מתמטיקה ב' לכלכלנים

1. מתמטיקה ב' לכלכלנים שיעור 3 – נגזרות, דיפרנציאבליות וקירובים תיאוריה

2. נגזרת חלקית הרעיון: כאשר הגדרנו נגזרת ניסינו לתאר את מגמת השינוי הרגעית של פונקציה כאשרX מתקדם. במרחב אנחנו יכולים לדברעל התקדמות במספר כיוונים.

3. נגזרת חלקית לשיפועים האלו אנחנו קוראים "נגזרת כיוונית". כדי להגדיר נגזרת כיוונית נגדיר תנועה במסילה. עלינו לשים לב שהתנועה במסילה צריכה להיות בקצב 1. כלומר המסילה היא: (at,bt)כאשר

4. נגזרת חלקית נגזרות כיווניות חשובות במיוחד הן הנגזרות החלקיות: נגזרת חלקית לפי x: הנגזרת החלקית לפי xהמסומנת: או: מוגדרת להיות: באופן דומה נגדיר נגזרת חלקית לפי y ולפי כל משתנה אחר.

5. נגזרת חלקית - דוגמאות חשב נגזרות חלקיות לפונקציות הבאות:

6. התחלפות הנגזרות החלקיות משפט (שוורץ): אם הנגזרות החלקיות בשני כיוונים (למשל x וy) קיימות בנקודה a ורציפות, אזי מתקיים: כלומר הנגזרת הכיוונית בכיוון x של הנגזרת הכיוונית בכיוון y שווה בדיוק לנגזרת הכיוונית בכיוון y של הנגזרת הכיוונית בכיוון x. הוכחה: עוד שני שקפים

7. נגזרת חלקית - דוגמאות נראה כי הנגזרות מתחלפות:

8. התחלפות הנגזרות החלקיות הרעיון: נסתכל על ארבע נקודות:

9. התחלפות הנגזרות החלקיות מצד שני: החלפנו!

10. התחלפות הנגזרות החלקיות הוכחה: נוכיח בשני משתנים עבור a=(x0,y0): בסביבה קטנה של y0 הנגזרת מוגדרת, לכן שני הגבולות קיימים ולכן הביטוי שווה: נחליף סדר ונקבל

11. כעת משום שהגבולות קיימים ורציפים:

12. נגזרת כיוונית כפי שהבטחנו - אפשר להגדיר נגזרת חלקית בכל כיוון הגדרה: יהי (a,b) וקטור יחידה, כלומר . נגדיר את הנגזרת הכיוונית בכיוון (a,b) להיות:

13. נגזרת כיוונית המחשה: וכעת נגזרת בכיוון אבל:

14. נגזרת כיוונית נהפוך את צירוף המקרים למשפט. משפט: אם הנגזרות החלקיות בנקודה של הפונקציה קיימות ורציפות. אזי מתקיים שהנגזרת הכיוונית בכיוון היא: הוכחה בהמשך...

15. דיפרנציאביליות וליניאריזציה למדנו לקרב פונקציה מרובת משתנים בכל כיוון בקלות... אבל האם ניתן לקרב אותה בכל הכיוונים בבת אחת? ניזכר במונח מהקורס הקודם: הגדרה (מתמטיקה א'): דיפרנציאל של פונקציה f(x) גזירה הוא: נסמן – אזי לכל פונקציה גזירה יתקיים ולכן אמרנו שכל פונקציה גזירה – דיפרנציאבילית.

16. דיפרנציאביליות וליניאריזציה וכעת בשני משתנים: הגדרה: נגדיר לפונקציה שנגזרותיה החלקיות קיימות את הדיפרנציאל השלם של f(x,y) בנקודה (x0,y0). לעיתים הדיפרנציאל השלם מכונה – ליניאריזציה של f הגדרה: פונקציה המקיימת: כאשר נקראת דיפרנציאבילית.

