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NÚMEROS COMPLEXOS

NÚMEROS COMPLEXOS. ORIGEM E EVOLUÇÃO Por: Rosa Canelas. NAS EQUAÇÕES DO 2º GRAU. Os Babilónios em 1700 AC já conheciam regras para resolver equações do 2º grau. Os gregos demonstraram essas regras e conseguiram, por processos geométricos, obter raízes irracionais.

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NÚMEROS COMPLEXOS

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Presentation Transcript

  1. NÚMEROS COMPLEXOS ORIGEM E EVOLUÇÃO Por: Rosa Canelas

  2. NAS EQUAÇÕES DO 2º GRAU • Os Babilónios em 1700 AC já conheciam regras para resolver equações do 2º grau. • Os gregos demonstraram essas regras e conseguiram, por processos geométricos, obter raízes irracionais. • Na Itália do século XV (1494) Luca Pacioli ensinou em verso a regra para resolver equações do 2º grau e afirma que não há regras para resolver as do 3º grau.

  3. Cronologia I • Nos séculos XVI e XVII ainda não eram considerados números os negativos e os irracionais. • Menos ainda os números complexos.

  4. NAS EQUAÇÕES DO 3º GRAU • Scipione Ferro (cerca de 1515) descobriu uma regra para resolver as equações do 3º grau. Mas não publicou. • Fiore desafia Tartaglia para uma disputa matemática onde inclui problemas do 3º grau. • Tartaglia descobre uma fórmula e vence Fiore.

  5. FÓRMULA DE CARDANO • Cardano atrai Tartaglia a Milão e aí, mediante promessa de guardar segredo, Tartaglia, em verso, dá-lhe a fórmula mas não a demonstração. • Em 1542, Cardano e Ferrari visitaram Bolonha e obtiveram de Della Nave permissão de examinar os manuscritos deixados por Ferro.

  6. COMO SURGEM OS NÚMEROS COMPLEXOS? • Os algebristas antigos (gregos, hindus e árabes) já tinham percebido o caso embaraçoso de b2-4ac ser negativo, mas sempre que isso acontecia os problemas não tinham solução. • Mas é ao usarem a fórmula para resolver as equações do 3º grau que surgem, em passos intermédios raízes de números negativos em problemas com solução.

  7. UM EXEMPLO • Seja v o volume dum cubo de aresta x e v´ o de um paralelepípedo rectângulo cuja área da base é 3 e cuja altura é igual à aresta do cubo; determine x de modo tal que v = v´ + 1. • Como v = x3 e v´= 3x, o problema leva à equação x3 = 3x +1.

  8. RESOLVENDO O EXEMPLO • Pela fórmula de Cardano: x = 3 ½ + - ¾ + 3 ½ - - ¾ • A resolução depende do cálculo de – ¾ , que não existe, mas o problema não é impossível.

  9. POR QUE RAZÃO NÃO É IMPOSSÍVEL? • Quando x é pequeno v é menor que v´+1, mas à medida que x aumenta, v aproxima-se de v´+1 e ultrapassa-o, logo deve haver uma solução para a equação x3 = 3x+1. • Observe a tabela ao lado.

  10. Cronologia II • Gaspar Wessel em 1797 faz a representação geométrica dos números complexos • Jean Robert Argand em 1806 apresentou a mesma ideia que Wessel e ficou com o seu nome ligado ao plano complexo.

  11. Cronologia III • Em 1629 Girard utiliza o símbolo • Em 1794 Euler usa o símbolo i pela 1ª vez. • Em 1637 Descartes usa os termos real e imaginário. • Em 1832 Gauss introduz a designação “número complexo”.

  12. Número complexo • Número complexo: • Conjunto dos números complexos:

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