形式言語とオートマトン 2009 ー第 7 日目ー

形式言語とオートマトン2009ー第7日目ー 東京工科大学コンピュータサイエンス学部亀田弘之

練習問題 • まず練習問題をやってみよう。１０分程度でやってみましょう。提出は不要ですが、試験対策になるので、各自自力で解いてみてください。

問題１．最簡形DNFを求めよ。

解法手順 • 状態遷移表を作ってみる。 • 到達不能状態を除去する。 • 状態遷移表を見て、決定性か非決定性かを確認する。 • （以下、省略）

解答例

MyHill-Nerodeの定理 • 次の３つの命題は同値である。 • 言語　　　　は正規言語である。 • 　　は指数が有限かつ右不変な　上の同値関係　による同値類の和として表わされる。 • 任意の　　　に対して、のとき　　と定義すると、　上の２項関係　は指数が有限な同値関係である。

証明のための準備 • 同値関係 • 関数 • 同値類 • 同値関係の指数

関係 • 集合　　と　　の直積　　　　に対して、その部分集合　　　　　　　を２項関係、あるいは、単に関係という。 • 　　　　　　のとき、　と　は「　の関係にある」といい、　　　と書く。 • R⊆X×X のとき、RはX上の関係と呼ぶ。

同値関係 • 関係Rが以下の条件を満たすとき、Rは特に同値関係と呼ぶ。 • xRx for any x∈R. • xRy 　yRx for any x, y ∈R. • xRy かつyRz　⇒ xRz for any x, y, z ∈R.

同値関係の例 • X=Z（整数全体の集合）とする。このとき、x,y∊Zに対して、x-y が５の倍数　 xRy と書くことにすると、RはZ上の１つの同値であり、しかも同値関係でもある。 • Zは同値関係Rにより、５つの類に分割される。 • 同値関係の指数とは、同値類の個数のことである。従って、今の場合Rの指数は５である。

同値関係Rが右不変 • xRyのとき、xzRyzが成り立つこと。

例 • xRy δ*(q0, x) = δ*(q0, y)のとき、xRy⇒δ*(q0, x) = δ*(q0, y)⇒ δ*(δ*(q0, x),z) = δ*(δ*(q0, y),z) for z∊Σ*⇒ δ*(q0, xz) = δ*(q0, yz)⇒ xzRyz関係Rは右不変

問題 • 関係の例を２つ以上挙げよ。 • 同値関係の例を２つ以上挙げよ。 • modulo n の同値類は全部で何個あるか？ • 内部状態がm個のDFAは、入力文字列を幾つの同値類に分割するか？（この問題の意味は曖昧であることに注意せよ）

おまけ • ポンピングの補題 • 言語LはDFAM により受理されるとする。このときある定整数nが存在して、z∊L, |z| ≧n なるzは、z=uvw, |uv| ≦n, |v|≧1 のように分解され、かつ、uviw ∊ L となる。（この補題は、さまざまな定理の証明に役立つ。）

形式言語とオートマトン 2009 ー第 7 日目ー