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  1. Geoinformation I Vorlesung 6 WS 2000/2001 Datenstrukturen für Landkarten

  2. Kanten mit Flügeln Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 6

  3. P8 Außen E9 E7 P7 Kanten: P6 E10 E8 E1 P1 P2 A Außen E5 E2 E2 P2 P3 A Außen E1 E6 E3 P3 P4 A B E2 E8 E4 P4 P5 A C E3 E11 E5 P5 P1 A Außen E4 E1 E6 P3 P6 B Außen E3 E7 ..................................................... B E6 C P4 P9 E3 E4 P3 A E11 E2 P5 P2 E5 E1 P1 Wie bei Knoten-Kanten-Struktur Nachfolger im Umring derrechten Masche Geflügelte Kanten Vorgängerim Umring derlinken Masche Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 6

  4. Außen E9 E7 P7 P6 E10 E8 B E6 C P4 P9 E3 E4 P3 A E11 E2 P5 P2 E5 E1 Nachfolgerim Umring der rechten Masche Geflügelte Kanten Vorgängerim Umring derlinken Masche P8 Kanten: E1 P1 P2 A Außen E5 E2 E2 P2 P3 A Außen E1 E6 E3 P3 P4 A B E2 E8 E4 P4 P5 A C E3 E11 E5 P5 P1 A Außen E4 E1 E6 P3 P6 B Außen E3 E7 ..................................................... P1 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 6

  5. Nachfolger im Umring der rechten Masche Geflügelte Kanten Vorgängerim Umring derlinken Masche P8 Außen E9 E7 P7 Kanten: P6 E10 E8 E1 P1 P2 A Außen E5 E2 E2 P2 P3 A Außen E1 E6 E3 P3 P4 A B E2 E8 E4 P4 P5 A C E3 E11 E5 P5 P1 A Außen E4 E1 E6 P3 P6 B Außen E3 E7 ..................................................... B E6 C P4 P9 E3 E4 P3 A E11 E2 P5 P2 E5 E1 P1 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 6

  6. Nachfolgerim Umring der rechten Masche Geflügelte Kanten Vorgängerim Umring derlinken Masche P8 Außen E9 E7 P7 Kanten: P6 E10 E8 E1 P1 P2 A Außen E5 E2 E2 P2 P3 A Außen E1 E6 E3 P3 P4 A B E2 E8 E4 P4 P5 A C E3 E11 E5 P5 P1 A Außen E4 E1 E6 P3 P6 B Außen E3 E7 ..................................................... B E6 C P4 E3 P9 E4 P3 A E11 E2 P5 P2 E5 E1 P1 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 6

  7. Nachfolgerim Umring der rechten Masche Geflügelte Kanten Vorgängerim Umring derlinken Masche P8 Außen E9 E7 P7 Kanten: P6 E10 E8 E1 P1 P2 A Außen E5 E2 E2 P2 P3 A Außen E1 E6 E3 P3 P4 A B E2 E8 E4 P4 P5 A C E3 E11 E5 P5 P1 A Außen E4 E1 E6 P3 P6 B Außen E3 E7 ..................................................... B E6 C P4 E3 P9 E4 P3 A E11 E2 P5 P2 E5 E1 P1 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 6

  8. Nachfolgerim Umring derrechten Masche Geflügelte Kanten Vorgängerim Umring derlinken Masche P8 Außen E9 E7 P7 Kanten: P6 E10 E8 E1 P1 P2 A Außen E5 E2 E2 P2 P3 A Außen E1 E6 E3 P3 P4 A B E2 E8 E4 P4 P5 ACE3 E11 E5 P5 P1 A Außen E4 E1 E6 P3 P6 B Außen E3 E7 ..................................................... B E6 C P4 E3 P9 E4 P3 A E11 E2 P5 P2 E5 E1 P1 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 6

  9. Nachfolger im Umring der rechten Masche Geflügelte Kanten Vorgängerim Umring derlinken Masche P8 Außen E9 E7 P7 Kanten: P6 E10 E8 E1 P1 P2 A Außen E5 E2 E2 P2 P3 A Außen E1 E6 E3 P3 P4 A B E2 E8 E4 P4 P5 ACE3 E11 E5 P5 P1 A Außen E4 E1 E6 P3 P6 B Außen E3 E7 ..................................................... B E6 C P4 E3 P9 E4 P3 A E11 E2 P5 P2 E5 E1 P1 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 6

  10. Nachfolger im Umring der rechten Masche Geflügelte Kanten Vorgängerim Umring derlinken Masche P8 Außen E9 E7 P7 Kanten: P6 E10 E8 E1 P1 P2 A Außen E5 E2 E2 P2 P3 A Außen E1 E6 E3 P3 P4 A B E2 E8 E4 P4 P5 A C E3 E11 E5 P5 P1 A Außen E4 E1 E6 P3 P6 B Außen E3 E7 ..................................................... B E6 C P4 E3 P9 E4 P3 A E11 E2 P5 P2 E5 E1 P1 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 6

