Ruang Vektor:

1. Ruang Vektor: Ruang baris, ruang kolom dan ruang nol Edi Cahyono edi_cahyono@innov-center.org Jurusan Matematika FMIPA Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia

2. Department of Mathematics Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia Tujuan Pembelajaran Setelah lulus mata kuliah ini mahasiswa diharapkan dapat memahami ruang vektor sebagai sistem matematika, aplikasinya serta pembelajarannya untuk sekolah menengah

3. Department of Mathematics Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia Gambaran Umum • SistemMatematikaRuangVektor: • Definisi • Aksioma • Proposisi, Lemma, Teorema • Metode/prosedure Sifat-sifat dan Aplikasi Matriks A • Diberikanmatriks A • Hendakdipelajarisifatdanaplikasinya • Tidakbisasecaralangsung • Sistemmatematikaruangvektormenyajikanalat (Proposisi, Lemma, Teorema, Metode/prosedure)

4. Department of Mathematics Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia Definisi

5. Department of Mathematics Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia Definisi

6. Department of Mathematics Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia Definisi Misalkan A matriks m x n. SubruangdariRn yang dibangunolehvektorbaris A disebut ruangbaris. SubruangdariRm yang dibangunolehvektorkolom A disebut ruangkolom. Solusidari Ax = 0, yang merupakansubruangdariRndisebut ruang nol.

7. Department of Mathematics Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia Contoh

8. Department of Mathematics Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia Contoh

9. Department of Mathematics Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia Contoh

10. Department of Mathematics Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia Teorema Operasi baris elementer tidak mengubah ruang nol suatu matriks. Teorema Operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris suatu matriks. Teorema Untuk sebarang matriks A, ruang baris dan ruang kolomnya mempunyai dimensi yang sama.

11. Department of Mathematics Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia Definisi Dimensi ruang baris (yang juga sama dengan dimensi ruang kolom) matriks A disebut rank matriks A, ditulis rank(A). Dimensi ruang nol matriks A disebut nolitas matriks A, dituliskan nullity(A)

12. Department of Mathematics Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia Teorema Misalkan A sebarang matriks, maka rank(A) = rank(AT). Teorema Misalkan A matriks m x n, maka rank(A) + nullity(A) = n. Teorema Misalkan A matriks m x n, maka 1) rank(A) = banyaknya variabel solusi Ax = 0. 2) nullity(A) = banyaknya parameter solusi Ax = 0.

13. Department of Mathematics Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia Rangkuman Misalkan A matriks m x n, maka rank(A) = r ≤ min{m, n}. nullity(A) = n – r. nullity(AT) = m – r.

14. Department of Mathematics Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia Teorema Misalkan A matriks m x n, dan Ax = b merupakan sistem persamaan, maka yang berikut adalah ekivalen a) Ax = b konsisten (mempunyai solusi). b) b unsur di ruang kolom A. c) rank(A) = rank( [A|b] ). Teorema Misalkan A matriks m x n, dan Ax = b merupakan sistem persamaan, maka yang berikut adalah ekivalen a) Ax = b konsisten untuk setiap matriks b yang berukuran m x 1. b) Vektor kolom A membangun Rm. c) rank(A) = m.

15. Department of Mathematics Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia Teorema Misalkan A matriks m x n, Ax = b sistem persamaan yang konsisten, dan rank(A) = r. Maka solusi umum sistem tersebut memuat n – r parameter. Teorema Misalkan A matriks m x n, maka yang berikut adalah ekivalen a) Ax = 0 hanya memiliki solusi trivial. b) Vektor kolom A bebas linear. c) Ax = b mempunyai paling banyak satu solusi (satu atau tidak ada) untuk setiap matriks b berukuran m x 1.

16. Teorema Department of Mathematics Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia Misalkan A matriks n x n, maka yang berikut adalah ekivalen a) A mempunyai invers. b) Ax = 0 hanya memiliki solusi trivial. c) Bentuk tereduksi baris matriks A adalah In. d) Ax = b konsisten untuk setiap matriks b berukuran n x 1. e) Ax = b memiliki tepat satu solusi untuk setiap matriks b berukuran n x 1. f) Vektor kolom matriks A bebas linear. g) Vektor baris matriks A bebas linear. h) Vektor kolom matriks A membangun Rn. i) Vektor baris matriks A membangun Rn. k) Vektor kolom matriks A merupakan basis Rn. l) Vektor baris matriks A merupakan basis Rn. m) rank(A) = n. n) nullity(A) = 0.

17. Department of Mathematics Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia Creating Math for better living Thank you