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Transformaciones. Contenido. Sistemas de coordenadas Transformaciones en 2D Transformaciones en 3 dimensiones Composición de transformaciones Rotación alrededor de un pivot Rotación alrededor de un eje. Agradecimientos:

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
contenido
Contenido
  • Sistemas de coordenadas
  • Transformaciones en 2D
  • Transformaciones en 3 dimensiones
  • Composición de transformaciones
  • Rotación alrededor de un pivot
  • Rotación alrededor de un eje

Agradecimientos:

A Alex García-Alonso por facilitar el material para la realización de estas transparencias (http://www.sc.ehu.es/ccwgamoa/clases)

sistemas de coordenadas
Sistemas de coordenadas
  • Un objeto se representa por polígonos
  • Un polígono es una colección de vértices y aristas
  • Para transformar un objeto se transforman sus vértices
  • Del sistema local al sistema global: transformaciones
transformaciones en 2d
Transformaciones en 2D
  • Traslación
  • Escalado
  • Rotación
  • Deformación
2 dimensiones traslaci n

x´ 1 0 tx x

y´ 0 1 ty y

1 0 0 1 1

2 dimensiones: traslación

x´ = x + tx

y´ = y + ty

2 dimensiones escalado

x´ sx 0 0 x

y´ 0 sy 0 y

1 0 0 1 1

2 dimensiones: escalado

x´ = sx ·x

y´ = sy ·y

2 dimensiones rotaci n
2 dimensiones: rotación

x = r cos 

y = r sen 

x’ = r cos ( + ) == r (cos  cos  – sen  sin ) == x cos  – ysen 

y’ = r sen ( + ) == r ( cos  sen  + sen  cos ) == x sin  + ycos 

P’

y’

r

P

y

x’

x

2 dimensiones rotaci n1

x´ cos β -sin β 0 x

y´ sin β cos β 0 y

1 0 0 1 1

2 dimensiones: rotación
  • Representado matricialmente en coordenadas homogéneas:
2 dimensiones deformaci n shear

x´ 1 hx 0 x

y´ 0 10 y

1 0 0 1 1

2 dimensiones: deformación (shear)
  • Deformación de la coordenada x:

x´ = x + hx ·y

y´ = y

transformaciones en 3 dimensiones

x´ a11 a12 a13 a14 x

y´ a21 a22 a23 a24 y

z´ a31 a32 a33 a34 z

1 0 0 0 1 1

Transformaciones en 3 dimensiones
  • La expresión general de una transformación en tres dimensiones en coordenadas homogéneas es:
matriz de transformaci n m 44
Matriz de transformación M44
  • Describe todas las transformaciones: traslación, escalado, rotación, deformación.
  • La composición de transformaciones se realiza mediante el producto de matrices
  • Se pueden obtener los valores de la transformación a partir de la matriz: desplazamiento, escala y giro.
3d traslaci n

x´ 1 0 0 tx x

y´ 0 1 0 ty y

z´ 0 0 1 tz z

1 0 0 0 1 1

3D: Traslación

x´ = x + tx

y´ = y + ty

z´ = z + tz

3d escalado

x´ sx 0 0 0 x

y´ 0 sy 0 0 y

z´ 0 0 sz 0 z

1 0 0 0 1 1

3D: Escalado

x´ = sx ·x

y´ = sy ·y

z´ = sz ·z

3d matrices de rotaci n

x´ 1 0 0 0 x

y´ 0 cos θ -sin θ 0 y

z´ 0 sin θ cos θ 0 z

1 0 0 0 1 1

x´ cos θ 0 sin θ 0 x

y´ 0 1 0 0 y

z´ -sin θ 0 cos θ 0 z

1 0 0 0 1 1

x´ cos θ -sin θ 0 0 x

y´ sin θ cos θ 0 0 y

z´ 0 0 1 0 z

1 0 0 0 1 1

3D: Matrices de rotación

Rotación en x

Rotación en y

Rotación en z

otras transformaciones

x´ 1 0 a 0 x

y´ 0 1 b 0 y

z´ 0 0 1 0 z

1 0 0 0 1 1

x´ 1 0 0 0 x

y´ 0 1 0 0 y

z´ 0 0 -1 0 z

1 0 0 0 1 1

Otras transformaciones

Oblicua en xy (z invariante)

Reflexión plano xy

composici n de transformaciones
Composición de transformaciones
  • Se pueden aplicar sucesivas transformaciones a un punto.
    • Al resultado de la primera transformación:
      • M1· P
    • se aplica una segunda transformación:
      • M2·[ M1· P] = [M2· M1 ] · P
  • La composición de transformaciones se realiza mediante el producto de matrices
      • M = Mn·Mn-1·… ·M2· M1
estructura jer rquica
Estructura jerárquica
  • Un objeto se sitúa respecto a su sistema de coordenadas.
  • Todo el conjunto se puede situar en un sistema de coordenadas distinto y así sucesivamente.
  • Las coordenadas en el sistema final se obtienen por composición de transformaciones.
rotaci n alrededor de un pivot
Rotación alrededor de un pivot
  • Si el eje de rotación no pasa por el origen, son necesarias las siguientes operaciones
    • Trasladar el punto de rotación Q, al origen
    • Realizar la rotación
    • Deshacer la traslación
  • La composición de transformaciones es:
      • MRQ(θ) = M3· M2· M1
      • MRQ(θ) = MT (qx, qy, qz)·MR (θ)· MT (-qx, -qy, -qz)
  • El escalado se realiza análogamente
rotaci n alrededor de un eje

