Parabola

1. Parabola Dato un punto F del piano F d ed una retta d si diceparabolal’insieme dei punti del piano equidistanti dal punto F e dalla retta d

2. Parabola punto per punto Animazione : clicca sull’immagine

3. Ogni punto è determinato dall’eguaglianza fra le distanze punto-retta punto-fuoco fuoco F direttrice Per ogni punto il valore delle distanze(=raggio) è diversa, tranne che . . . fuoco F direttrice

4. L’insieme dei punti (parabola) • ha un punto particolare detto vertice • è simmetrico rispetto alla linea asse di simmetria Asse di simmetria F fuoco V vertice

5. 10 8 6 F 4 V 2 4 2 0 2 4 6 8 10 2 4 Rappresentazione della parabola nel piano cartesiano Se nel piano inseriamo un sistema di assi cartesiani si ha la rappresentazione a fianco della parabola. Il fuoco F e il vertice V sono punti,ognuno con le sue coordinate, l’asse di simmetria è una retta parallela all’asse y.

6. I punti della parabola sono costruiti sull’eguaglianza delle distanze dal fuoco e dalla direttrice Animazione : clicca sull’immagine

7. Variando fuoco e direttrice si possono ottenere parabole diverse per posizione . . . Animazione : clicca sull’immagine

8. . . . e per ampiezza Animazione : clicca sull’immagine

9. P 10 F 8 6 4 2 5 0 5 10 2 4 I punti di una parabola soddisfano tutti la proprietà eguaglianza delle distanze. Possiamo determinarne l’equazione.

10. Equazione generica della parabola a,b,c R Asse di simmetria parallelo asse y a,b,c R Asse di simmetria parallelo asse x Ci occuperemo qui delle parabole con asse di simmetria parallelo all’asse y Per approfondimenti vedere scheda

11. Esercizio 1 Esercizio 2 Variazione dei grafici al variare dei coefficienti a,b,c R Vediamo come si presenta il grafico della parabola al variare dei valori a,b,c Con il pacchetto grafico che avete a disposizione disegnate nel piano cartesiano le parabole :

12. 10 5 10 5 0 5 10 5 10 Esercizio 1 Esercizio 2 Si ottengono i grafici Concavità a>0 a<0

13. Esercizio 3 Esercizio 4 Vertice Al variare di a e b varia la posizione dell’ascissa del vertice, che ha infatti coordinate : Per approfondimenti vedere scheda

14. Esercizio 5 Al variare di c varia la posizione del vertice per quanto riguarda l’ordinata : il grafico della parabola risulta traslato

15. Esercizio 6 Intersezioni con gli assi

16. Per determinare il punto d’intersezione con l’asse y si risolve il sistema P(0,c) x = 0 Y = 0 Per determinare i punti d’intersezione con l’asse x si risolve il sistema Si ottiene un’equazione di 2° grado in x le cui soluzioni rappresentano le ascisse dei punti d’intersezione Quali sono i punti in cui la parabola taglia gli assi cartesiani ?

17. La parabola ha due punti d’intersezione con l’asse x Se b2-4ac> 0 La parabola ha un punto d’intersezione con l’asse x Se b2-4ac= 0 La parabola non ha punti d’intersezione con l’asse x Se b2-4ac< 0

18. Inoltre Se c=0 y=ax2+bx La parabola passa per l’origine Se b=0 y=ax2+c La parabola ha il vertice sull’asse y Se b=0 e c=0 y=ax2 La parabola ha il vertice nell’origine

19. 10 8 vertice 6 F 4 fuoco V 2 direttrice 4 2 0 2 4 6 8 10 2 equazione asse di simmetria 4 Formule y=ax2+bx+c Per approfondimenti vedere scheda

20. 4 2 2 0 2 4 2 4 V Come si rappresenta la parabola di equazione y=ax2+bx+c nel piano cartesiano • Determinare le coordinate del vertice V • Determinare l’equazione dell’ asse di simmetria • Determinare le coordinate degli eventuali puntid’intersezione con gli assi • Determinare le coordinate di qualche altro punto, anche tenendo presente la simmetria • Rappresentare punti e asse nel piano : essi caratterizzano il grafico

21. Classificazione La parabola fa parte di una famiglia di curve dette CONICHE Con il termine CONICA si indica la curva che si ottiene come sezione tra un cono indefinito e un piano che non passa per il vertice del cono stesso.

