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Presentation Transcript

  1. Analyse NumériqueProblèmes Pratiques Résolution d'équations différentielles

  2. Introduction Analyse Numérique

  3. Principes généraux • équation différentielle : • avec t  I = [t0,T] • idée générale : • discrétiser ttn = t0 + nh avec h = (T-t0)/n = pas de la méthode • trouver une suite itérative zn qui approche yn = y(tn) Taylor : schéma d'Euler simple Analyse Numérique

  4. Schémas à un pas 1/ • Forme générique : • (tn,zn) calculé à partir de zn • exemples : on peut partir de la propriété : • calcul de l'intégrale I par : • rectangle gauche I = hf(tn) schéma d'Euler simple • rectangle droit I = hf(tn+1) schéma d'Euler rétrograde(zn+1 n'est plus donné directement, il faut résoudre le système) méthode implicite Analyse Numérique

  5. Schémas à un pas 2/ • calcul de l'intégrale I par : • trapèzes schéma d'Euler centréI = h[f(tn)+hf(tn+1)]/2 • comment éviter les méthodes implicites en gardant les avantages du schéma d'Euler centré ? • on remplace le zn+1 "génant" du Euler centré par son estimation simple : schéma prédicteur/correcteur d'Euler-Cauchy méthode implicite Analyse Numérique

  6. Schémas à un pas 3/ • les schémas de Runge-Kutta • forme génériqueavec (t,z) défini par : • un ordre q • les équations suivantes : • problème = trouver lesmeilleurs i ij i Analyse Numérique

  7. Schémas à un pas 4/ • Runge-Kutta d'ordre 2 • 1=0 2=1 1=11 =1/2 : schéma du point milieu • 1=2=1/2 1=11 =1 : schéma d'Euler-Cauchy Analyse Numérique

  8. Schémas à un pas 4/ • Runge-Kutta d'ordre 4 • il faut alors estimer f sur plusieurs valeurs intermédiaires (souvent coûteux) Analyse Numérique

  9. Schémas multi-pas 1/ • les schémas d'Adams-Bashforth • (tn,zn) calculé à partir de zn zn-1 ... • On repart de la propriété : • calcul de l'intégrale I en remplaçant f par une interpolation polynomiale d'ordre q (avec les points tn à tn-q) Lk = Polynômes de Lagrange Analyse Numérique

  10. Schémas multi-pas 2/ • Adams-Bashforth à 2 pas • pour n  1 • problème : il faut calculer z1 autrement …(avec une méthode à 1 pas comme Runge-Kutta) Analyse Numérique

  11. Schémas multi-pas 3/ • Adams-Bashforth à 3 pas • pour n  2 • Adams-Bashforth à 4 pas • pour n  3 Analyse Numérique

  12. Schémas multi-pas 4/ • les schémas d'Adams-Moulton • calcul de l'intégrale I en remplaçant f par une interpolation polynomiale d'ordre q+1(avec les points tn+1 à tn-q) • méthode implicite : zn+1 va dépendre de f(tn+1,zn+1) (à cause du k=-1) Analyse Numérique

  13. Schémas multi-pas 5/ • Adams-Moulton à 1 pas • pour n  0 (Euler centré) • Adams-Moulton à 2 pas • pour n  1 • … Analyse Numérique

  14. Schémas multi-pas 6/ • Comment éviter le côté implicite de Adams-Moulton ? • on remplace le zn+1 "génant" par son estimation par Adams-Bashford : • Exemple : schéma prédicteur/correcteur d'ordre 4 Analyse Numérique

  15. Sujet de TD Analyse Numérique

  16. Conclusion Analyse Numérique