Clase N° 7 - TP N° 6 - Geometría de Masas

1. Clase N° 7 – TPN° 6Geometría de Masas, Baricentros, Momentos de Primero y Segundo Orden, Ejes Principales de Inercia Curso de Estática y Resistencia de Materiales Ing. Gabriel Pujol Para las carreas de Ingeniería Industrial de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. Consideremos un conjunto de puntos A1,A2,A3,…,Ai,cuyas coordenadas genéricas con respecto a una ternax,y,z son xi,yi,z¡ ysupongamos que cada punto posea una masa mi. Al conjunto de puntos materiales Aide masa milo denominaremos conjunto discreto de masas. Definimos como momento estático o de primer ordende la masa mi respecto del plano xy, al producto de la masa mi por su distancia z¡ al mismo, el decir: … y análogamente: Veamos el concepto de Centro de Masa Definimos como Centro de Masa (G)a un punto material cuya masa es igual a la suma de las masas que componen el sistema y cuyo momento estático respecto de cada uno de los tres planos xy, yz y zx es igual a la suma de los momentos estáticos respecto a dichos planos de las masas componentes del sistema, es decir:

3. …dónde xG,yG,zG son las coordenadas respecto de los tres planos xy, yz y zx del Centro de Masa (G)y M la masa total del sistema. … si los ejes con respecto a los cuales tomamos momentos estáticos pasan por dicho Centro de Masa, las distancias xG,yG yzG serán iguales a cero (0). Veamos el concepto de Centro de Masa …es decir, la suma de los momentos estáticos de un conjunto plano discreto de masas respecto de un eje cualquiera que pase por su centro de masas, es nulo. Si consideramos los cuerpos materiales como conjuntos continuos de masas elementales las masas mise transforman en elementos diferenciales de masa dm Al centro de gravedad se lo designa también como baricentro del sistema de masas, denominación que se extiende a los centros de masas, de superficies y volúmenes, aunque impropiamente.

4. …cuando una figura plana o una líneaplanaposeen un eje de simetría, su baricentro pertenece al mismo. G Existen figuras que, si bien no poseen centro de simetría, admiten un centro de figura. En tal caso, el baricentro coincide con este último. Como se sabe, el centro de figura coincide con el punto de intersección de los diámetros. B b B G G G G G b

5. Cuando se trata de hallar el baricentro de una figura de contorno irregular, se procede a dividir la figura en superficies parciales en forma tal que las figuras parciales resultantes sean asimilables a superficies cuyos baricentros sean de fácil determinación B’ C’ C B B’ A’ D’ A’ A D …en el caso de la siguiente figura, la superficie sombreada puede considerarse como diferencia de dos superficies: un rectángulo mayor de perímetro ABCD, de área F1 y baricentro G1 y otro menor, interior, de contorno A' B' C' D', área F2 y baricentro G2. El área de este segundo rectángulo es un área sustractiva ya que, restándola de la del rectángulo mayor, obtenemos el área de la figura sombreada. G2 G1 G1 G2 G3

6. (1) Determinación Gráfica del Baricentro de una figura compuesta • En primer término dividimos la sección en figuras simples (1, 2 y 3) G1 • En segundo término obtenemos gráficamente los baricentros de estas figuras simples (G1, G2 y G3) Es de nuestro interés obtener en forma gráfica la posición del baricentro de una figura compuesta como la indicada en la figura (2) G2 • En tercer término graficamos vectores de módulo proporcional al área de dichas figuras simples (R1, R2 y R3) (definiendo una escala de fuerzas) (3) G3 R1 R2 R3

7. (1) • Alineamos los vectores (R1, R2 y R3) • Definimos un polo (O1) • Trazamos las direcciones (1, 2, 3 y 4) G1 • Trazamos líneas horizontales por G1, G2 y G3 R • Sobre estas llevamos los valores de (R1, R2 y R3) (2) G2 • Llevamos las direcciones (1, 2, 3 y 4) de forma tal que 1 y 2 se corten sobre la dirección G1, 2 y 3 sobre G2y 3 y 4 sobre G3 O1 R2 • Las direcciones (1 y 4) definen un punto P perteneciente a la línea de acción de la resultante R R1 (3) R3 G3 (1) (2) (3) (4) R1 (1) (4) R2 (2) Ahora trazamos un polígono funicular R3 (3) P

8. (1) R’1 G1 R’2 R R’3 G (2) P’ (1’) G2 Las líneas de acción de R y R’ se cortan en el punto G(baricentro de la figura compuesta) O1 (2’) (3’) R2 R1 (4’) (3) R3 G3 (1) (2’) (3’) (4’) R’1 (1’) Repetimos el procedimiento pero rotando los vectores R1, R2 y R3 en 90° (4) R’2 (2) R’ R’3 (3) P