22. PARABOLA ELLISSE IPERBOLE CIRCONFERENZA (ellisse particolare)

23. Osserva la linea d’intersezione cono-piano Animazione : clicca sull’immagine

24. In questo caso la curva ottenuta come intersezione tra il cono indefinito e il piano è la parabola

25. Osserva la linea d’intersezione cono-piano Animazione : clicca sull’immagine

26. In questo caso la curva ottenuta come intersezione tra il cono indefinito e il piano è l’ellisse

27. Osserva la linea d’intersezione cono-piano Animazione : clicca sull’immagine

28. In questo caso la curva ottenuta come intersezione tra il cono indefinito e il piano è l’iperbole

29. parabola ellisse iperbole La curva ottenuta dipende dall’inclinazione L’equazione generale di una conica è: ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0 a,b,c,d,e,f R

30. Per farle a casa Una torcia elettrica accesa posta perpendicolarmente ad una parete la illumina formando un cerchio Le coniche si ottengono intersecando un cono ed un piano : in questo caso il cono è il fascio di luce ed il piano è la parete. Se incliniamo la torcia si ottiene un’altra figura luminosa : l’ellisse. Inclinando maggiormente la torcia, la linea esterna della parte illuminata diventa una parabola Ruotando ancora di più si ottiene un ramo di iperbole.

31. Parabola : applicazioni e meccanismi • Moto di un proiettile • Fontane • Fuochi artificiali • Ponti sospesi • Proprietà focali della parabola • Specchi ustori • Antenna parabolica • Fari dei porti • Fari auto, flash, proiettori

32. FINE

34. Moto di un proiettile Il moto di un proiettile è il moto di un peso che viene lanciato in aria obliquamente. Il lancio di una palla da baseball, da golf o lo sparo di una pallottola sono esempi di questo moto. Galileo(1564-1642) fu il primo a studiare scientificamente tale moto e nei Discorsi e Dimostrazioni matematiche sopra due Nuove Scienze dimostrò che la traiettoria di un proiettile è una parabola. Consideriamo il proiettile soggetto alla sola forza di gravità, supponendo nulla l'influenza dei vari agenti atmosferici, in particolare le forze di attrito dell'aria e  quelle del vento.

35. Rappresentiamo in un sistema di assi cartesiani il moto, supponendo che l’origine sia il punto nel quale il proiettile inizia a muoversi obliquamente con velocità v0 Facendo un po' di conti si scopre che la funzione del moto ha la forma: y =ax2 +bx: la TRAIETTORIA è una parabola passante per l'origine e con concavità rivolta verso il basso. v0 Animazione : clicca sull’immagine Per approfondimenti vedere scheda

36. v0 Scheda 4 moto di un proiettile Il moto di un proiettile è il moto di un peso che viene lanciato in aria obliquamente. Il lancio di una palla da baseball, da golf o lo sparo di una pallottola sono esempi di questo moto. Galileo(1564-1642) fu il primo a studiare scientificamente tale moto e nei Discorsi e Dimostrazioni matematiche sopra due Nuove Scienze dimostrò che la traiettoria di un proiettile è una parabola. Consideriamo il proiettile soggetto alla sola forza di gravità, supponendo nulla l'influenza dei vari agenti atmosferici, in particolare le forze di attrito dell'aria e  quelle del vento. Rappresentiamo in un sistema di assi cartesiani il moto, supponendo che l’origine sia il punto nel quale il proiettile inizia a muoversi con velocità v0 e con un angolo di inclinazione θ g : accelerazione di gravità v0 : velocità iniziale,θ : angolo formato col terreno (alzo)

37. g v0 v0y v0x Le coordinate del punto P (x,y) che individua la posizione del proiettile al passare del tempo t sono x = v0x t y = v0y t - 1/2 g t2 v0x: componente orizzontale della velocità iniziale v0 v0y: componente verticale della velocità iniziale v0 L'accelerazione è quella gravitazionale ed essendo diretta verso la terra è negativa, quindi va sottratta L’equazione della traiettoria si ottiene eliminando il tempo t. Si ha così : y = v0y / v0x x - 1/2 g x2/ v0x2 che ha la forma: y =ax-bx2, ed è l'equazione di una parabola passante per l'origine e con concavità rivolta verso il basso; e questo prova che la TRAIETTORIA di un proiettile è una parabola. Nel caso in cui un proiettile venga lanciato da un'altezza h, y ha anche un termine noto, che significa che parabola descritta non passa per (0, 0).

