MOMENTI DI SECONDO ORDINE

1. MOMENTI DI SECONDO ORDINE INERZIA J

2. INERZIA ASSIALE • IL momento statico di una massa rispetto a una retta è dato del prodotto del la massa per la sua distanza dalla retta. Mentre • il momento d’inerzia è dato dal prodotto della massa per il quadrato della sua distanza dalla retta.

3. Questa è la differenza tra momenti di primo ordine e secondo ordine

4. Cosa è quindi il momento d’inerzia? • È tra virgolette “un coefficiente di forma delle sezioni”

5. Momento d’inerzia assiale

6. È la somma dei prodotti delle singole masse per la distanza al quadrato tra le stesse e l’asse di riferimento

7. sinteticamente

8. il momento d’inerzia polare di un sistema di masse rispetto a un punto P è la somma dei prodotti delle singole masse per i quadrati delle rispettive distanze dal punto P Il momento d’inerzia polare

9. Semplificazione Momento d’inerzia polare • Il momento polare può essere espresso attraverso il momento d’inerzia rispetto a due generici assi ortogonali passanti per il polo P; è sufficiente sostituire nella sua definizione, in luogo del quadrato della distanza d la somma dei quadrati dei due cateti x e y proiezioni ortogonali sugli assi cartesiani della distanza d

10. il momento d’inerzia polare è anche dato dalla somma dei due momenti d’inerzia Jx e Jy valutati rispetto a due generici assi ortogonali passanti per P.

11. Il momento centrifugo • Esso è definito nei riguardi di due assi x, y non ortogonali

12. differenze • a differenza dei due casi precedenti, il momento centrifugo può risultare positivo, negativo o nullo perché i prodotti x possono essere positivi o negativi a seconda che le masse abbiano entrambe le coordinate positive o negative oppure una coordinata positiva e l’altra negativa.

13. TEOREMA DI TRASPOSIZIONE • Un’importante proprietà dei momenti del secondo ordine fu stabilita da Huygens da cui prende nome il relativo teorema.

14. TEOREMA DI TRASPOSIZIONE • il momento d’inerzia di un sistema di masse rispetto a un asse è uguale al momento d’inerzia del sistema rispetto all’asse parallelo baricentrico (Xg o Yg), aumentato del prodotto della somma delle masse per il quadrato della distanza fra i due assi.

15. sinteticamente

16. nota • fra tutti i momenti d’inerzia di un sistema di masse rispetto a un fascio di rette parallele, il momento d’inerzia minimo è quello rispetto alla retta baricentrica.

17. Il teorema di trasposizione • Il teorema di trasposizione è particolarmente utile in tutti i casi in cui sono noti i momenti d’inerzia baricentrici; tuttavia, per esigenze di calcolo, spesso siamo obbligati a determinare il momento d’inerzia rispetto ad altri assi significativi

18. Caso di profilati a doppio T • Un caso di frequente applicazione è quello delle sezioni d profilati in acciaio di cui il M.d’inerzia Jx e Jy si conoscono tramite tabelle

19. Formula inversa • spesso, è necessario calcolare il momento d’inerzia rispetto ad assi tangenti la figura o viceversa partendo dal Momento d’inerzia generico rispetto ad un asse si può risalire al momento d’Inerzia baricentrico utilizzando la formula inversa

20. Formula inversa

21. Figure piane - rettangolo • Determinazione del Momento d’inerzia rispetto ad un asse tangente la base

22. dimostrazione • Suddividiamo il rettangolo in strisce elementari; • Rappresentiamo le aree con vettori baricentrici • Rappresentiamo Il baricentro di tali masse che è a H/2 • Calcoliamo i momenti statici dei singoli vettori e costruiamo il diagramma triangolare relativo e ne definiamo il baricentro 2/3 H • Calcoliamo il momento d’inerzia come area totale BH per la distanza baricentrica H/2 per la distanza del baricentro dei momenti statici.

23. Jx Ne consegue :

24. Inerzia baricentrica di una rettangolo • Noto il valore del momento d’inerzia rispetto alla base del rettangolo, possiamo dedurre, attraverso il teorema di trasposizione, il valore del momento d’inerzia rispetto a un asse parallelo e baricentrico dalla relazione seguente: