1 / 26

BAB VII RUANG VEKTOR UMUM

BAB VII RUANG VEKTOR UMUM. 7.1 Ruang Vektor Real Misal V adalah suatu himpunan tak kosong dari objek- objek sembarang dengan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar.

Download Presentation

BAB VII RUANG VEKTOR UMUM

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. BAB VII RUANG VEKTOR UMUM

  2. 7.1 Ruang Vektor Real Misal V adalah suatu himpunan tak kosong dari objek- objek sembarang dengan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar. Jika aksioma berikut dipenuhi oleh u, v, w pada V dan semua skalar k dan l, maka V disebut ruang vektor dan objek-objek pada V disebut vektor. Jika u dan v adalah objek-objek pada V, maka v + u berada pada V. 2. u + v = v + u 3. u + (v + w) = (u + v) + w

  3. Di dalam V trdapat suatu objek 0, yang disebut vektor 0 untuk V, sedemikian rupa, sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u pada V. Untuk setiap u pada V, terdapat suatu objek –u pada V, yang disebut sebagai negatif dari u, sedemikian rupa sehingga u + (–u ) = –u + u = 0 Jika k adalah skalar sembarang dan u adalah objek sembarang pada V, maka ku terdapat pada V. 7. k(u + v) = ku + kv (k + l)u = ku + lu 9. k(lu) = (kl)(u) 10. 1u = u

  4. Contoh 7.1 Tunjukkan bahwa himpunan V dari semua matriks 2 x 2 dengan entri-entri real adalah suatu ruang vektor jika penjumlahan vektor didefinisikan sebagai penjumlahan matriks dan perkalian skalar vektor didefinisikan sebagai perkalian skalar matriks. Penyelesaian Aksioma 1 u + v adalah matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 1).

  5. Aksioma 2 u + v = v + u adalah matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 2). Aksioma 3 u + (v + w) = (u + v) + w adalah matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 3).

  6. Aksioma 4 u + 0 = u dan merupakan matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 4). Aksioma 5

  7. u + (–u) = (–u ) + u dan merupakan matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 5). Aksioma 6 ku merupakan matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 6).

  8. Aksioma 7 k(u+v) = ku + kv dan merupakan matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 7).

  9. Aksioma 8 (k+l) u = ku + lu dan merupakan matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 8). Aksioma 9 (k+l) u = ku + lu dan merupakan matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 9).

  10. Aksioma 10 1u = u dan merupakan matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 10).

  11. 7.2 Sub-ruang vektor Jika W adalah semua himpunan yang terdiri dari satu atau lebih vektor dari suatu ruang vektor V , maka W adalah suatu sub-ruang dari V, jika dan hanya jika syarat-syarat berikut terpenuhi. 1. Jika u dan v adalah vektor-vektor pada W , maka u + v berada pada W. 2. Jika k adalah skalar sembarang dan u adalah vektor sembarang pada W, maka ku berada pada W.

  12. Contoh 7.2 Diketahui W adalah himpunan titik–titik di bidang dengan ordinat 0 dengan operasi standar R2, tunjukkan bahwa W merupakan sub–ruang dari R2! Penyelesaian Akan ditunjukkan bahwa W memenuhi dua syarat sub–ruang vektor , yaitu : 1. W = {x,0} untuk sembarang nilai x, x ∈ R Misalkan a = (x1, 0) dan b = (x2, 0) dengan x1, x2 ∈ R, maka a, b ∈ W a + b = (x1 + x2, 0 ) dengan x1 + x2 ∈ R. Jadi a + b ∈ R Syarat ke–1 terpenuhi.

  13. Untuk skalar k , maka k a = ( kx1, 0 ) dengan kx1 ∈ R, jadi k a ∈ R Jadi syarat ke–2 terpenuhi Karena kedua syarat terpenuhi, maka W merupakan sub–ruang R2

  14. Merentang (Spanning) Jika v1, v2, …, vr, adalah vektor-vektor pada suatu ruang vektor V, maka: Himpunan W yang terdiri dari semua kombinsi linier v1, v2, …, vr , adalah suatu subruang dari V. (b) W adalah suatu subruang terkecil dari V yang mengandung v1, v2, …, vr dalam arti bahwa setiap subruang lain dari V yang mengandung v1, v2, …, vr pasti mengandung W. Contoh 7.3 Diketahui W adalah himpunan titik–titik di bidang dengan ordinat 0 dengan operasi standar R2, tunjukkan bahwa W merupakan sub–ruang dari R2!

  15. 7.3 Kebebasan Linier Jika S = {v1, v2, …, vr} adalah himpunan takkosong vektor-vektor, maka persamaan vektor, k1v1 + k2v2 + … + krvr = 0 memiliki paling tidak satu solusi, yaitu k1 = 0, k2 = 0, …, kr = 0 Jika solusi tersebut merupakan satu-satunya solusi, maka S disebut sebagai himpunan bebas linier (linearly independent) Jika terdapat solusi lain, maka S disebut sebagai himpunan tidak bebeas linier (linearly dependent)

  16. Contoh 7.3 Tentukan apakah vektor-vektor: v1 = (2, –1, 0, 3), v2 = (1, 2, 5, –1), v3 = (7, –1, 5, 8), membentuk suatu himpunan bebas linier atau tak-bebas linier Penyelesaian k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0 k1 (2, –1, 0, 3) + k2 (1, 2, 5, –1) + k3 (7, –1, 5, 8) = (0, 0, 0) 2k1 + k2 + 7k3 = 0 – k1 + 2k2 – k3 = 0 0k1 + 5k2 + 5k3 = 0 3k1 – k2 + 8k3 = 0

  17. ½ R1 R2 + R1 R4 – 3R1 2/5 R2 R3 – 2R2 R4 + R2

  18. k1 + 1/2k2 + 7/2 k3 = 0 k2 + k3 = 0 Tentukan k3 = –t Didapat k2 = t , k1 = 3t Jika t = 1, maka k3 = –1, k2 = 1 , k1 = 3 Sehingga memenuhi 3v1 + v2 – v3 = 0 Himpunan vektor-vektor S = {v1, v2, v3} tidak bebas linier, karena memenuhi 3v1 + v2 – v3 = 0

  19. Latihan Tentukan, apakah vektor-vektor pada R3 berikut bebas linier atau tak bebas linier! a) (4, –1, 2), (–4, 10, 2) b) (–3, 0, 4), (5, –1, 2), ( 1, 1, 3) c) (–1, 0, 1), (3, 2, 5), ( 6, –1, 1), (7, 0, –2)

  20. Interpretasi Geometrik dari kebebasan Linier Kebebasan linier mempunyai sejumlah interpretasi geometrik yang berguna pada R2 dan R3, yaitu: Pada R2 atau R3, suatu himpuan yang terdiri dari dua vektor adalah bebas linier jika dan hanya jika vektor-vektor tsb tdk terletak pada garis yang sama ketika ditempatkan sedemikian rupa sehingga titik awalnya terletak pada titik asal. z z z v2 v2 v2 v1 v1 y y y v1 Tidak bebas linier Bebas linier Tidak bebas linier x x x

  21. 2. Pada R3, suatu himpuan yang terdiri dari tiga vektor adalah bebas linier jika dan hanya jika vektor-vektor tsb tidak terletak pada bidang yg sama ketika ditempatkan sedemikian rupa sehingga titik awalnya terletak pada titik asal. z z z v3 v3 v3 v2 v2 v2 y y y v1 v1 v1 x x x Bebas linier Tidak bebas linier Tidak bebas linier

  22. Basis dan Dimensi

More Related