Cassiopeia Stars

1. A mão de DEUS na natureza... Seqüência de FIBONACCI... Números áureos... Proporção áurea Cassiopeia Stars  Elaboração: Avides Reis de Faria  CapCep

2. Quem foi FIBONACCI Fibonacci dedicou-se ao estudo dos números áureos... O seu nome completo era Leonardo de Pisa. Ficou conhecido como Fibonacci, devido ao fato de Fibonacci ser um diminutivo de fillius Bonacci, que queria provavelmente dizer filho de Bonacci. Nasceu em Pisa (Itália) por volta de 1175.

3. Entre outros livros, Fibonacci escreveu o Liber abacci, em 1202. • Foi neste livro que Fibonacci falou pela primeira vez da questão observada nos coelhos. • Notou que: o número de pares de coelhos em determinado mês, é a soma dos pares de coelhos existentes nos dois meses anteriores a este. • Matematicamente, tem-se: Fn = Fn-1 + Fn-2 (no. Natural) Sequencia de Fibonacci A MÃO DE DEUS ... nos animais

4. A sequencia de FIBONACCI... e a Proporção Áurea O quociente entre estes dois números tende, no infinito, para o quociente áureo perfeito, assim: 0 + 1 = 1 1 + 1 = 2..................................................................................................................................1 / 2 = 0,5. 1 + 2 = 3, ..........................................................................................................................2 / 3 = 0,66666666 2 + 3 = 5, ....................................................................................................................3 / 5 = 0,6............ 3 + 5 = 8, ..............................................................................................................5 / 8 = 0,625........ 5 + 8 = 13, ..................................................................................................8 / 13 = 0,6153846.. 8 + 13 = 21, ........................................................................................13 / 21 = 0,6190476. 13 + 21 = 34, ...............................................................................21 / 34 = 0,617647.. 21 + 34 = 55, ..................................................................... 34 / 55 = 0,6181818 34 + 55 = 89, ............................................................. 55 / 89 = 0,6179775. 55 + 89 = 144, ..................................................89 / 144 = 0,6180555. 89 + 144 = 233, ...................................144 / 233 = 0,6180257. 144 + 233 = 377,.......................... 233 / 377 = 0,6180371. 233 + 377= 610.................. E assim sucessivamente........tendendo no infinito para φ = Fib(∞) / Fib(∞-1) = 0,6180338 Notar que 0,618..é equivalente a 61,8 % apr., ou 2/3 de um todo qualquer !!! Tem-se assim a seqüência de FIBONACCI, estruturada nos NÚMEROS ÁUREOS: 123581321345589144233377610........... segue-se sucessivamente !

5. Conforme Bahaskara, para a reta: A G B ( 1-g ) g g = -1√ 5 / 2 Cujas raízes são : Φ = 1,6180338... φ = 0,6180338... Números Áureos – Proporção áurea • Os “NÚMEROS ÁUREOS” estão associados ao número 5; • Na Idade Média, Bhaskara, demonstrou que, no triangulo retângulo, ‘o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos’. tem-se: OS NÚMEROS ÁUREOS: (phi) Φ = 1,6180338... Φ = 0,6180338... Notar queΦ = Φ + 1

6. Retângulos áureos e Quadrados de Fibonacci

7. A harmonia áurea no comando da criação

8. Segundo Fibonati, esta série ocorre na Natureza quando os objetos, seres e formatos são curvos, desde o Macrocosmo, como as galáxias de estrelas, como no Microcosmo como nos vórtices, nas espirais em frutas e flores, e seres microscópicos etc., sendo seu traçado derivado de uma estrutura de retângulos justapostos, com medidas desta série.

9. A seqüência de FIBONACCI ... a natureza ! ... a mão de D E U S

10. A FORMA DAS GALAXIAS Olhe para o Universo... E veja a mão de DEUS !

11. Outras Galáxias no Macrocosmo

12. A harmonia áurea no comando da criação

13. Também no microcosmo...a natureza é decifrada por Fibonacci 13 8 5 3 2 1 0 A mão de DEUS nas conchas A mão de DEUS... nas árvores...

