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Iteración de un punto fijo

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Iteración de un punto fijo. Un punto fijo de una función g es un número para el cual g(p)=p Los problemas de punto fijo y los de búsqueda de raíces tienen la sig. relación: si la función g tiene un punto fijo en p entonces la función definida por f(x) = x – g(x) tiene un cero en p.

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    Presentation Transcript
    1. Iteración de un punto fijo

    2. Un punto fijo de una función g es un número para el cual g(p)=p • Los problemas de punto fijo y los de búsqueda de raíces tienen la sig. relación: si la función g tiene un punto fijo en p entonces la función definida por f(x) = x – g(x) tiene un cero en p

    3. Dada una ecuación f(x) podemos transformarla (despejando) en una función equivalente de la forma g(x)=x • Para aproximar el punto fijo de una función g escogemos una aproximación inicial Po y generamos la sucesión haciendo Pn = g(Pn-1) para cada n>=1 si la secuencia converge en p obtenemos una solución con x = g(x)

    4. Por ejemplo la ecuación tiene muchas maneras de convertirla en forma x= g(x) una de ellas es la siguiente: despejamos el 4x^2:

    5. Entrada aproximación inicial Po; tolerancia TOL; numero de iteraciones No • Salida solución aproximada a p o mensaje de error • Paso 1 sea i = 1 • Paso 2 mientras i< No hacer pasos 3-6 • Paso 3 tomar p= //se calcula • Paso 4 si |p-| < Tol entonces //criterio de paro • SALIDA (p) //procedimiento terminado con éxito • FIN

    6. Paso 5 tomar i = i+1 • Paso 6 tome • Paso 7 SALIDA (‘el método fallo después de No iteraciones’) procedimiento terminado sin éxito • FIN

    7. La siguiente imagen ilustra como trabaja el algoritmo con la serie de p’s y la manera en la que se aproxima al punto fijo

    8. Algo importante a la hora de implementar este método es el despeje que utilizaremos o sea nuestro g(x) el siguiente ejemplo nos ilustra dos g(x) equivalentes, derivadas de una misma g(x) pero observaremos mediante la tabla de cálculos como una de ellas converge y la otra diverge del resultado que buscamos • g1= • g2 • Ambas derivan del f(x) =