38. 75° 60° 45° 30° 15° ymax θ Gittata • Per ottenere la traiettoria in funzione dell’alzo θ : essendo • v0x = v0 cos θ • v0y = v0 sin θ • si ottiene • x = (v0 cos θ) t • y = (v0 sin θ) t - 1/2 g t2 • La funzione che si ottiene eliminando t è • y = (tang θ) x -[ g/2 v0 2cos2 θ ] x2 • Per ottenere l’altezza massima del proiettile corrispondente ad un certo valore di v0 e di θ si può determinare il vertice della parabola. Perciò si avrà : • ymax= v0 2sin2θ /g • Per ottenere la gittata intersecando con l'asse delle x si ha : • Gittata = v02 sin 2θ /g • Variamo la funzione per l'alzo a che varia da 0° a 90°. Si può osservare che la gittatamassima si ottiene per 45° e che le gittate sono uguali per angoli che differiscono ugualmente da 45°,cioè per angoli complementari.

40. La parabola più elementare ha equazione Cerchiamo l’equazione della parabola di fuoco F(0,m ) e direttrice d: y = -m nel piano cartesiano.   Per ogni punto P(x,y) della parabola si deve ottenere : distanza (P ,F) = distanza ( P,retta d) quindi = y +m Sviluppando i calcoli si ottiene y = x2 Ponendo =a si ottiene y =a x2 P F y=-m asse di simmetriax=0 Parabola con vertice nell’origine Formule

41. Una parabola con vertice in un punto W(h,k) può essere vista come una traslazione della parabola con vertice V(0,0). Tutti i punti P(x,y) di y=ax2 sono spostati in Q(X,Y) secondo la trasformazione X = x+h x = X-h Y = y+k y = Y-k Si ricava Poiché x e y sono legati dalla relazione y=ax2 sostituendo si ottiene Y-k=a(X-h)2 Y= aX2 - 2ahX + ah2+k ↑ ↑ ↑ Si ottiene l’equazione della parabola Y= aX2 + bX + c ponendo b=-2ah c= ah2+k Parabola generica Formule Q(X,Y) P(x,y) W(h,k) k V(0,0) h

42. Le formule relative a vertice V, fuoco F, retta direttrice e asse di simmetria della parabola y=ax2 tramite la trasformazione risultano per la parabola y=ax2+ bx + c X = x+h Y = y+k Formule

44. La parabola più elementare ha equazione Cerchiamo l’equazione della parabola di fuoco F(0,m ) e direttrice d: y = -m nel piano cartesiano.   Per ogni punto P(x,y) della parabola si deve ottenere : distanza (P ,F) = distanza ( P,retta d) quindi = y +m Sviluppando i calcoli si ottiene y = x2 Ponendo =a si ottiene y =a x2 P F y=-m asse di simmetriax=0 Parabola con vertice nell’origine Formule

45. Una parabola con vertice in un punto W(h,k) può essere vista come una traslazione della parabola con vertice V(0,0). Tutti i punti P(x,y) di y=ax2 sono spostati in Q(X,Y) secondo la trasformazione X = x+h x = X-h Y = y+k y = Y-k Si ricava Poiché x e y sono legati dalla relazione y=ax2 sostituendo si ottiene Y-k=a(X-h)2 Y= aX2 - 2ahX + ah2+k ↑ ↑ ↑ Si ottiene l’equazione della parabola Y= aX2 + bX + c ponendo b=-2ah c= ah2+k Parabola generica Formule Q(X,Y) P(x,y) W(h,k) k V(0,0) h

46. Le formule relative a vertice V, fuoco F, retta direttrice e asse di simmetria della parabola y=ax2 tramite la trasformazione risultano per la parabola y=ax2+ bx + c X = x+h Y = y+k Formule

48. La parabola più elementare ha equazione Cerchiamo l’equazione della parabola di fuoco F(0,m ) e direttrice d: y = -m nel piano cartesiano.   Per ogni punto P(x,y) della parabola si deve ottenere : distanza (P ,F) = distanza ( P,retta d) quindi = y +m Sviluppando i calcoli si ottiene y = x2 Ponendo =a si ottiene y =a x2 P F y=-m asse di simmetriax=0 Parabola con vertice nell’origine Formule

49. Una parabola con vertice in un punto W(h,k) può essere vista come una traslazione della parabola con vertice V(0,0). Tutti i punti P(x,y) di y=ax2 sono spostati in Q(X,Y) secondo la trasformazione X = x+h x = X-h Y = y+k y = Y-k Si ricava Poiché x e y sono legati dalla relazione y=ax2 sostituendo si ottiene Y-k=a(X-h)2 Y= aX2 - 2ahX + ah2+k ↑ ↑ ↑ Si ottiene l’equazione della parabola Y= aX2 + bX + c ponendo b=-2ah c= ah2+k Parabola generica Formule Q(X,Y) P(x,y) W(h,k) k V(0,0) h

50. Le formule relative a vertice V, fuoco F, retta direttrice e asse di simmetria della parabola y=ax2 tramite la trasformazione risultano per la parabola y=ax2+ bx + c X = x+h Y = y+k Formule