Exponentialfunktionen zu unterschiedlichen basen
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Exponentialfunktionen zu unterschiedlichen Basen. Zu Übung 1, WS 2010/2011. Inhalt. Test von Werten auf die Eigenschaft „Wachstumsfunktion“ durch Logarithmieren Zusammenhang zwischen den Ergebnissen bei der Logarithmierung mit unterschiedlichen Basen. Wachstumskurve.

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Presentation Transcript

Inhalt
Inhalt

  • Test von Werten auf die Eigenschaft „Wachstumsfunktion“ durch Logarithmieren

  • Zusammenhang zwischen den Ergebnissen bei der Logarithmierung mit unterschiedlichen Basen


Wachstumskurve
Wachstumskurve

  • Wachstumskurve aus Aufgabe 1


Logarithmus zur basis 10 zur wachstumskurve
Logarithmus zur Basis 10 zur Wachstumskurve

  • Logarithmus zur Basis 10 der Wachstumskurve aus Aufgabe 1


Interpretation der geraden nach dem logarithmieren
Interpretation der Geraden nach dem Logarithmieren

  • Die Geradenach dem Logarithmieren zeigt, dass die Kurve eine Exponentialfunktion der Zeit darstellt

  • Folge: Zu jeder Zeit ist der Zuwachs der Population proportional zur momentanen Anzahl der Individuen

    • Anmerkung. Dieses Wachstumsgesetz gilt auch für Kapital bei konstanter Verzinsung


Ansteige des logarithmus zur basis 10
Ansteige des Logarithmus zur Basis 10

  • Der Logarithmus zur Basis 10 zeigt eine Gerade mit Anstieg Δy / Δx = 1,63/15, also log y = 0,11 ·t

Δy = 1,63

Δx = 15



Wachstumskurve1
Wachstumskurve

  • Bei Wechsel der Basis ändert sich der Faktor vor der Zeit


Relativer zuwachs pro zeit bei basis e
Relativer Zuwachs pro Zeit bei Basis e

  • Der relative Zuwachs Δy / y pro Zeiteinheit wird entweder unmittelbar aus dem Diagramm oder über die Ableitung der Funktion ermittelt


Relativer zuwachs pro zeit bei basis10
Relativer Zuwachs pro Zeit bei Basis10

  • Beachte: Bei einer von e unterschiedlichen Basis enthält die Ableitung y‘ den Faktor ln(Basis), also ln(10) bei Basis 10


Vergleich der ergebnisse zu basis e und basis 10
Vergleich der Ergebnisse zu Basis e und Basis 10

  • Der Zuwachs pro Zeit ist unabhängig von der Basis, deshalb, daraus folgt eine Beziehung zwischen den Faktoren in den Exponenten zu unterschiedlichen Basen:

  • Bei einer von e unterschiedlichen Basis unterscheiden sich Faktoren im Exponenten den Faktor ln(Basis), also ln(10) bei Basis 10


Vergleich der ergebnisse zu basis e und basis 10 im beispiel der aufgabe
Vergleich der Ergebnisse zu Basis e und Basis 10 im Beispiel der Aufgabe

  • Beachte: Bei einer von e unterschiedlichen Basis unterscheiden sich Faktoren im Exponenten den Faktor ln(Basis), also bei Basis 10 um ln(10) =2,30


Zusammenfassung
Zusammenfassung der Aufgabe

  • Folgt nach dem Logarithmieren von Werten eine Gerade, dann folgen sie einer „Wachstumsfunktion“

    • Die Gerade zeigt sich bei beliebiger Basis

  • Folge: Zu jeder Zeit ist der Zuwachs der Population proportional zur momentanen Anzahl der Individuen

  • Der Koeffizient a der Exponentialfunktiony = exp(a·t) zeigt bei Basis e den relativen Zuwachs Δy / y pro Zeiteinheit

    • Bei Basen ungleich e enthält der relative Zuwachs pro Zeiteinheit noch den ln der Basis, z. B. bei y = 10^(a·t) folgtΔy / y=a· ln(10)


Finis
finis der Aufgabe