Distribusi Normal

1. Distribusi Normal

2. Distribusi Normal (DistribusiGaus) • Distribusi Normal (DistribusiGauss) merupakandistribusiprobabilitas yang paling pentingbaikdalamteorimaupunaplikasistatistik. • Terminology “normal”  karenamemangdistribusiiniadalah yang paling banyakdigunakansebagai model bagi data riildiberbagaibidang : - antara lain karakteristikfisikmahlukhidup (berat, tinggibadanmanusia, hewandll), - kesalahan-kesalahanpengukurandalameksperimenilmiahpengukuran-pengukuranintelejensiadanperilaku, - nilaiskorberbagaipengujiandanberbagaiukurandanindikatorekonomi.

3. Alasan mengapa distribusi normal menjadi penting: • Distribusi normal terjadisecaraalamiah. Sepertidiuraikansebelumnyabanyakperistiwadidunianyata yang terdistribusisecara normal. • Beberapa variable acak yang tidakterdistribusisecara normal dapatdenganmudahditranformasikanmenjadisuatudistribusivariabelacak yang normal. • Banyakhasildanteknikanalisis yang bergunadalampekerjaanstatistikhanyabisaberfungsidenganbenarjika model distribusinyaberupadistribusi normal • Adabeberapavariabelacak yang tidakmenunjukkandistribusi normal padapopulasinyaNamundistribusi rata-rata sampel yang diambilsecara random daripopulasitersebutternyatamenunjukkandistribusi normal.

4. Fungsi Kepadatan Probabilitas Fungsi Distribusi Kumulatif Normal • Sebuahvariabelacakkontinu X dikatakanmemilikidistribusi normal dengan parameter xdanxdengan - < x < danx >0 jikafungsikepadatanprobabilitas(pdf)dari X adalah :

5. Distribusi normal kumulatifdidefinisikansebagaiprobabilitasvariabelacak normal x tertentu. Fungsidistribusikumulatif (cdf – cumulative distribution function) daridistribusi normal inidinyatakansebagai : F(x; x, x) = P(X  x) = • F(x), hanyabisaditentukandariintegrasisecaranumerik, karenapersamaantersebuttidakbisadiintegrasisecaraanalitik.

6. Untuksetiapdistribusipopulasidarisuatuvariabelacak yang mengikutsebuahdistribusi normal, maka • 68,26% darinilai-nilaivariabelberadadalam ± 1 xdarix , • 95,46% darinilai-nilaivariabelberadadalam ± 2 xdarix , • 99,73% darinilai-nilaivariabelberadadalam ± 3 xdarix

7. Gambarhubunganantaraluasandan N(,2)

8. Statistik Deskriptif Normal • Untuksuatudistribusi normal dengannilai-nilai parameter mean xdandeviasi standard xakandiperolehsuatudistribusi yang simetristerhadapnilai mean x, • sehinggakemencengan (skewness) = 0 dandapatditunjukkanbahwakeruncingan (kurtosis) kurvadistribusiadalah 3.

9. 1 2 μ1 = μ2σ1 > σ2 Sifat-SifatDistribusi Normal: 2 1 μ1 < μ2σ1 = σ2 2 1 μ1 <μ2σ1 < σ2 Bentukdistribusi normal ditentukanolehμdanσ.

10. Distribusi Normal Standard • Untukmenghitungprobabilitas P(a X b) darisuatu variable acakkontinuX yang berdistribusi normal dengan parameter danmakafungsikepadatanprobabilitasnyaharusdiintegralkanmulaidari x=asampai x =b. • Namun, tidakadasatupundariteknik-teknikpengintegralanbiasa yang bisadigunakanuntukmenentukan integral tersebut. • Untukitudiperkenalkansebuahfungsikepadatanprobabilitas normal khususdengannilai mean = 0 dandeviasistandart= 1.

11. Variabelacakdaridistribusi normal standard inibiasanyadinotasikandengan Z. Fungsikepadatanprobabilitasdaridistribusi normal standard variabelacakkontinu Z : • Fungsidistribusikumulatif :

12. Menstandardkan distribusi Normal • Distribusi normal variable acak kontinu X dengan nilai-nilai parameter  dan  berapapun dapat diubah menjadi distribusi normal kumulatif standard jika variable acak X diubah menjadi variable acak standard Z menurut hubungan :

13. Jika X distribusi normal dengan mean  dan deviasi standard  maka

14. Z > 0 jika x >  Z < 0 jika x <  Simetri : P(0 ≤ Z ≤ b) = P(-b ≤ Z ≤ 0)

16. Contoh : • Diketahui data berdistribusi normal dengan mean  = 55 dandeviasistandar = 15 a) P(55≤x≤75) = = = P(0≤Z≤1,33) = 0,4082 (TabelZ) Atau TabelZ  A = 0,4082

17. b) P(60≤x≤80) = = P(0,33≤Z≤1,67) = P(0≤Z≤1,67) – P(0≤Z≤0,33) = 0,4525 – 0,1293= 0,3232 Z1 = = 0,33  B = 0,1293 Z2 = = 1,67  A = 0,4525 C = A – B = 0,3232

18. c) P(40≤x≤60)=A+B = = P(-1,00≤Z≤0,33) = P(-1,00≤Z≤0) + P(0≤Z≤0,33) = 0,3412 + 0,1293 = 0,4705 Atau : Z1 = == -1,00  A = 0,3412 Z2 = = 0,33  B = 0,1293

19. d) P(x ≤ 40) = 0,5 – A = 0,5 – 0,3412 = 0,1588

20. P(x ≥ 85) • P(x ≤ 85) = 0,5 + A = 0,5 + 0,4772 = 0,9772

21. Diketahui rata-rata hasilujianadalah 74dengansimpanganbaku 7. Jikanilai-nilaipesertaujianberdistribusinormal dan 12% pesertanilaitertinggimendapatnilai A, berapabatasnilai A yang terendah ? Jawab:

22. Jika 5% peserta terendah mendapat nilai E, berapa batas atas nilai E ?

23. P(≤ x ≤0) = 0,45 P(≤ Z ≤0) = = -1,645  (x<) = . +  = (-1,645)7 + 74 = 62,485