9. (1) Determinación Gráfica del Momento Estático de un Área respecto de un eje (s-s) • En primer término dividimos la sección en figuras simples (1, 2 y 3) G1 • En segundo término obtenemos gráficamente los baricentros de las figuras (G1, G2 , G3 yG) G Es de nuestro interés obtener en forma gráfica el momento estático de una figura compuesta como la indicada respecto de su base (2) • En tercer término graficamos vectores de módulo proporcional al área de dichas figuras simples (R1, R2 y R3) paralelos al eje seleccionado (definiendo una escala de fuerzas) G2 s s (3) G3 R1 R2 R3

10. (1) • Alineamos los vectores (R1, R2 y R3) • Definimos un polo (O1) • Trazamos las direcciones (1, 2, 3 y 4) G1 • Trazamos líneas paralelas a la dirección s-s por G1, G2 y G3 G • Sobre estas llevamos los valores de (R1, R2 y R3) (2) G2 O1 s s R2 R1 (3) R3 G3 (2) (3) (4) R1 R1 (1) R2 R2 Ahora trazamos un polígono funicular R3 R3

11. (1) • Llevamos las direcciones (1, 2, 3 y 4) de forma tal que 1 y 2 se corten sobre la dirección G1, 2 y 3 sobre G2y 3 y 4 sobre G3 • Las direcciones (1 y 4) definen un punto P perteneciente a la línea de acción de la resultante R y un segmento sobre el eje s-s G1 G • Definimos h y d. R • Siendo el vector R proporcional al área de la figura y por consiguiente a su masa, resulta: (2) G2 O1 Distancia G-(s-s) s  s R2 R1 (3) R3 G3 (1) (2) (3) (4) R1 h (1) (4) R2 (2) Ahora trazamos un polígono funicular d Distancia polar R3 (3) P

12. Sea la superficie de la figura (a), y dos ejes cualesquiera z, y de su plano. Consideremos un elemento dF de superficie, cuyas distancias a los ejes indicados sean z é y. Se define como momento de segundo orden del elemento de superficie respecto del par de ejes z, y al producto del área de la superficie elemental por las distancias a ambos ejes, es decir: Integrando esta expresión sobre toda, la superficie, tendremos el momento de segundo orden de la superficie respecto de los ejes considerados, así será: Veamos el concepto de Momentos de segundo orden de una superficie Momento centrífugo de la superficie Siendo las superficies magnitudes positivas, el momento centrífugo tendrá un signo que dependerá de los signos de las coordenadas de los elementos de superficie (z é y)

13. Supongamos ahora que hacemos girar el eje y alrededor de O hasta superponerlo con el eje z, es decir, la situación de la figura (b). La distancia z del elemento dF al eje y coincidirá con la distancia y al eje z, por cuanto ambos ejes son coincidentes y en consecuencia, será: Momento de Inercia de la superficie respecto del eje z El momento de inercia es siempre positivo. Excepcionalmente, podrá suponerse negativo un momento de inercia, al considerarla como elemento sustractivo para facilitar el cálculo del momento de inercia de una figura compuesta. Veamos el concepto de Momentos de segundo orden de una superficie Consideremos ahora un punto O y sea ϱ la distancia al mismo del elemento dF de superficie. Se denomina momento de inercia polar del elemento dF respecto del punto O(polo) al producto: Momento de Inercia Polar de la superficie respecto del Polo 0 El momento de inercia polar siempre es positivo.

14. Sea la superficie de la figura y consideremos un par de ejes de coordenadas z, y de origen O. Para un elemento de superficie dF, de coordenadas z, y, se tiene: O z y z’   z e integrando sobre toda la superficie, resulta Momentos de segundo orden de una superficie respecto de ejes de un mismo origen Giremos ahora los ejes, manteniéndolos ortogonales, un ángulo , de modo que pasen a ocupar la posición z', y'. y’ y

15. Con respecto a los nuevos ejes, las coordenadas de dF, en función de z é y resultan: z O z y y z’ y’ Los momentos de segundo orden respecto de los ejes z', y' serán:   z’   z Momentos de segundo orden de una superficie respecto de ejes de un mismo origen Reemplazando z', y’ y operando será: Los ejes para los cuales el momento centrífugo se anula, se denominan ejes conjugados de inercia. y’ Variando el ángulo que forman entre sí los dos pares de ejes, variarán los momentos de segundo orden. y Los momentos de inercia, nunca podrán anularse, ni admitir valores negativos, pero sí alcanzarán valores máximos o mínimos. En cambio, los momentos centrífugos, que pueden ser negativos, podrán tener valores nulos.

