda Monte-Carlo - jest stosowana do modelowania matematycznego procesów zbyt złożonych , istotną rolę w metodzie MC odgrywa losowanie (wybór przypadkowy) wielkości charakteryzujących proces, przy czym losowanie dokonywane jest zgodnie z rozkładem, który musi być znany. • Metodą Monte Carlo można obliczyć pole figury zdefiniowanej nierównością: • Czyli koła o promieniu R i środku w punkcie (0,0).

20. Losuje się n punktów z opisanego na tym kole kwadratu - dla koła o R = 1 współrzędne wierzchołków (-1,-1), (-1,1), (1,1), (1,-1). 2. Po wylosowaniu każdego z tych punktów trzeba sprawdzić, czy jego współrzędne spełniają powyższą nierówność (tj. czy punkt należy do koła). Wynikiem losowania jest informacja, że z n wszystkich prób k było trafionych, zatem pole koła wynosi : Gdzie P jest polem kwadratu opisanego na kole.

21. W statystyce matematycznej igła Buffona jest jednym z najpopularniejszych problemów prawdopodobieństwa geometrycznego. Problem został sformułowany w 1733 przez Georges'a-Louisa Leclerca, hrabiego Buffon, a w 1777 podał on jego rozwiązanie. Opisany w problemie eksperyment jest statystyczną symulacją pozwalającą oszacować liczbę π. Otrzymana metoda estymacji liczby π należy do klasy metod Monte Carlo.

22. Zadanie Buffona o igle Francuski hrabia Buffon, znany przyrodnik, rysował równo linie na papierze, potem rzucał igłę i sprawdzał ile razy przecina ona narysowane linie. Okazało się, że w stosunku liczby przecięć do liczby rzutów też jest zakodowane Pi…

23. Metoda aproksymacji  liczby • Aproksymacja to proces określania rozwiązań przybliżonych na podstawie rozwiązań znanych, które są bliskie rozwiązaniom dokładnym. • Jeśli nieznany jest obwód koła, to w przybliżeniu można go ustalić, obliczając obwód wielokąta wpisanego w okręg i obwód wielokąta opisanego na tym samym okręgu. Obwód koła, równy 2 r, jest zawsze dłuższy niż obwód wielokąta wpisanego, a krótszy niż obwód wielokąta opisanego na tym okręgu

24. Pierwszym matematykiem, który tę metodę z powodzeniem praktykował, był Archimedes. Do swoich obliczeń wykorzystał on wielokąt o 96 bokach i uzyskał w ten sposób przybliżenie sięgające  dwóch miejsc po przecinku – = 3,14. Liu Hui • Jeszcze dokładniejszy wynik osiągnął chiński matematyk Liu Hui w III w. n.e. Z prawdziwie chińską cierpliwością rozpoczął on od wpisywania w okrąg wielokąta o 192 bokach, aż doszedł do wpisywania wielokąta o 3072 bokach i otrzymał wartość liczby = 3,14159.

25. Wzory z zastosowaniem liczby  Długość okręgu: l = 2r r = promień Pole koła: P = r2 r = promień Długość łuku: Pole wycinka kołowego:

26. Wzory z zastosowaniem liczby  Objętość kuli: r = promień Pole elipsy: a = ½ długości osi wielkiej b = ½ długości osi małej Pole powierzchni kuli: Obwód elipsy: a = ½ długości osi wielkiej b = ½ długości osi małej

27. Długość okręgu – przykład Policzmy długość okręgu dla r = 3 r

28. Pole koła – przykład Liczymy pole koła dla r= 3 r

29. Pole wycinka kołowego – przykład Liczymy pole wycinka kołowego dla r = 3 i α = 90o r

30. Objętość kuli – przykład Liczymy objętość kuli dla r = 3 r

31. Pole powierzchni kuli – przykład r Liczymy pole kuli dla r = 3

32. Pole elipsy – przykład b a Dla a = 6,25 i b = 4

33. Wykorzystanie liczby PiWalec Walec ma dwie podstawy, które są kołami. Powierzchnia boczna walca „po rozwinięciu” jest prostokątem

34. Wysokością walca jest każdy odcinek o końcach należących do obu podstaw i równoległy do odcinka łączącego środki podstaw.

