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  1. IL NUMERO Un numero è una entità astratta usata per descrivere una quantità. I numeri sono generalmente descritti tramite delle cifre, secondo un sistema di numerazione. I numeri possono essere manipolati tramite le quattro operazioni fondamentali, addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione Lo studio delle proprietà di queste operazioni è parte dell'algebra elementare.

  2. Tipi di numeri Numeri naturali Vi sono differenti tipi di numeri. Quelli maggiormente conosciuti sono i numeri naturali { 1, 2, 3... } usati per contare e indicati con N. La presenza dello zero fra i numeri naturali dipende dalla convenzione scelta. Lo zero è comunque previsto dagli assiomi di Peano. Numeri interi relativi Se si introducono la differenza di segno e lo zero, distinguendo tra numeri positivi e numeri negativi, si ottengono i numeri interi relativi (o semplicemente interi) denominati con il simbolo Z. Numeri razionali Se i numeri interi vengono utilizzati per definire un rapporto,si ottengono i numeri razionali, cioè esprimibili tramite una frazione (ratio in latino). L'insieme di tutti i numeri razionali è definito col simbolo Q. Numeri reali I numeri razionali non comprendono tutti i numeri esprimibili con la virgola tramite il sistema numerico decimale. Ci sono numeri con un numero infinito di cifre decimali non periodiche, che non possono essere espressi come frazione di due interi: per esempio, π (pi greco), √2. Tali numeri vengono detti irrazionali, perché non ottenibili come frazioni. L'unione dei numeri razionali e irrazionali forma l'insieme dei numeri reali, indicato con R.

  3. Numeri complessi L'insieme dei numeri reali non è però sufficiente a fornire tutte le soluzioni delle equazioni algebriche. Per esempio, l'equazione X² = -1 non ha soluzioni nel campo dei numeri reali, perché in questo insieme il quadrato di un numero è sempre positivo. Per risolvere questo problema, è stata introdotta l'unità immaginaria i, tale che i²= -1. Tale numero non appartiene all'insieme dei numeri reali, bensì all'insieme dei numeri complessi. La risoluzione di equazioni dove compaiono radici quadrate di numeri negativi è possibile con l'introduzione dei numeri complessi. Sono grandezze che per essere definite hanno bisogno di coppie di numeri reali. L'insieme "C" dei complessi ha come elementi "z". Ogni numero complesso "z" è formato da una coppia di numeri reali: z = (a,b). Il primo numero a costituisce la parte del complesso chiamata "parte reale" ed il secondo numero "b" costituisce la "parte immaginaria". La caratteristica dei numeri complessi è il modo con cui si opera tra loro: (a,b)+(c,d)= (a+c,b+d); (a,b)x(c,d)= (ac-bd, ad+bc). In questo modo il numero (0,1) = i moltiplicato per se stesso darà (0-1, 0+0) = -1. I simboli che indicano gli insiemi descritti sono spesso scritti in grassetto, così: N c Z c Q c R c C Quaternioni I numeri complessi sono stati estesi a loro volta, ottenendo i quaternioni, ma la moltiplicazione dei quaternioni non è dotata della proprietà commutativa. Ottonioni Gli ottonioni, a loro volta, estendono i quaternioni, ma questa volta, si perde la proprietà associativa. Infatti, gli unici sistemi associativi con dimensione finita oltre ai reali sono i quaternioni e i numeri complessi. Notazione I numeri vanno distinti dai nomi utilizzati per indicarli, dato che i numeri sono dei concetti e anche se i nomi utilizzati nelle varie lingue variano i concetti rimangono sempre gli stessi. La notazione di numero come serie di cifre è definita dai sistemi di numerazione. I popoli spesso associano a dei numeri utilizzati di frequente dei nomi particolari, oltre a quelli che vengono assegnati dal sistema di numerazione, spesso questi nomi sono utilizzati in contesti specifici, un classico esempio è la dozzina.

  4. Estensioni Gli ultimi sviluppi della teoria dei numeri sono stati i numeri iperreali e i numeri surreali, che estendono i numeri reali dai numeri infinitesimi fino ai numeri infinitamente grandi attraverso degli inserimenti. Mentre (normalmente) i numeri reali sono infinitamente prolungabili alla destra del punto decimale, si può anche provare a espandere i numeri anche a sinistra in modo infinito, ciò conduce ai numeri p-adici. Per gestire degli insiemi infiniti, i numeri naturali sono stati generalizzati nei numeri ordinali e nei numeri cardinali. Il primo insieme viene utilizzato per definire l'ordine di inserimento dei numeri, il secondo definisce il formato di inserimento. Nel caso di insiemi finiti si equivalgono. Le operazioni aritmetiche sui numeri sono addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, queste operazioni sono state generalizzate in una branca dell'algebra chiamata algebra astratta, che contiene i concetti di gruppo, anello e campo.

  5. Somiglianze nelle varie culture In molte culture la rappresentazione grafica dei numeri è molto simile, i numeri "uno", "due" e "tre" degli antichi romani erano espressi come I, II, III (numeri romani). I cinesi usavano una notazione analoga, con le cifre in orizzontale, o in verticale, ma al contrario dei romani utilizzavano un sistema posizionale, simile al nostro attuale, con le cifre da 0 a 9. Il sistema era impiegato con le bacchette da calcolo, che i cinesi manovravano a velocità tali da stupire i primi missionari nestoriani. Tuttavia, non c'era un segno univoco per definire il quattro tra i romani, mentre per i cinesi era ||||. I romani usavano una notazione a sottrazione: esprimevano il quattro con una V preceduta da una I. La V indicava il numero cinque, il simbolo I anteposto indicava che andava sottratto, e cinque meno uno fa quattro. Nell'assegnare un simbolo particolare al cinque c'era un evidente vantaggio antropomorfico, la mano ha cinque dita ma vi era anche una motivazione nascosta che coinvolgeva il nostro cervello. Gli psicologi hanno dimostrato che il nostro cervello ha difficoltà a distinguere più di cinque simboli simili vicini: infatti provate con uno sguardo a dire se è più grande ||||||||| o |||||||||||; più semplice dirlo se scritti come IX e X. Il sistema adottato adesso in Europa è il sistema di numerazione decimale, detto anche di numerazione araba, che in realtà proviene dall'India, e molto probabilmente deriva a sua volta dai numeri corsivi egiziani, i numeri copti. La cifra 1 è molto simile al simbolo romano, 2 e 3 sono delle varianti dello stesso simbolo che consentono di scrivere i numeri senza dover alzare la penna e quindi consentono una scrittura rapida ma comunque conservano l'idea della linea orizzontale, mentre col simbolo 4 la corrispondenza si perde.