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Geometría primitiva y Transformaciones

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Geometría primitiva y Transformaciones. Geometría primitivas. Bloques básicos de construcción los cuales describen las formas tridimensionales . Puntos Líneas planos. (a)  ecuación de la línea 2D 

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geometr a primitivas
Geometría primitivas

Bloques básicos de construcción los cuales describen las formas tridimensionales .

  • Puntos
  • Líneas
  • planos
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(a) ecuación de la línea 2D 

(b) la ecuación plano 3D, expresado en términos de la n normal y la distancia a el origen d.

puntos 2d se puede denotar utilizando un par de valores
Puntos 2D se puede denotar utilizando un par de valores

Notaciones

X1 ,

y1

Puntos 2D también se pueden representar mediante coordenadas homogéneas

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2D lines

Líneas 2D también se puede representar mediante coordenadas homogéneas.

Ecuación de la recta:

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2D cónicas

Hay otras curvas algebraicas que se pueden expresar con el polinomio simple(ecuaciones homogéneas en la intersección de un plano y un cono 3D) se pueden escribir con una ecuación cuadrática.

Ecuaciones cuadráticas juegan un papel útil en el estudio de la geometría de múltiples vistas y calibración de la cámara.

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Puntos 3D.

Punto de coordenadas en tres dimensiones se pueden escribir con las coordenadas no homogéneas x = (x, y, z) ∈R3.

3D Planos.

Se puede representar como coordenadas homogéneas m = (a, b​​, c, d)con una ecuación en el plano correspondiente.

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3D líneas

Una posible representación es utilizar dos puntos en la línea, (p, q). Cualquier otro punto de la línea se puede ser expresa como una combinación lineal de estos dos puntos.

transformaciones
Transformaciones

Una vez definidas las primitivas básicas, ahora podemos dirigir nuestra atención a la forma en que se puede transformar.

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La jerarquía de las transacciones forman un conjunto anidado de grupos que se se cierra bajo composición y tienen un inverso que es un miembro del grupo mismo.

Jerarquía de las transformaciones de coordenadas en 2D. Cada transformación también preserva las propiedades que figuranen las filas por debajo de ella, es decir, la similitud no sólo conserva los ángulos, sino también el paralelismo y las líneas rectas. 

transformaciones 3d
Transformaciones 3D 

El conjunto de transformaciones de tres dimensiones de coordenadas, es muy similar a la disponible para las transformaciones 2D. Al igual que en 2D, estas transformaciones formar un conjunto anidado de grupos.

r otaciones en 3d
Rotaciones en 3D

La mayor diferencia entre 2D y 3D de coordenadas en relación a transformaciones es que la parametrización de la matriz de rotación R 3D no es tan sencillo, pero existen varias posibilidades.

Angulo de Euler

constituyen un conjunto de tres coordenadas angulares que sirven para especificar la orientación de un sistema de referencia de ejes ortogonales, normalmente móvil, respecto a otro sistema de referencia de ejes ortogonales normalmente fijos.

3d con las proyecciones 2d
3D con las proyecciones 2D

Ahora sabemos cómo representar primitivas geométricas en 2D y 3D y cómo transformar que espacialmente, tenemos que especificar cómo primitivas 3D se proyectan en el plano de la imagen. 

Se puede hacer esto utilizando un 3D lineal a la matriz de proyección en 2D. El modelo más simple es la ortografía, que no requiere de la división para obtener el final (no homogénea) resultado. El más comúnmente utilizado modelo es perspectiva, ya que esta mayor precisión modela el comportamiento de las cámaras reales.

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Para una descripción más detallada distorsión  de la óptica de la lente, incluyendo la aberración cromática.) A menos que esta distorsión se toma encuenta, se hace imposible para crear reconstrucciones foto realistas de alta precisión.

 paraejemplo, mosaicos imagen construida sin tomar en cuenta la distorsión radial a menudopresentan la visión borrosa debido a la mal registro de las características correspondientes antes de mezcla de píxeles

d istorsiones de lente
Distorsiones de lente

Distorsiones de lente radiales

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Un modelo simplificado de la formación de imágenes fotométricas. La luz es emitida por una o más fuentes de luzy después se refleja desde la superficie de un objeto. Una parte de esta luz se dirige hacia la cámara. Este simplificadomodelo ignora las reflexiones múltiples, que suelen aparecer en escenas del mundo real.

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Hay una cuestión sutil, asociado con el modelo de distorsión radial simple que es a menudo pasado por alto. Hemos introducido una no linealidad entre la proyección en perspectiva y final sensores pasos de matriz de proyección. Por lo tanto, no podemos, en general, después de multiplicar una arbitraria 3 x 3 matriz K, con una rotación de ponerlo en forma triangular superior y absorber esta en la economía mundial rotación. Sin embargo, esta situación no es tan malo como puede parecer a primera vista. Para muchas aplicaciones, mantenimiento de la forma simplificada diagonal de (2,59) sigue siendo un modelo adecuado. 

Además, si corregir distorsiones radiales y otro con una precisión donde las líneas rectas se conservan, tenemosen esencia convierte la parte posterior del sensor en una cámara lineal y la descomposición anterior todavíase aplica.