16. Sea la sección de la figura, en la que g-g es un eje baricéntrico de la sección y x-x un eje paralelo al anterior situado a una distancia d. El momento de inercia de la sección con respecto al eje x-x está expresado por: G Veamos la relación entre los Momentos de Inercia de una sección con respecto a dos ejes paralelos g = 0 g y d Momento de Inercia de la sección respecto del eje baricéntrico g-g (JG) Momento Estático de la sección respecto del eje baricéntrico g-g (SG = 0) por lo que: x x Área de la sección (F) Esta relación conocida con el nombre de regla de Steiner expresa que: “El momento de inercia de una sección con respecto a un eje es igual al momento de inercia de la sección con respecto al eje baricéntrico y paralelo al anterior, más el producto del área de la sección por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes”.

17. Llamamos ejes principales de inercia el par de ejes conjugados ortogonales. Para dicho par de ejes, los momentos de inercia alcanzan valores máximos o mínimos. Consideremos la segunda de las expresiones que nos da el valor deJz’en función de . La función de Jz’ pasará por un máximo (o mínimo) cuando: Veamos ahora que son los Ejes Principales de Inercia de una sección de dónde: Existen dos valores del ángulo 1 que difiriendo 90° satisfacen la expresión. Los ejes que corresponden a estos dos últimos valores de 1 serán, pues, ortogonales, siendo Jz’máximo para uno de ellos y mínimo para el restante. Dichos ejes se denominan ejes principales de inercia, y los momentos de inercia correspondientes, momentos principales de inercia.

18. Determinación Gráfica de Momentos de Segundo Orden, Ejes Conjugados y Ejes Principales de Inercia El círculo de Mohr–Land permite calcular los momentos de segundo orden (JS, JTy JST) respecto a cualquier par de ejes baricéntricos (S y T), hallar el conjugado de inercia de cualquier eje baricéntrico y determinar en forma gráfica los ejes principales de inercia de una sección dada.

19. Es de nuestro interés trazar el círculo de Mohr–Land y definir los ejes principales de inercia de una sección L, calcular los momentos de segundo orden (JS, JTy JST) respecto un par de ejes baricéntricos (S y T) cualesquiera y hallar el eje conjugado de inercia (R) del eje baricéntrico (S). Enunciado

20. Son datos, las características geométricas de la sección (que obtenemos de la tabla del perfil) Por ejemplo: L 40x20x3 (DIN 1029)

21. Defino el punto “A”, el segmento GA será el diámetro de la circunferencia de Mohr A continuación de B, llevo en el valor de JY Defino el punto “B” Defino el centro C = (JX+JY)/2 de la circunferencia B JY JXY A C Trazo la circunferencia de centro “C” y radio “GC” JX Trazamos la circunferencia de Mohr-Land como sigue: G A partir de G, sobre el eje “y” llevo, (en una escala conveniente), el valor de JX A partir de B, y normal al segmento GA llevo el valor de JXYy defino el polo “P” (sobre el cuadrante “+” si JXY > 0 y sobre el cuadrante “-” si JXY < 0 ) P

22. Trazo la tangente a la circunferencia por el punto “D” (tgD) T Mido la distancia de la tangente tgD al polo “P” (JS) JT B Definimos el punto “D” en donde la línea S-S corta a la circunferencia E JY JXY S JS A C JST JX tgE tgD Trazamos dos ejes baricéntricos cualesquiera y calculamos sus momentos de segundo orden: Para calcularJSTtrazo la cuerda D-E y mido la distancia al polo “P” G D S T Repito el procedimiento para otro eje baricéntrico T-T cualquiera Trazo un eje baricéntrico S-S cualquiera P

23. Trazo la cuerda D-P y defino el punto “F” Trazo el eje baricéntrico “R-R” R El eje “R-R” será conjugado de inercia de “S-S” dado que, por construcción, la cuerda “D-F” pasa por el polo “P” por lo que JSR= 0 F B JY JXY S A C JX Trazamos ahora, el eje conjugado de inercia del eje baricéntrico (S): G D S R P

24. Trazo el eje diámetro que pasa por el polo “P” y defino los puntos “H” e “I” Las tangentes a la circunferencia trazadas por los puntos “H” (tgH) e “I” (tgI) definen los momentos de inercia máximos (JI) y mínimos (JH) de la sección tgH tgI 2 H B JY JXY A C JH JX JI Trazamos ahora, los ejes principales de inercia de la sección: 1 I G 1 2 Por lo que los eje baricéntricos trazados por “H” (2-2) e “I” (1-1) serán ejes principales de inercia y conjugados de inercia entre sí P

25. Bibliografía Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko

26. Muchas Gracias