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NÚMEROS COMPLEXOS

O que voc ê deve saber sobre. NÚMEROS COMPLEXOS. Os números complexos vieram suprir uma lacuna deixada pelos números reais na solução de certos tipos de equação. Apesar das resistências iniciais, eles encontraram terreno fértil para serem aceitos e usados amplamente. I. Introdução.

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  1. O que você deve saber sobre NÚMEROS COMPLEXOS Os números complexos vieram suprir uma lacuna deixada pelos números reais na solução de certos tipos de equação. Apesar das resistências iniciais, eles encontraram terreno fértil para serem aceitos e usados amplamente.

  2. I. Introdução No século XIX demonstrou-se que os números complexos formavam um conjunto numérico que estava de acordo com a teoria dos conjuntos. A teoria também mostrou que eles englobavam o conjunto dos números reais, como representado abaixo. NÚMEROS COMPLEXOS

  3. II. Forma algébrica Números complexos representados na chamada forma algébrica: em que a e b sãonúmeros reais, e i é chamado unidade imaginária. A unidade imaginária é um número i tal que: Decorrência da definição anterior: NÚMEROS COMPLEXOS

  4. II. Forma algébrica • Coeficiente a:parte real de z, representada por Re(z). • Coeficiente b: parte imaginária de z, indicada por Im(z). • Todo número real é complexo e pode ser representado como tal, desde que sua parte imaginária b seja igual a zero. • Se a parte real de um número complexo é nula, ele é um número imaginário puro. • Dois números complexos, z e w, para serem iguais, devem ter suas partes reais e imaginárias, respectivamente, iguais. • Definição do conjunto dos números complexos: NÚMEROS COMPLEXOS

  5. III. Operações com números complexos Dados os dois números complexos z = a + bi e w = c + di: Soma e subtração: é feita pela soma (ou subtração) de suas respectivas partes reais e imaginárias: Multiplicação: é feita pela aplicação da propriedade distributiva: NÚMEROS COMPLEXOS

  6. III. Operações com números complexos Divisão: necessita do conceito de complexoconjugado. O conjugado de z, escrito como |z|, é dado por: O produto de um número complexo por seu conjugado resulta sempre em um número real. Assim, para obter o quociente , devemos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado de z: NÚMEROS COMPLEXOS

  7. III. Operações com números complexos Potências de i: observe na tabela que os resultados se repetem a partir da quarta potência de i: Na potenciação de i,já que há 4 possibilidades de resultado, divide-se o expoente por 4 (lembrar que i4 = 1) e toma-se o resto da divisão como um valor equivalente para o expoente de i. NÚMEROS COMPLEXOS

  8. IV. Representação geométrica de número complexo Representação por um ponto O número complexo z = a + bi é representado, no plano de Argand-Gauss, pelo ponto P(a, b). P é chamado de imagem de z, e z é denominado afixo do ponto P. i NÚMEROS COMPLEXOS

  9. IV. Representação geométrica de número complexo • Representação vetorial: podemos representá-lo como um vetor OP, com origem em O(0, 0) e extremidade no ponto P. • Módulo de z: indicado pela letra grega (rô), é definido como a medida do segmento OPe dado por: • Direção de z: indicada pelo ângulo  (0 ≤  ≤ 2), que o vetor estabelece com eixo real. Esse ângulo é conhecido como argumento de z. NÚMEROS COMPLEXOS

  10. IV. Representação geométrica de número complexo Representação trigonométrica: como decorrência da representação de um número complexo z por um vetor e apartir da substituição de seu módulo e de seu argumento na forma algébrica, podemos também representá-lo na forma trigonométrica ou polar: NÚMEROS COMPLEXOS

  11. V. Operações na forma trigonométrica Dados dois números complexos z1 =1(cos 1 + i sen 1) e z2 = 2 (cos 2 + i sen 2), definimos: Produto Quociente Potenciação (1a fórmula de De Moivre) NÚMEROS COMPLEXOS

  12. V. Operações na forma trigonométrica Radiciação (2a fórmula de De Moivre) Todo número complexo w,tal que wn = z, é denominado raiz enésima de z. As raízes enésimas de z podem ser obtidas pela fórmula: com k = 0, 1, 2, 3, ... (n - 1) e n  e n > 1.Podemos interpretar os valores obtidos pela fórmula como as enésimas raízes distintas de z, todas de mesmo módulo ; e argumentos distintos iguais .No plano imaginário, os pontos que representam as n raízes de z estão sobre uma circunferência de centro na origem e raio ; a circunferência fica então dividida em n arcos congruentes medindo cada um . NÚMEROS COMPLEXOS

  13. 2 (UFRJ) Determine o módulo, o argumento e represente graficamente o número complexo z = 2 + . EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: NÚMEROS COMPLEXOS - NO VESTIBULAR

  14. 3 (UFRJ) No jogo Batalha Complexa são dados números complexos z e w, chamados mira e alvo respectivamente. O tiro certeiro de z em w é o número complexo t tal que tz = w. Considere a mira z e o alvo w indicados na figura ao lado. Determine o tiro certeiro de z em w. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: NÚMEROS COMPLEXOS  NO VESTIBULAR

  15. 4 (Fuvest-SP) A figura representa o número no plano complexo, sendo i = a unidade imaginária. Nessas condições: a) determine as partes real e imaginária de e de 3.b) represente e na figura a seguir. RESPOSTA: EXERCÍCIOS ESSENCIAIS c) determine as raízes complexas da equação z3 – 1 = 0. NÚMEROS COMPLEXOS  NO VESTIBULAR

  16. 7 (Ufal) Na figura a seguir, o ponto P é o afixo do número complexo z. Se o número complexo z1 = a + bi é o cubo de z, determine o valor da diferença b  a. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: NÚMEROS COMPLEXOS  NO VESTIBULAR

  17. 8 (UFC-CE) Sejam x, y, z e w números complexos taisque suas representações geométricas coincidem com os vértices de um quadrado inscrito em uma circunferência com centro na origem. Se x = + i, determine y, z e w. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: NÚMEROS COMPLEXOS  NO VESTIBULAR

  18. RESPOSTA: 1 12 (UFRN)Os números complexos são representados geometricamente no plano XY por meio da correspondênciabiunívoca z = a + bi  P = (a, b), conforme ilustração a seguir. a) Represente, no plano XY anterior, os números complexos z1=2 + 2i e z2=-2+2i. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS NÚMEROS COMPLEXOS  NO VESTIBULAR

  19. RESPOSTA: RESPOSTA: 1 12 b) Represente geometricamente, no mesmo plano, os segmentos de reta Oz1eOz2e calcule o ângulo z1Ôz2. c) Se z = a + bi, prove que z’ = iz é obtido girando-se z 90º no sentido anti-horário, em torno da origem. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS NÚMEROS COMPLEXOS  NO VESTIBULAR

  20. 1 14 (Unicamp-SP)Um número complexo z = x + iy, z  0, pode serescrito na forma trigonométrica: z = | z | (cos  + i sen ), onde | z | = cos  = . Essa forma de representar os números complexos não nulos é muito conveniente, especialmente para o cálculo de potências inteiras de números complexos, em virtude da fórmula de De Moivre: que é valida para todos t  . Use essas informações para:  EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: a) calcular . b) sendo z = calcular o valor de 1 + z + z2 + + z3 + ... + z15. NÚMEROS COMPLEXOS  NO VESTIBULAR

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