17. משפט הדיפרנציאביליות ומה המשמעות? אפשר לקרב כל פונקציה דיפרנציאבילית בסביבה על ידי מישור משיק. כאשר מתקרבים לנקודה הקירוב מתקרב למציאות. עד כמה? – זו עדיין שאלה פתוחה. נתייחס לכך בהמשך. משפט: אם הנגזרות החלקיות בנקודה של הפונקציה קיימות ורציפות אזי הפונקציה דיפרנציאבילית. ההוכחה קשה ומערבת מונחים טכניים רבים ועל כן נאלץ לוותר עליה. 

18. דיפרנציאביליות המחשה: נחשב נגזרות חלקיות ונקבל: לכן ניתן לקרב את הפונקציה ע"י:

19. גרדיאנט לאחר שלמדנו לקרב פונקציה בשני משתנים בכל כיוון ולאורך כל מסילה – עלינו לבנות כלי מעשי לשימוש ביכולת זו. הגדרה: נגדיר לפונקציה שנגזרותיה החלקיות קיימות ורציפות את הגרדיאנט: ונגדיר עוד מונח שימושי – מכפלה סקלרית: הגדרה: נגדיר לשתי k –יות של מספרים את הפעולה שנכנה מכפלה סקלרית של .

20. שימושי הגרדיאנט קל לראות את השימוש המיידי של הגרדיאנט לפני נוחסאת הנגזרות הכיווניות: מסקנה: אם a1,a2,…,ak))a= כיוון – כלומר אז היא הנגזרת הכיוונית בכיוון A אך לגרדיאנט משמעויות ושימושים נוספים...

21. משמעות גיאומטרית של הגרדיאנט מה היא מכפלה סקלרית מבחינה גיאומטרית: ניזכר במשפט הקוסינוסים: נציב לפי הציור ונקבל: נשווה: ונקבל: חישבנו שוב את B-A בדרך שונה. A=(3,4) נחשב את גודל B-A Y B=(6,2) 53.13 X

22. משמעות גיאומטרית של הגרדיאנט מכפלה סקלרית של שני וקטורים היא מכפלת אורכיהם כפול קוסינוס הזווית ביניהם. תרגיל: הוכח את המשפט בהסתמך על השקף הקודם. כעת נוכל לנצל את הידע על מכפלה סקלרית כדי להסיק מסקנות שימושיות ומרחיקות לכת לגבי הגראדיאנט.

23. משמעות גיאומטרית של הגרדיאנט אמרנו שמכפלה סקלרית של הגרדיינט עם כיוון היא הנגזרת הכיוונית בכיוון זה. אמרנו גם כי מכפלה סקלרית אבל אם a כיוון - אז לכן - כלומר הנגזרת הכיוונית היא אורך הגרדיאנט כפול קוסינוס הזווית בין הגרדיאנט לכיוון a. משפט: כיוון הגדריאנט – אשר מוגדר להיות: הוא הכיוון שבו הפונקציה עולה בקצב מכסימלי.

24. פונקציות הומוגניות – קסם הגראדיאנט הגדרה: פונקציה f נקראת הומוגנית אם קיים d כך שמתקיים: עבור כל a חיובי. d מכונה דרגת ההומוגניות של f. אבל בשביל מה זה טוב? – עוד כמה חודשים נבין... בינתיים – תרגול. משפט (אוילר): פונקציה היא הומוגנית אם ורק אם: הוכחה: בהמשך ( כיוון אחד בקרוב...)

25. פונקציות הומוגניות דרגת ההומוגניות היא 2 קצת דוגמאות: משפט אוילר: דרגת ההומוגניות היא 2

26. פונקציות הומוגניות שימו לב – a חיובי. דרגת ההומוגניות היא 1.5 קצת דוגמאות: משפט אוילר: דרגת ההומוגניות היא 1.5

27. כעת נוכל לחשב את מגמתה של כל פונקציהרב-ממדית! למרות שהדבר נראה כפרדוקס, כל המדע המדויק נשען על קירובים, כשאדם אומר שהוא יודע את האמת בדיוק, אתה יכול להיות סמוך ובטוח שאינו דייקן. -- ברנרד ראסל