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FUNCIONES. FUNCIONES ELEMENTALES. Si una función viene definida solamente por su ecuación y = f(x), el DOMINIO de f, será el conjunto más amplio de los números reales, para los cuales está definida f.

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funciones reales de variable real

Si una función viene definida solamente por su ecuación y = f(x), el DOMINIO de f, será el conjunto más amplio de los números reales, para los cuales está definida f

UNA FUNCIÓN f REAL DE VARIABLE REAL, es una correspondencia entre dos conjuntos reales A y B, que asocia a cada elemento x de A un solo elemento y de B. Y se simboliza por:

f : A  B : x  y = f (x)

A los elementos x  A, se le denomina VARIABLE INDEPENDIENTE, y a los elementos y  B VARIABLE DEPENDIENTE.

La ECUACIÓN de la FUNCIÓN y = f(x), es la relación algebraica entre x e y, donde:

Dominio de f = D f = { x  A : existe y  B tal que y = f(x) }

Imagen de f = R f = { y  B : existe x  A tal que y = f(x) }

Si x es tal que y = f (x), y es la IMAGEN de x, y x es la ANTIMAGEN de y

FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

gr fica de una funci n real de variable real

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

Dada una función real f (x), al conjunto de puntos del plano Cartesiano:

{ ( x , f(x) ) : x  D f }

Se le denomina GRÁFICA de la función f.

Es decir, la GRÁFICA de una función son todos los puntos del plano cartesiano, cuyas coordenadas son (x , f(x) ) “ ó ( x, y ) donde y = f(x) “.

El conjunto de la abscisas lo compone el Domino de f, y el conjunto de las ordenadas el Recorrido de f

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(0, f(0) ) = ( 0 , 9 )

(-5, f(-5) ) = ( -3 , 4 )

Eje de abcisas

Eje de ordenadas

(-3, f(-3) ) = ( -3 , 0 )

Ejemplo:

propiedades gr ficas de funciones

Una función f (x) es MONÓTONA CRECIENTE en un intervalo (a,b) cuando para cada x, y  (a,b) si x < y, entonces f (x) < f (y).

PROPIEDADES GRÁFICAS DE FUNCIONES

Una función f (x) es MONÓTONA DECRECIENTE en un intervalo (a,b) cuando para cada x, y  (a,b) si x < y, entonces f (x) > f (y).

Una función f (x) es MONÓTONA en un intervalo (a,b) cuando es MONÓTONA CRECIENTE ó MONÓTONA DECRECIENTE.

Una función f (x) tiene un MÁXIMO RELATIVO en un punto M, cuando existe un intervalo (a,b) tal que M  (a,b) y para cada x  (a,M) o  (M,b) será f(x) < f(M)

Una función f (x) tiene un MÍNIMO RELATIVO en un punto M, cuando existe un intervalo (a,b) tal que M  (a,b) y para cada x  (a,M) o  (M,b) será f(x) > f(M)

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Ejemplo. La siguiente función

Es monótona creciente en (0,2) y en (5,8) y monótona decreciente en (2,5). Tiene un máximo relativo en x = 2, y x = 8, y tiene un mínimo relativo en x = 5.

propiedades gr ficas de funciones1

PROPIEDADES GRÁFICAS DE FUNCIONES

Una función f (x) es PAR o SIMÉTRICA RESPECTO DEL EJE OY, cuando para cada x se cumple que f (x) = f (-x).

Una función f (x) es IMPAR o SIMÉTRICA RESPECTO DEL ORIGEN DE COORDENADAS, cuando para cada x se cumple que f (x) = - f (-x).

Una función f (x) es CONTINUA en un intervalo, si su gráfica es continua en dicho intervalos.

Los puntos en los que se interrumpe la gráfica, se denominan PUNTOS de DISCONTINUIDAD.

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Ejemplo.

La función

La función

Es una función PAR

Es una función IMPAR

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Ejemplo. La siguiente función

Es continua en (-3,0) y en (0,1) y es discontinua en x = 0

funciones polin micas elementales

Las funciones polinómicas son de la forma:

f (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + … + a 2 x 2 + a 1 x 1 + a 0

Donde, a n , a n - 1 , … , a 2 , a 1 , a 0 son números reales.

FUNCIONES POLINÓMICAS ELEMENTALES.

La función f (x) = a, con a un número real, se denomina función CONSTANTE.

La función f (x) = a x, con a un número real, se denomina función LINEAL.

La función f (x) = a x + b, con a y b números reales, se denomina función AFÍN.

La función f (x) = a x 2 + b x + c, con a, b y c números reales, se denomina función CUADRÁTICA.

funciones racionales elementales

FUNCIONES RACIONALES ELEMENTALES.

Las funciones racionales son de la forma:

P(x)

f(x) = ------ con P(x) y Q(x) (grado(Q)  1) polinomios.

Q(x)

Estas funciones se define para todos los números reales que no se anule el denominador.

Ejemplos:

funciones de proporcionalidad inversa

Las funciones de proporcionalidad inversa, son funciones racionales de la forma:

k

f(x) = ------ con k un número constante.

x

FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA.

Estas funciones tiene por DOMINIO todos los números reales salvo el 0.

Ejemplo:

traslaci n de funciones de proporcionalidad inversa

Las gráfica de la función de proporcionalidad inversa, de la forma:

k

f(x) = b + ------ con k un número constante.

x - a

Es la traslación de la gráfica de la función k/x mediante el vector (a,b)

TRASLACIÓN DE FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA.

Ejemplo:

Hoja de cálculo, en la que se puede

variar a, b y k, de la función:

k

f(x) = b + ------

x - a

otras funciones elementales

OTRAS FUNCIONES ELEMENTALES.

Otras funciones elementales que estudiaremos en cursos posteriores son:

Las funciones exponenciales.

Las funciones logarítmicas.

Las funciones trigonométricas.

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Mas ayuda del tema de la página Matemática de DESCARTES del Ministerio de Educación y ciencia(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)En la siguiente diapósitiva

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Mas ayuda del tema de la página Matemática de GAUSS del Ministerio de Educación y ciencia(http://recursostic.educacion.es/gauss/web)En la siguiente diapósitiva

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Mas ayuda del tema de la página lasmatemáticas.es Videos del profesorDr. Juan Medina Molina(http://www.dmae.upct.es/~juan/matematicas.htm)En la siguiente diapósitiva

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Mas ayuda del tema de la página Manuel Sada(figuras de GeoGebra)(http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/)En la siguiente diapósitiva