14. A mão de DEUS... nas flores...

15. A mão de DEUS... nas flores... Na pétalas nas flores: • Em algumas plantas o número de pétalas é um número de Fibonacci: • 3 pétalas: lírio, açucena, íris, trandescância. • 5 pétalas: botão de ouro, rosa selvagem, columbine, esporas, capuchinha. • 8 pétalas: delphiniums, anémona. • 13 pétalas: malmequer, cineraria, ragwort. • 21 pétalas: áster, olhado preto, susana, chicória. • 34 pétalas: tanchagem, píretro, dália. • 55, 89, etc pétalas: margaridas(várias), a família asteraceae, • Algumas destas flores têm mesmo este número preciso de pétalas, outras podem variar mas sempre com um número de pétalas, perto do de Fibonacci...

16. A MÃO DE DEUS ... nos legumes ... Identificamos a mão de DEUS nas plantas...

17. A MÃO DE DEUS ... nos legumes ... Identificamos a mão de DEUS nas plantas... Encontramos ... ...nas pinhas(figura ao lado) ...nas folhas das cabeças das alfaces, ...na couve-flor, ...nas camadas das cebolas... ...ou os padrões de saliências dos ananases...

18. Mais sobre a natureza da plantas... Os números de Fibonacci ligam-se facilmente à natureza. É possível encontrá-los no arranjo das folhas do ramo de uma planta, nas copas das árvores ou até mesmo no número de pétalas das flores. Podemos também encontrar a espiral de Fibonacci nas sementes das flores, em frutos e pinhas. Os arranjos das folhas de algumas plantas em torno do caule são números de Fibonacci. Com este arranjo, todas as folhas conseguem apanhar os raios solares de igual forma. Quando chove, o escoamento da água torna-se também mais fácil.

19. A MÃO DE DEUS ... nas plantas ... Notar como as folhas de baixo são maiores ...decrescendo harmonicamente até o miolo

20. Na natureza...no projeto das plantas...em tudo vemos o grande projeto! Em torno do ramo central vê-se uma distribuição de Fibonacci : 3 folhas em 5 voltas 5 folhas em 8 voltas

21. Mais sobre Fibonatti na natureza da plantas nas flores Na figura à esquerda, podemos contar as folhas, seguindo-as pela ordem que aparecem, até encontrar uma folha exatamente na vertical da primeira. Na planta do topo contamos três rotações no sentido dos ponteiros do relógio, antes de encontrarmos a folha na mesma direção da primeira. Passamos por cinco folhas, até que isso aconteça. Se contarmos no sentido contrário aos ponteiros do relógio, precisamos de duas rotações. Os algarismos 2, 3 e 5 são números de Fibonacci. Podemos escrever então: 3\5 de volta por folha = 0,61 de volta (proporção áurea).

22. A MÃO DE DEUS ... no HOMEM ... nas mãos ... e no corpo Olhe para seu braço... e para suas mãos... Identificas a proporção áurea?  2/3 Olhe para nosso corpo... e para suas proporções... Observe a posição do umbigo, e dos órgãos sexuais... Identificas a proporção áurea?  2/3

23. Olhe para a sua mão! • Consegues ver...a proporção áurea? • 2 mãos cada uma com... • 5 dedos, cada um tem... • 3 partes separadas por... • 2 nós. A MÃO DE DEUS ... no HOMEM ... nas mãos Os dedos de Fibonacci: Olhe para seus braços... e ante-braços... Identificas a proporção áurea?  2/3 = 0,6...  61,8% Olhe para seu rosto... e para o nariz... Identificas a proporção áurea?  2/3

24. Notar o microcosmo “projetado com base na proporção áurea” (phi) Φ = 0,6180338

25. Φ Φ Φ Φ O Homem como “pentágono” (muito usado por Leonardo Da Vinci em seus desenhos) O Homem “áureo”

26. Afélio e periélio... 0,6 A MÃO DE DEUS ... nos planêtas ... • Considerações dos estudos do matemático e astrônomo Kepler (Johanes Kepler - 1571-1630) e pelo filósofo Roberto Fludd, (1574-1637): • - Kepler, com base nas suas observações, registra que os astros não percorrem em suas trajetórias círculos perfeitos, mas sim percursos elípticos; • No afélio, quando está mais longe do centro têm velocidade maior; • Na fase do periélio, estão mais próximos do centro, têm velocidade menor.