θ

y

R

r

Q

O

x

z

Rotación alrededor de un eje
  • El eje define por un punto “Q” y un vector unitario “r”. Se realiza una rotación de un ángulo θ.
  • Se resuelve mediante composición de transformaciones
    • Se enuncian las transformaciones
    • Se determina el cálculo de cada una de ellas
    • Se explica como evaluar los ángulos requeridos
rotaci n alrededor de un eje composici n de transformaciones

y

y

y

y

y

y

y

y

R´´

R´´

R

R

r

r

R´´´

R´´´

R’

R’

Q

Q

x

x

x

x

x

x

x

x

Q’

Q’

Q’

Q’

Q’

Q’

z

z

z

z

z

z

z

z

Rotación alrededor de un eje:composición de transformaciones

Posición

inicial

Traslación

QO

Rotación

β en x

Rotación

θ en y

Rotación

 en z

M1

M2

M3

M4

Posición

inicial

Rotación

-β en x

Rotación

-  en z

Traslación

-QO

M7

M6

M5

rotaci n alrededor de un eje relaci n de transformaciones
Rotación alrededor de un eje:relación de transformaciones
  • La matriz de transformación es:
      • M(Q,r) (θ) = M7· M6· M5· M4· M3· M2· M1
      • M1 : traslación QO
      • M2 : rotación  en z
      • M3 : rotación  en x
      • M4 : rotación  en y
      • M5 : rotación - en x
      • M6 : rotación - en z
      • M7 : traslación -QO
rotaci n alrededor de un eje m 1 traslaci n qo

θ

y

R

r

Q

O

y

x

z

R’

x

Q’

z

Rotación alrededor de un eje: M1 - traslación QO
  • Sea R tal que OR = OQ + r
  • La traslación que lleva Q al origen es:
    • M1 = MT (-qx, -qy, -qz)

M1

slide26

rxy

y

α

R´´

R’

x

Q’

z

rotaci n alrededor de un eje m 2 rotaci n en z

rxy

y

α

R´´

R’

x

Q’

z

Rotación alrededor de un eje:M2 - rotación  en z
  • Calcular el ángulo  entre los planos YZ y el plano definido por el eje z y OR’
    • rxy es la proyección ortogonal de r sobre XY
    • R’’ es el resultado del giro alrededor de z
    •  es el ángulo entre rxy y j (vector unitario de y)
    • tener en cuenta el sentido de giro positivo k
  • M2 es la matriz de rotación alrededor del eje z:
    • M2 = MRz ()
rotaci n alrededor de un eje m 3 rotaci n en x

y

β

R´´´

R´´

x

Q’

z

Rotación alrededor de un eje:M3 - rotación β en x
  • Aplicando M2 a R’ se obtiene R’’
    • R’’ está en el plano YZ
    • r’’ lo define OR’’
  • Calcular el ángulo β entre r’’ y j
    • tener en cuenta el sentido de giro positivo i
  • M3 es la matriz de rotación alrededor del eje x:
    • M3 = MRx (β)
rotaci n alrededor de un eje m 4 rotaci n en y

y

R´´´

x

Q’

z

Rotación alrededor de un eje:M4 - rotación θ en y
  • Aplicando M3 a R’’ se obtiene R’’’
    • R’’’ está en el eje y
  • Se realiza el giro θ en el eje y
  • M4 es la matriz de rotación alrededor del eje y:
    • M4 = MRy (θ)
rotaci n alrededor de un eje m 5 m 6 m 7 inversas
Rotación alrededor de un eje:M5, M6, M7 - inversas
  • Una vez calculado el giro θ alrededor del eje transformado, habrá que invertir el proceso de transformación y para ello se calculan las matrices inversas
    • M5 = MRx (-β)
    • M6 = MRz (-)
    • M7 = MT(qx, qy, qz)
  • La matriz de transformación compuesta es:
  • M(Q,r) (θ) = M7· M6· M5· M4· M3· M2· M1
rotaci n alrededor de un eje ngulo

rxy

y

α

R´´

R’

x

Q’

z

y

α

rxy

j

rxy

z

x

α

Rotación alrededor de un eje:ángulo 
  • Cálculo del ángulo 
    • rxy es la proyección ortogonal de r sobre el plano XY: (rx, ry, 0)
    • cos  = j · rxy / | rxy | =

= ( (0, 1, 0) · (rx, ry, 0) ) / (rx2 + ry2 )1/2

    • cos  = ry / (rx2 + ry2 )1/2
    • Como cos  = cos (–) , entonces
      • si rx < 0 entonces el ángulo debe ser (2- ) = - 

 = acos (ry / (rx2 + ry2 )1/2)

y si rx < 0  = - 

rotaci n alrededor de un eje ngulo1

y

β

R´´´

y

R´´

β

r´´

j

r´´

x

Q’

z

x

z

β

Rotación alrededor de un eje:ángulo β
  • Cálculo del ángulo β
    • R’’ y r’’ están en el plano YZ
    • cos β = j · r´´ / | r´´| =

= ( (0, 1, 0) · (0, ry´´, rz´´) ) / (ry´´2 + rz´´2 )1/2

    • cos β = ry´´ / (ry´´2 + rz´´2 )1/2
    • Como cos β = cos (–β) , entonces
      • si rz´´ > 0 entonces el ángulo debe ser (2- β)β = - β

β = acos (ry´´/ (ry´´2 + rz´´2 )1/2)

y si rz´´ > 0 β = - β