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Hypothesenprüfung nach Bayes

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Hypothesenprüfung nach Bayes. Bedingte Wahrscheinlichkeiten. In einem Semester seien 60 Studierende, davon 50 Studentinnen. 20 Studentinnen und 5 Studenten sind Brillenträger. Wie groß ist. p (  ) p (  ) p (    ) p (  |  ) p (  |  ). 25/60 50/60 20/60 20/50 20/25.

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Presentation Transcript
bedingte wahrscheinlichkeiten
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
  • In einem Semester seien 60 Studierende, davon 50 Studentinnen.
  • 20 Studentinnen und 5 Studenten sind Brillenträger.
  • Wie groß ist
  • p ()
  • p ()
  • p ( )
  • p ( | )
  • p ( | )

25/60

50/60

20/60

20/50

20/25

Def.: p (A | B) = p (A  B) / p(B)

  • p (A  B) = p (A)  p (B | A)

20/60 = 25/60  20/25

= p (B)  p (A | B)

= 50/60  20/50

  • Unabhängigkeit: p (A | B) = p (A). p (A  B) = p (A)  p (B)
w rfelspiel
Würfelspiel
  • Es gibt zwei Würfel: einen „guten“: p(1) = p(2) = ... = 1/6,und einen manipulierten: p(1) = ... = p(5) = 1/10, p(6) = 1/2.
  • Der Spielleiter greift in einen Beutel und zieht zufällig einen der beiden Würfel heraus. Man sieht es dem Würfel aber nicht an, ob er der gute oder der manipulierte ist.
  • Der Spielleiter würfelt n Würfe. Das Ergebnis R ist also ein n-Tupel, z. B. {2, 6, 4, 6}.
  • Wie wahrscheinlich ist die Hypothese Hm: manipulierter Würfel bei diesem R ?Wie groß ist p (Hm | R) ?
bayes
Bayes
  • gegeben: p (R | H) manipulierter Würfel: p(1) = ... = p(5) = 1/10, p(6) = 1/2.
  • gesucht: p (H | R) {2, 6, 4, 6}: manipulierter Würfel?
  • p (R  H) = p (R)  p (H | R) = p (H)  p (R | H)
  • p (H | R) = p (H)  p (R | H) / p (R)

a prioriWahrscheinlichkeit

a priori a posteriori
a priori / a posteriori
  • p (Hi | R) = p (Hi)  p (R | Hi) / p (R)
  • gegeben ein vollständiger Satz unvereinbarer Hypothesen Himit a prioriWahrscheinlichkeiten p (Hi)
  • p (R) = p (R  H1) + p (R  H2) + ... = p (H1)  p (R | H1) + p (H2)  p (R | H2) + ...
  • so sind die a posterioriWahrscheinlichkeiten p (Hi | R)
  • p (Hi | R) = p (Hi)  p (R | Hi) / j p (Hj)  p (R | Hj)
welcher w rfel war s
Welcher Würfel war‘s?
  • p (Hi | R) = p (Hi)  p (R | Hi) / j p (Hj)  p (R | Hj)
  • a priori: p(Hm) = p(Hg ) = 0.5.
  • p (Ri | Hg): p(1) = p(2) = ... = p(6) = 1/6,p (Ri | Hm): p(1) = p(2) = ... = p(5) = 1/10, p(6) = 1/2.
  • p ({2, 6, 4, 6} | Hg) = 1/60 · 1/6 · 1/60 · 1/6 = 1/1296,p ({2, 6, 4, 6} | Hm) = 1/10 · 1/2 · 1/10 · 1/2 = 1/400,p ({2, 6, 4, 6}) = 0.5 · 1/1296 + 0.5 · 1/400 = 53/32400 = 0.0016...,
  • p (Hm | {2, 6, 4, 6}) = 0.5 · 1/400 / (0.5 · 1/400 + 0.5 · 1/1296) = 0.5 · 1/400 / (0.5 · 1/400 + 0.5 · 1/1296)
  • a posteriori: p (Hm | {2, 6, 4, 6}) = 1296/1696 = 81/106 = 0.76...
bayes mit gleichf rmigen a priori wahrscheinlichkeiten uniform priors
Bayes mit gleichförmigen a priori Wahrscheinlichkeiten (uniform priors)
  • man kann kürzen:p (Hi | R) = p (Hi)  p (R | Hi) / j p (Hj)  p (R | Hj) = p (R | Hi) / j p (R | Hj)
  • p (Hi | R) = p (R | Hi)  p (Hi) / p (R)  p (R | Hi)konstant, hängt nicht von i ab.
  • Will man nur die wahrscheinlichste Hypothese wissen, so reicht es, das maximale p (R | Hi) zu finden.
maximum likelihood
maximum likelihood
  • Eine Eigenschaft sei in der Population normalverteilt, µ0 und 0 seien bekannt.
  • Eine Intervention hat evtl. Einfluß auf den Mittelwert, nicht hingegen auf die Streuung.
  • Eine Messung an n Individuen mit Intervention ergab die Meßwerte {xi}.
  • Für jedes hypothetische µInt kann jetzt p ({xi} | µInt) errechnet werden: p ({xi} | µInt) = i=1...n N (µInt, 02, xi).
  • Gesucht wird das hypothetische µInt, wo p (xi | µInt) maximal ist.
  • In diesem einfachen Falle ist das maximal wahrscheinliche µ einfach gleich dem Mittelwert der xi.
hausaufgabe
Hausaufgabe
  • Es gibt zwei Würfel: einen „guten“: p(1) = p(2) = ... = 1/6,und einen manipulierten: p(1) = ... = p(5) = 1/10, p(6) = 1/2.
  • a priori: gleichförmig, p(Hm) = p(Hg ) = 0.5.
  • R: {2}. Wie groß ist a posteriori p (Hm | R) ?
  • neues a priori = a posteriori
  • R: {6}. Wie groß ist p (Hm | R) jetzt?
  • Wie groß wäre es nach R: {6} bei uniform priors?
  • Wie groß ist die a posteriori Wahrscheinlichkeit bei uniform priors, R = {2,6} ?