LICEUL TEORETIC “PETRU CERCEL”

1. LICEUL TEORETIC “PETRU CERCEL” PROIECT LA MATEMATICA SISTEME DE ECUATII LINIARE Coordonatorstiintific : Prof. NicaIonut Elev: DoncilaMihail

2. Cuprins 1. Forma generala a unuisistem de ecuatiiliniare 2. Metode de rezolvare a sistemelor de ecuatiiliniare 2.1. Metodamatriceala 2.2. Metodalui Cramer 2.3. Metodalui Gauss 3. Discutiaunuisistem de ecuatiiliniare 3.1. Ranguluneimatrice 3.2. Compatibiliateaunuisistemliniar 4. Aplicatii ale sistemelorliniare in economie 4.1. Economia – Generalitati 4.2. Aplicatie

3. 1. Forma generala a unuisistem de ecuatiiliniare O ecuatieliniaracu n necunoscutex1,x2,…,xn are forma: a1x1+a2x2+…+anxn=b. Numerelea1,a2,…,an se numesccoeficientiinecunoscutelorx1, x2,…,xn , iar b se numestetermenulliberal ecuatiei. Se numestesistem deecuatiiliniareo multimefinita de ecuatiiliniare. . Un sistem care nu are nici o solutie se numesteincompatibil. Dacasistemulposedasolutii se spune ca estecompatibildeterminatcu o solutiesinedeterminatcu maimult de o solutie.

4. 2. Metode de rezolvare a sistemelorliniare 2.1. Metodamatriceala Procedeupractic: 1) Dacasistemulliniar are necuatii cu n necunoscut, atunci se scriesistemul sub forma AX=B si se calculeazadet(A). 2) Dacadet(A) 0, se calculeazaA-1. 3) Solutia sistemuluiesteX = A-1B . 2.2. Metodalui Cramer Procedeupractic : 1) Se calculeazasi se observa ca 0. 2) Se calculeazadeterminantiixk , k= , obtinuti din prininlocuireacoloaneikprincoloanatermenilorliberi.

5. 3) Solutia sistemuluieste data de formulelelui Cramer: x1= ∆x1/det A,x2=∆x2/det A, …, xn=∆xn/det A. 2.3. Metodalui Gauss Procedeu de rezolvare: Consta in transformareaechivalenta a sistemuluiprintransformarielementare, in sisteme in care necunoscutax1aparenumai in prima ecuatie, iar in celelalteecuatii se elimina. Aceastametoda se utilizeaza la rezolvareasistemelorliniare de mecuatii cu nnecunoscute, fara a face apel la calcul de determinanti.

6. 3. Discutiaunuisistem de ecuatiiliniare 3.1. Ranguluneimatrice Fie A€Mm,n (C). Se numesteminor de ordinulk al matriceiA, determinantulmatriceiextrase din A, ale caruielemente se gasesc la interesectia a kcoloanediferitesik liniidiferite. RangulmatriceiAnotat rang (A) estecelmai mare dintreordineleminorilornenuliaimatriceiA. 3.2. Compatibilitateaunuisistemliniar ProprietateaKronecker – Capelli: Un sistemliniarestecompatibildacasinumaidacarangulmatriceisistemuluiesteegalrangulmatriceiextinse. ProprietateaRouche: Un sistemliniarestecompatibildacasinumaidacatotideterminantiicaracteristicisuntnuli.

7. 4. Aplicatii ale sistemelorliniare in economie 4.1. Economia – Generalitati Economiaeste o știință socială ce studiază productiași desfacerea, comerțulși consumul de bunuri și servicii. Potrivit definiției date de Lionel Robbins în 1932, economia este știința ce studiază modul alocării mijloacelor rare în scopuri alternative. 4.2. Aplicatie O fabrica de mobila produce trei tipuri de mese A, B si C. Fiecare masa trece prin trei etape: prelucrare, asamblare şi finisare. Capacitatea maximă a fabricii pentru prelucrare este de 200 ore, pentru asamblare este de 195 ore şi pentru finisare de 165 ore. Pentru fiecare masa A sunt necesare 6 ore la prelucrare, 5 ore la asamblare şi 4 ore la finisare, pentru masa B 3 ore la prelucrare, 4 ore la asamblare şi 3 ore la finisare, iar pentru masa C 1 ora la prelucrare, 1 ora la ansamblare si 2 ore la finisare . Determinaţi numarul de mese de fiecare tip care pot fi produse utilizand la maxim capacitatea fabricii.

8. Solutie: • Notam cu: x – numarul de mese tip A; • y – numarul de mese tip B; • z – numarul de mese tip C. • Cele 200 de ore destinatesculptariisuntdescrise de ecuatia: • 6x+3y+z = 200 • Cele 175 de ore destinateansamblariisuntdescrise de ecuatia: • 5x+4y+z = 195 • Cele 135 de ore destinatefinisariisuntdescrise de ecuatia: • 4x+3y+2z = 165 • Decisistemulcetrebuierezolvateste :

9. = detA = 48+12+15-16-30-24 = 5 = 1600+495+585-660-600-1170 = 250 = 50 scaune tip A x = = = 2340+800+825-780-1170-2000 = 15 y = = = 3 scaune tip B

10. = 3960+2340+3000-3200-3510-2475 = 115 = 23 scaune tip C z = =