35. Stożki • Oto stożek i jego siatka.

36. Objętość stożka wynosi • V= 1/3 Sh • S - pole powierzchni podstawy stożka • H - wysokość stożka

37. Kule • Kulą nazywamy bryłę powstałą z obrotu półkola dokoła prostej zawierającej jego średnicę.

38.  P = 4πr2 - pole powierzchni kuli • gdzie:πr2 - pole koła wielkiego Pkw (największego przekroju kuli)r - promień kuli i koła wielkiegoMożesz zapamiętać, że powierzchnia kuli jest równa powierzchni czterech kół wielkich:P = 4Pkw = 4πr2   V = 4/3πr3 - objętość kuli

39. Rozwiązywaliśmy zadania:Zadanie 1 Do garnka o średnicy 24 cm i wysokości 12 cm wody. Oblicz, ile litrów wody nalano do garnka. r = 12cm h = 12 cm V = ∏ r ² * h V = 144 ∏ cm ³ V ~ 452,16cm ³ 452,16 cm ³ ~ 4,5 l Do garna nalano około 4,5 litra wody.

40. Zadanie 2 Zakończenie wieży jest stożkiem o promieniu podstawy r = 3,5 m i tworzącej l = 6m. Ile metrów kwadratowych należy kupić na pokrycie zakończenia wieży, jeżeli na skrawki i spojenia trzeba doliczyć 10%? Pc = Pp + PbPp = π r ² Pb = π * r * l Pp = 12,25 ∏ ~ 38,45 cm ² Pb = 21 ∏ ~ 65,95 Pc = 38,45 + 65, 95 Pc ~ 104,4 + 10 % pc ~ 114,84 m ² Na pokrycie zakończenia wieży należy kupić około 114,84m ².

41. Zadanie 3 Mama upiekła dwa ciasta: tort w kształcie walca o średnicy 30 cm i wysokości 6 cm oraz babkę w kształcie półkuli o promieniu 12 cm . Z obu ciast wykroiła kawałki równe ich 1/12. Czy otrzymane w ten sposób porcje ciasta mają równe objętości? Tort: Babka: V = π r ² * h V= 4/3 π r ³ V = 225 π ~ 706,5 cm ³ V= 4/3 1728 π V~ 4239 cm ³ V~ 4/3 5425,92 cm ³ 1/12 = 353,25 cm ³ V~ 7234,56 cm ³ / 2 V ~ 3617,28 cm ³ 1/12 = 301,44 cm ³ Otrzymane porcje ciasta nie mają równych objętości.

42. Zadanie 4 Namiot indiański (wigwam) ma kształt stożka o średnicy podstawy 8 m i wysokości o 25% krótszej od promienia. Ile metrów sześciennych powietrza znajduje się w namiocie (wynik zaokrąglij do 0,1 m ³) ? V = 1/3Pp * h Pp = π r ² Pp = 16 π Pp = 50,24 m ² V = 16,7 * 3 V = 50,1 m ³ W namiocie znajduje się 50,1 m ³ powietrza.

43. Zadanie 5 Ile kul o promieniu 5 cm można pomalować 3 litrami farby, jeśli wiadomo, że 1 litr tej farby wystarcza na pomalowanie 9m ² powierzchni? Pc= 4 π r ² r= 5cm= 0,05 m r2=0,25m Pc= 4*0,25*3,14 Pc=3,14m2 Pc kuli to 3,14m2 27 / 3,14= 8,599 Trzema litrami farby można pomalować 8 kul.

45. Dokonywaliśmy również pomiarów brył przestrzennych i obliczaliśmy ich pola powierzchni i objętości.

47. Wykonujemy doświadczenie zmierzającego do empirycznego wyznaczenia przybliżonej wartości Pi. • Mierzymy średnice płyty kompaktowej, talerza i obudowę od wentylatora.