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Entwurf superstabiler Regelkreise

Entwurf superstabiler Regelkreise. Hauser Helmut. Betreuer Prof. A.Hofer Institut für Regelungstechnik. LTI , BIBO-stabil. w(k). e(k). G(z). Ausgangspunkt - L1-Theorie. Forderungen. Zusammenhänge. |w(k)|  1 für alle k ||e(k)||  möglichst klein.

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Entwurf superstabiler Regelkreise

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Presentation Transcript

  1. Entwurf superstabiler Regelkreise Hauser Helmut Betreuer Prof. A.Hofer Institut für Regelungstechnik

  2. LTI , BIBO-stabil w(k) e(k) G(z) Ausgangspunkt - L1-Theorie Forderungen Zusammenhänge • |w(k)|  1 für alle k • ||e(k)||  möglichst klein

  3. Grundidee der Diplomarbeit • Vorteile der L1-Theorie • Der Reglerentwurf findet direkt im Zeitbereich statt • Eine Robuste Regelung und Stellgrößenbeschränkung können berücksichtigt werden • Nachteile der L1-Theorie • Die Reglerordnung kann sehr hoch werden • von Anfangsbedingungen gleich Null wird ausgegangen Neuer Ansatz um Nachteile zu beseitigen und Vorteile zu übernehmen

  4. Alte und neue Definition L1-Theorie Eine Strecke hat l1-Performance kleiner als l1 genau dann, wenn für die Zustandsgrößen zum Zeitpunkt Null x(0)=0 und für die Eingangsfolge |w(k)| 1 gilt, und der Betrag der Ausgangsfolge e(k) für alle Zeitpunkte k  0 unter der Schranke l1 bleibt. Equalized Performance Eine Strecke besitzt genau dann eine Equalized Performance kleiner als , wenn für die ersten n Werte der Ausgangsfolge |e(i)|   gilt, und für die Eingangsfolge |w(j)|  1, j=0,1,... gilt, und die Ausgangsfolge auch weiterhin unter der Grenze  bleibt |e(k)|   für k  n

  5. Eingang w(k) Ausgang e(k) LTI Berechnung der Equalized Performance μ Zugehöriges ARMA Modell Abschätzungen: bzw.

  6. Berechnung der Equalized Performance μ Definition der 1-Norm Equalized Performance

  7. Superstabilität Superstabiles Polynom: Superstabiles Systeme: Wenn Nennerpolynom superstabil ist ! Idee für den Reglerentwurf: • superstabilisieren •  minimieren

  8. w(k) Strecke e(k) u(k) y(k) Regler Reglerentwurf

  9. Reglerentwurf • 1.) Ziel des Reglers: • Auswirkung der Störung w(k) auf Ausgang e(k) optimal unterdrücken. 2.) Übertragungsfunktion von w(k) e(k) • Abhängigkeit der Koeffizienten des geschlossenen Kreises von den Reglerkoeffizienten 3.) Problem läßt sich mich LP lösen   wird außerhalb von LP durch Intervallhalbierung optimiert

  10. Reglerentwurf Verbale Problemformulierung: Wir suchen diejenigen Reglerkoeffizienten pi und qi , die unsere Übertragungsfunktion von w(k)  e(k) superstabilisieren, und dabei die optimale Equalized Performance  liefern. Mathematische Problemformulierung

  11. Stellgrößenbeschränkung Idee: • Zusätzliche Beschränkung für die Reglerkoeffizienten  Erforderliche Ordnungen werden höher sein Equalized Performance stellt eine Obergrenze für die Absolutwerte der Ausgangsfolge dar. • Übertragungsfunktion Gu mit Ausgang Stellgröße • zusätzliche Gleichungen • Ungleichungen

  12. d‘(k) d(k) F(z) u(k) y(k) R(z) P(z) Beispiel mit u(k) Beschränkung • Beispiel der Form: Forderung: |u(k)|  80 !!

  13. Vergleich: u(k) beschränkt und unbeschränkt u = unbeschränkt |u|  80

  14. Resultate • Mit neuem Ansatz •  Wenn Ordnung = 11 vorgegeben wird •  mit  = 0.04839902 • L1-Theorie •  liefert Regler der Ordnung = 11 •  mit  = 0.04839902 Pole Nullstellen

  15. Zusammenfassung - SISO • Liefert gute Ergebnisse im Störentwurf • Ordnung kann vorgegeben werden • Anfangszustände ungleich Null möglich • Lösung mit LP möglich • Vergleich mit L1-Theorie – niedere Ordnungen • Stellgrößenbeschränkung • Robustheitsforderungen

  16. Erweiterung auf MIMO Abschätzungen Definition: ||A|| = q Maximal 1 Induktion

  17. Superstabilität - MIMO |u(k)| = 0 |u(k)|  1 Bedingung: Equalized Performance

  18. Reglerentwurf d(k) D1 D2 u(k) Strecke y(k) K Statische Regler

  19. Reglerentwurf • Gleichungen, die Abhängigkeiten widerspiegeln • Ungleichungen Analoge Idee wie im SISO-Fall Wir suchen diejenige Reglermatrix K, welche die Ungleichung ||A+BKC||<1 erfüllt, und gleichzeitig die optimale Equalized Performance  liefert. Für LP wird benötigt:

  20. Beispiel Papiermaschine

  21. 0.2 0 0 0.1 0 0 0 0 0 0 Ergebnisse 0.99016091508199 Equalized Performance  20.32709359303108

  22. Zusammenfassung - MIMO • Wenige Systeme superstabilisierbar (auch mit Zustandsregelung) • Oft bis knapp über der Grenze von 1 • Große Systeme weiter weg von Superstabilität • Regler mit Koeffizienten = Null  zusätzliche Beschränkung notwendig  Stark eingeschränkt in seiner Anwendbarkeit

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