27. A MÃO DE DEUS ... Na luzes e nas cores ...nas frequencias... Percebemos a luz clara ou chamada de branca, com o seu desdobramento pelo efeito do prisma, que identifica as cores. A faixa da luz visível está entre 1013 Hz e 1014 Hz. O intervalo dessa estreita faixa de freqüência, que possibilita identificar as cores, é a progressão geométrica resultante da cor de menor freqüência para a de maior freqüência tem como “razão” matemática o número 1,05946309

29. A MÃO DE DEUS ... Na música ... ESPIRAL LOGARÍTMICA REPRESENTATIVA ESCALA MUSICAL TEMPERADA No campo da música essa escala, com base na indicada razão – 1,05946309 - é designada de escala temperada. Clóclea Aparece, de maneira bastante evidente, a curiosa correlação das duas espirais quanto à forma de percepção dos sons. Os sons mais graves são percebidos no centro, enquanto os mais agudos nos extremos das espirais, na medida em que a freqüência do som se eleva na proporção das oitavas.

31. ~ 1,6 A faixa média de audição humana  é de 20 a 20 khz. Como  se  determina o número de oitavas entre 20 e 20000 Hz

32. A MÃO DE DEUS ... no HOMEM ... no ouvido

33. CÓCLEA, O ANALISADOR DE ESPECTRO Sistema Auditivo Resposta em freqüencia, ao longo da espiral cócliana A **Cóclea, órgão parte do sistema auditivo, atua como um analisador espectral

34. A MÃO DE DEUS ... Na música ... Cont. • A progressão geométrica da escala musical apresenta a seguinte explicação: • Uma corda esticada, em toda a sua extensão produz um determinado som. • No momento que dividirmos esse som (comprimento de onda) ao meio, • o som produzido por essa metade tem o dobro de “altura”. • Esse som apresenta o dobro de freqüência e corresponde a • uma “oitava” na escala musical. Do, do#,re,re#,mi, fa,fa#,sol,sol#,la,la#si,do. retornando ao dóque tem o dobro de freqüência do dó anterior. (Obs: o sinal # significa SUSTENIDO, isto é, meio tom acima) Numericamente temos que a razão dessa progressão geométrica é 1,05946309 Do do# re re# mi fa fa# sol sol# la la# si do 1,0 1,059 1,122 1,189 1,259 1,334 1,414 1,498 1,587 1,681 1,781 ,887 2,0 Observa-se a mesma razão na progressão sobre a escala das freqüências, partindo da afinação de do a 220 Hz, vamos encontrar a seguinte seqüência: 220 Hz 233 246 261 277 293 311 329 349 369 391 415 440 Hz. Do do# re re# mi fa fa# sol sol# la la# si do.

35. REPRESENTAÇÃO POLAR DA ESCALA MUSICAL TEMPERADA (Vallumbrosius) A PRESENÇA DA RAZÃO ÁUREA AS 5 OITAVAS

36. Correspondências entre O SOM , A COR E A LUZ. • Ao estudar as características desses três elementos pela física, pode-se constatar que eles têm uma propriedade em comum, que é a freqüência. • O som é percebido pelos nossos ouvidos dentro da faixa já indicada de freqüência, situada entre 20 e 20.000 Hz. ; • Percebemos a luz quando a freqüência estiver entre 10 2 Hz e 10 22 Hz ; • A cor entre 10 13 Hz e 10 14 Hz (ainda dentro da mesma faixa de freqüência da luz), apenas diferenciada pelo seu desdobramento que vai do vermelho ao violeta.

37. Outras associações com a proporção áurea: • Teoria dos fractais; • Na estrutura de repetição do DNA humano; • Na música: artigos relacionam as composições de Mozart, Bethoveen (Quinta Sinfonia) e Shubert com a razão áurea; • Visão humana: Nosso campo de visão, independente da distância até o objeto é um retângulo na relação áurea. Assim os aparelhos de TV, os monitores de video de computadores tem apr. a proporção área nas dimensões da largura e da altura da tela (3x4) ...(9x16); • Na arquitetura: desde a antiguidade, os arquitetos aplicam a razão áurea nos projetos, nos desenhos e telas (em especial a arquitetura grega) • Nas pirâmides egípcias (Gisé), a altura e a metade do lado da base das pirâmides obedecem à razão áurea. • Na arquitetura moderna: Le Corbusier (Charles-Edouard Jeanneret), em 1948, publicou um livro sobre um sistema de medição denominado MODULOR, baseado nas proporções áureas, nos números de Fibonacci e nas dimensões médias humanas. O “Modulor” é uma seqüência de medidas usada para encontrar a HARMONIA nas composições.

38. Fim...