1 / 27

FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE

FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE. Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu DVODIMENZIONALNA VALNA JEDNADŽBA Prof.: dr.sc. Ivica Gusić Andrea Gelemanović, Martina Hrkovac. 1. PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE (PDJ).

ethan-young
Download Presentation

FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu DVODIMENZIONALNA VALNA JEDNADŽBA Prof.: dr.sc. Ivica Gusić Andrea Gelemanović, Martina Hrkovac

  2. 1. PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE (PDJ) • Daju vezu između zavisne funkcije dviju ili više promjenljivih i parcijalnih varijabli u odnosu na njene nezavisne promjenljive varijable • Zavisne varijable – ovise o procesu koji se modelira • Nezavisna varijabla – prostorne (x, y, z) - vremenske (x, y, z, t) • Rješenje : funkcija koja zadovoljava parcijalnu diferencijalnu jednadžbu u čitavoj domeni promatranja pri čemu moraju biti ispunjeni i početni / granični uvjeti

  3. Linearna je ona PDJ koja je prvog reda i u zavisnoj varijabli i u njezinim parcijalnim derivacijama • Ako svaki član takve jednadžbe sadrži ili zavisnu varijablu ili jednu od njenih derivacija, za jednadžbu se kaže da je homogena, odnosno, u suprotnom nehomogena • Linearne parcijalne jednadžbe drugog reda:

  4. Rješenje parcijalne diferencijalne jednadžbe je vrlo složeno • u nekim slučajevima rješenje problema je određeno vrijednostima na granici domene ("granični uvjeti"), dok je u drugim slučajevima , kad je vrijeme tjedna od nezavisnih varijabli, ono određeno vrijednostima u t = o ("početni uvjeti") • ako je obična diferencijalna jednadžba linearna i homogena, tada iz poznatog rješenja, daljnje rješenje može biti postignuto superpozicijom • isto vrijedi i za homogene parcijalne diferencijalne jednadžbe.

  5. Osnovni teorem 1. • Ako su i u nekom području, rješenja linearne homogene parcijalne jednadžbe, tada je: • gdje su c1 i c2 proizvoljne konstante, također rješenje te jednadžbe u tom području.

  6. 2. DVODIMENZIONALNE VALNE JEDNADŽBE • Kao jedan od važnijih problema na početku, promatramo titranje rastegnutih membrana uz određene početne prepostavke: • Masa membrane po jedinici površine je konstantna („homogena membrana“). Membrana je savršeno fleksibilna i tako tanka da ne pruža nikakav otpor savijanju. • Membrana je napeta i fiksirana duž cijele njene granice u ravnini xy. Napetost membrane po jedinici duljine T, uzrokovana rastezanjem membrane, jednaka je u svim točkama i u svim smjerovima te se ne mijenja tijekom vibriranja. • Otklon, u(x,y,z), membrane tijekom vibriranja je malen u usporedbi s veličinom membrane, a svi kutovi nagiba su maleni.

  7. da bismo izveli diferencijalnu jednadžbu koja opisuje gibanje membrane, razmatramo sile koje djeluju na malim dijelovima membrane

  8. kako su otklon membrane i nagibi kutova mali, stranice isječka membrane su jednake dx i dy • Napetost, T je sila po jedinici duljine, stoga su sile koje djeluju na rubovima isječka približno jednake i • budući da je membrana savršeno fleksibilna, ove sile su tangente na membranu

  9. Razmatraju se horizontalne komponente sila • Dobivaju se množenjem sila s kosinusom kuta otklona • Kako su ti kutovi mali, njihovi kosinusi su približno ~ 1 pa su horizontalne komponente sila na suprotnim stranama približno jednake zbog čega se i zanemaruje gibanje u tom smjeru • Membrana se giba transverzalno 2) Vertikalne komponente sila • Kako su sinusi kutova mali možemo ih zamijeniti tangesima • Rezultanta tih dviju vertikalnih komponenti:

  10. Rezultanta druge dvije nasuprotne strane isječka : • U skladu s 2. Newtonovim zakonom : • Ako su i približno jednaki 0 :

  11. rezultat je : DVODIMENZIONALNA VALNA JEDNADŽBA može se izraziti i pomoću Laplaceove jednadžbe te napisati u obliku:

  12. m=1 m=2 m=3 n=1 n=2 n=3

  13. 3. PRAVOKUTNE MEMBRANE • Kako bi se riješio problem vibrirajuće membrane, mora se odrediti rješenje u (x, y, t) za dvodimenzionalnu valnu jednadžbu: • Koja zadovoljava rubne uvjete : • te početne uvjete :

  14. Primjer: Pravokutne membrane

  15. Prvi korak : • Primjenom metode razdvajanja (separacije) varijabli, prvo određujemo rješenje jednadžbe: koja zadovoljava rubni uvjet • Polazi se od : • supstitucijom : • dijeleći obje strane s :

  16. zato što funkcija na lijevoj strani ovisi jedino o t, dok funkcije na desno ne ovise o t, izrazi na obje strane moraju biti jednaki konstanti: • Ovo povlači dvije diferencijalne jednadžbe: gdje je i • metodom razdvajanja (separacije) varijabli još jednom određujemo rješenja jednadžbe koja zadovoljava rubne uvjete

  17. supstitucijom: • funkcije na lijevoj strani ovise jedino o x dok funkcija na desno ovisi jedino o y pa izrazi na obje strane moraju biti jednaki konstanti • a rezultira običnom diferencijalnom jednadžbom :

  18. 2) Drugi korak • opća rješenja: • uvjeti: • moramo uzeti u obzir B0 jer je inače H0 i F0, • dakle sin ka=0 ili ka=m • isto tako C=0, a p mora biti sužen na vrijednosti p = n/b gdje je n integral • dolazimo do rješenja :

  19. slijedi da su slijedeće funkcije rješenja prethodne jednadžbe koje zadovoljava rubne uvjete pravokutne membrane: • odnosno : • isto tako i za :

  20. Slijedi da su funkcije : na duljini s rješenja valne jednadžbe koja zadovoljava rubne uvjete pravokutne membrane • Ove funkcije nazivaju se karakteristične funkcije, a karakteristične vrijednosti vibrirajuće membrane

  21. 3) Treći korak • Da bismo postigli rješenje koje zadovoljava početne uvjete razmatramo dvostruke redove : • Ove dvostruki redovi nazivaju se dvostruki Fourieroviredovi • Fourierove koeficijente određujemo na slijedeći način:

  22. za fiksni y, ove Fourierove sinusne redove f(x, y), razmatramo kao funkcije od x, pa slijedi da su koeficijenti ove ekspanzije: • ako je Fourierov sinusni red za Km (y) pa su koeficijenti : • dolazi se do generalizirane Eulerove formule za Fourierove koeficijente :

  23. da bismo odredili Bmn* diferenciramo izraz za dvostruke redove po t • Da bi zadovoljili početne uvjete koeficijenti Bmn*, Bmn moraju biti računati prema gore navedenim izrazima

  24. P R I M J E R

  25. www.demonstrations.wolfram.com

  26. Primjer: Kvadratne membrane

  27. LITERATURA • A.E. Kreyszig, ˝Advanced Engineering Mathematics˝, John Wiley & Sons Inc., 1995. • www.demonstrations.wolfram.com • www.kettering.edu/~drussell/Demos/MembraneSquare/Square.html • www.falstad.com/membrane/

More Related