Equazioni di secondo grado

1. Equazioni di secondo grado a cura di Fabio Cipollone

2. Equazioni di secondo grado Un’equazione di secondo grado è un’equazione che si può ricondurre alla forma: Se b e c sono entrambi diversi da 0, l’equazione si dice completa, altrimenti essa si dice incompleta. Cominciamo dallo studio delle equazioni incomplete.

3. Equazioni spurie Se , l’equazione assume la forma: e viene detta equazione spuria. Esempio

4. Risoluzione di un’equazione spuria Esempio Si raccoglie a fattor comune l’incognita : e si applica la legge di annullamento del prodotto: .

5. Risoluzione di un’equazione spuria In generale: Un’equazione di secondo grado spuria ha sempre due soluzioni reali e distinte (se ), di cui una uguale a 0.

6. Equazioni pure Se , l’equazione assume la forma: e viene detta equazione pura. L’esistenza di soluzioni reali per un’equazione pura dipende dal segno dei suoi coefficienti a e c.

7. Risoluzione di un’equazione pura Esempio 1 In questo caso i coefficienti e dell’equazione sono entrambi positivi. Il primo membro è somma di: (maggiore o uguale a 0 ), 1 (maggiore di 0). Il primo membro, allora, è maggiore di 0 , quindi l’equazione è impossibile in .

8. Risoluzione di un’equazione pura Esempio 2 In questo caso i coefficienti e dell’equazione sono entrambi negativi. Il primo membro è somma di: (minore o uguale a 0 ), (minore di 0). Il primo membro, allora, è minore di 0 , quindi l’equazione è impossibile in .

9. Risoluzione di un’equazione pura Possiamo quindi concludere che: un’equazione di secondo grado pura con coefficienti a e cconcordi, non ha nessuna soluzione reale.

10. Risoluzione di un’equazione pura Esempio 3 In questo caso i coefficienti a e c sono discordi. Si risolve l’equazione prima rispetto all’incognita : quindi si risolve rispetto ad :

11. Risoluzione di un’equazione pura Esempio 4 Anche in questo caso i coefficienti a e c sono discordi. Si risolve l’equazione prima rispetto all’incognita : quindi si risolve rispetto ad :

12. Risoluzione di un’equazione pura Possiamo quindi concludere che: un’equazione di secondo grado pura con coefficienti a e cdiscordi, ha due soluzioni reali e distinte (se , opposte tra loro:

13. Equazioni monomie Se , l’equazione assume la forma: e viene detta equazione monomia. Qualunque sia il valore del coefficiente a (diverso da 0), l’equazione ha un’unica soluzione: (si dice che l’equazione ha due soluzioni reali e coincidenti: ).

14. Risoluzione di equazioni complete Vogliamo ora imparare un metodo per risolvere un’equazione di secondo grado completa: con a, b, c tutti diversi da 0. Procediamo per gradi, attraverso degli esempi.

15. Risoluzione di equazioni complete Esempio Consideriamo la seguente equazione: Se la semplifichiamo, otteniamo: . Si tratta quindi di un’equazione di secondo grado completa.

16. Risoluzione di equazioni complete Se invece non la semplifichiamo: possiamo risolverla, come un’equazione pura, dapprima rispetto all’incognita poi rispetto a : infine rispetto a : . L’equazione ha quindi due soluzioni reali e distinte.

17. Risoluzione di equazioni complete In pratica, abbiamo potuto risolvere l’equazione di secondo grado completa in quantoera data nella forma: Allora, per risolvere una qualunque equazione di secondo grado completa l’idea è quella di ricondurla alla forma: Si parla in questo caso di risoluzione con il metodo di completamento del quadrato.

18. Il metodo di completamento del quadrato Esempio Si porta il termine noto al secondo membro: si mette in evidenzaal primo membro il coefficiente di : si dividono per esso entrambi i membri: Si completa il binomio al primo membro in modo tale da ottenere il quadrato di un binomio:

19. Il metodo di completamento del quadrato … quadrato di doppio prodotto di per … che cosa? Quindi è il doppio prodotto di per . Il termine mancante, allora, è il quadrato di , cioè . .

20. Il metodo di completamento del quadrato Torniamo alla nostra equazione: Aggiungiamo ad entrambi i membri : Scriviamo il primo membro come quadrato e eseguiamo la somma al secondo membro:

21. Il metodo di completamento del quadrato 1 L’equazione ha quindi due soluzioni reali e distinte.

22. La formula risolutiva La fondamentale formula risolutiva dell’equazione di secondo grado racchiude, generalizzandolo, il metodo di completamento del quadrato appena esaminato.

23. La formula risolutiva Si porta il termine noto al secondo membro: si mette in evidenzaal primo membro il coefficiente di : si dividono per esso entrambi i membri: Si completa il binomio al primo membro in modo tale da ottenere il quadrato di un binomio:

24. La formula risolutiva … quadrato di doppio prodotto di per … che cosa? Quindi è il doppio prodotto di per . Il termine mancante, allora, è il quadrato di , cioè . .

25. La formula risolutiva Torniamo alla nostra equazione: Aggiungiamo ad entrambi i membri : Scriviamo il primo membro come quadrato e eseguiamo la somma al secondo membro:

26. La formula risolutiva Il numero di soluzioni dell’equazione: dipende dal segno della quantità: . Tale quantità prende il nome di discriminante dell’equazione di secondo grado e si indica con : .

27. La formula risolutiva Se , allora anche il secondo membro dell’equazione: è positivo; quindi l’equazione ha due soluzioni reali e distinte:

28. La formula risolutiva Se , allora anche il secondo membro dell’equazione: è uguale a 0; quindi l’equazione ha due soluzioni reali e coincidenti:

29. La formula risolutiva Se , allora anche il secondo membro dell’equazione: è negativo; quindi l’equazione non ha nessuna soluzione reale.