  11. Kanten mit Flügeln Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 6

  12. Die Euler-Formel • Für jede Landkarte mit • f Maschen (face) • e Kanten (edge) • v Knoten (vertex) gilt: f - e + v = 2 • Euler-Charakteristik: • Landkarte: 2 • Landkarte mit n Kontinenten: n + 1 • Landkarte mit n Kontinenten und m Inseln : n + m + 1 • beachte: Außen zählt als eigene Masche! Euler-Charakteristik Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 6

  13. Topologische Fehler Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 6

  14. Fehlender Knoten Zwei Referenzpunkte (Namen) Overshoot Fehlender Referenz- punkt (Name) Undershoot Topologische Fehler I Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 6

  15. Topologische Fehler II • Überlappung zweier Maschen ohne Überschneidung von Kanten Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 6

  16. Topologische Fehler II • Überlappung zweier Maschen ohne Überschneidung von Kanten Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 6

  17. Integritätsbedingungen für Landkarten I falsch richtig 1. Schnittfreiheit der Kanten 2. Jede Kante hat zwei Maschen auf verschiedenen Seiten 3. Jede Masche wird von einem einfachen Zyklus begrenzt 4. Kein Mittelpunkt einer Kante liegt in einer Masche Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 6

  18. Integritätsbedingungen für Landkarten II falsch richtig 1. Schnittfreiheit der Kanten 2. Jede Kante hat zwei Maschen auf verschiedenen Seiten 3. Jede Masche wird von einem einfachen Zyklus begrenzt 4. Es gibt genau eine unbeschränkte Masche 4. Kein Mittelpunkt einer Kante liegt in einer Masche Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 6

  19. Zusammenfassung: „Geometrisch-Topologische Datenstrukturen“ • Spaghetti mit Koordinaten: redundante Geometrie • Spaghetti mit Punkten: redundante Geometrie • Spaghetti mit Punkten als Objekten: redundanzfreieGeometrie • Knoten-Kanten-Struktur: redundanzfreie Geometrie, explizite Topologie, Maschenumring muß berechnet werden • geflügelte Kanten: redundanzfreie Geometrie, explizite Topologie, Maschenumring leicht zu berechnen Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 6

  20. quadratische Maschen gleicher Größe:Raster, Grid kompakte Speicherung homogene Informationsdichte Maschen sind Dreiecke Triangulation gut zur Modellierung des Geländes Verallgemeinerung Simplizes Simpliziale Komplexe Aus Landkarten abgeleitete Strukturen Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 6

  21. Simplizes • Ein 0-Simplex ist ein Punkt • Ein 1-Simplex ist eine • gerade Kante • Ein 2-Simplex ist ein • Dreieck (Inneres + 3 Kanten • + 3 Knoten) • Ein 3-Simplex ist ein • Tetraeder Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 6

  22. Beachte: Das Schwierige an den Simplexen ... ... ist der Plural

  23. Teilsimplizes • Ein Knoten ist Teilsimplex • einer Kante • Eine Kante ist Teilsimplex • eines Dreiecks • Ein Dreieck ist Teilsimplex • eines Tetraeders • Der Teilsimplex T eines • Simplex S ist ein Simplex, • dessen Knoten alle in S • vorkommen. Randeines Dreiecks • Der Rand eines Simplex • ist die Menge aller • Teilsimplizes. Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 6

  24. Simpliziale Komplexe • Ein Simplizialer Komplex C ist eine Menge von Simplizes mit folgenden Eigenschaften: • jeder Teilsimplex in C ist ebenfalls in C • der Durchschnitt zweier Simplizes in C ist entweder leer oder ein Teilsimplex beider Simplizes falsch: Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 6

  25. Simpliziale Komplexe • Ein Simplizialer Komplex C ist eine Menge von Simplizes mit folgenden Eigenschaften: • jeder Teilsimplex in C ist ebenfalls in C • der Durchschnitt zweier Simplizes in C ist entweder leer oder ein Teilsimplex beider Simplizes Korrektur: Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 6

  26. Simpliziale Komplexe • Ein Simplizialer Komplex C ist eine Menge von Simplizes mit folgenden Eigenschaften: • jeder Teilsimplex in C ist ebenfalls in C • der Durchschnitt zweier Simplizes in C ist entweder leer oder ein Teilsimplex beider Simplizes Korrektur: Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 6

  27. Anwendungen • Geländemodell • Computergraphik • Eisberge • ... Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 6

  28. Resümee • Landkarten • 2D • beliebige Polygone • Simpliziale Komplexe • Dreiecke • auch 3D • Gemeinsamkeiten • Konstruktion des Raumes durch Aggregation atomarer Primitive • „algebraische“ oder „kombinatorische“ Topologie • zurück zur „Punktmengentopologie“ Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 6