Gry statystyczne 1. Założenia

1. Gry statystyczne 1. Założenia Gry z naturą, zwane również grami statystycznymi, wywodzą się z teorii statystycznych funkcji decyzyjnych stworzonej przez A.Walda w latach pięćdziesiątych. Modele gier statystycznych dotyczą tzw. niepewnych sytuacji decyzyjnych, gdy na skutki decyzji wpływają parametry niepewne, o których nie mamy żadnych informacji na temat ich możliwych zmian. Klasyczny model dwuosobowej gry strategicznej o sumie zero (co jeden przeciwnik wygrał, to drugi przegrał) zostaí przez A.Walda rozszerzony na przypadek nieskończonej liczby strategii obu graczy. O naturze powiedziano, że — z definicji — nie jest zainteresowana rozgrywaną grą. Ponadto człowiekowi prowadzącemu grę z naturą zapewniono dodatkową informację o strategiach natury: „Ponieważ natura nie zmienia przez dłuższy czas tego losowego mechanizmu, według którego realizują się stany natury, statystyk może zdobyć pewne informacje o tym losowym mechanizmie, tzn. o rozkładzie prawdopodobieństw stanów natury". W odróżnieniu od gry o sumie zero, gry z naturą rozgrywane są przy założeniu pasywnej postawy drugiego gracza. Założenie o pasywnej postawie drugiego gracza wymusza na nas zmianę reguł wyboru decyzji.

2. 2. Reguła maxmin (Walda) Decyzje opierają się na regule analogicznej do reguły von Neumanna. Podejmujemy taką decyzję, przy której minimalna wygrana (ze względu na stan natury) dla decyzji wybranej przyjmie wartość największą, tzn. szukamy takiego Ai, dla którego: Można powiedzieć, że jest to reguła asekurancka (wybór wartości najmniejszej — najmniejsza zapewniona wygrana), reguła gracza ostrożnego, ale inteligentnego (stąd poszukiwanie maksimum). 3. Reguła Laplas’a (Bayes’a) Reguła Laplace'a (Beyes’a) to reguła oparta na założeniu, że wszystkie przyszłe stany natury są jednakowo prawdopodobne (dla reguły Beyes’a są znane prawdopodobieństwa pj stanów natury) i w związku z tym możliwe jest wyliczenie wartości oczekiwanej rezultatów każdej decyzji. Najlepsza będzie decyzja, dla której oczekiwana wygrana jest największa. Można to zapisać w następujący sposób: znajdź takie Ai, dla którego:

3. 4. Kryterium Hurwicza Kryterium Hurwicza łączy chęć zapewnienia sobie wygranej na możliwie wysokim poziomie z pewną skłonnością do podejmowania ryzyka. Reguła Hurwicza polega na wyznaczeniu wielkości d, ze wzoru: gdzie , , goznacza współczynnik skłonności do ryzyka i przyjmuje wartości z przedziału [0, 1]. Decyzja optymalna w sensie kryterium Hurwicza określona zostanie przez wartość maksymalną wielkości di. 5. Kryterium Savage’a Wyznaczenia decyzji na podstawie reguły Savage'a dokonuje się w dwóch etapach. W pierwszym tworzymy macierz nazywaną „macierzą żalu". Macierz ta zdefiniowana jest w następujący sposób: Następnie w tak określonej macierzy dla każdego wiersza poszukuje się elementu maksymalnego, a następnie wiersza, w którym wartość ta jest najmniejsza, tzn.: Regułę tę można wyjaśnić w następujący sposób: dla każdego ze stanów natury z osobna, a następnie dla każdej możliwej decyzji wyznaczamy wielkość utraconych korzyści, które moglibyśmy osiągnąć (w stosunku do decyzji najlepszej przy danym stanie natury). Następnie postępujemy zgodnie z regułą von Neumanna, uwzględniając, że mamy do czynienia z wielkościami niepożądanymi, czyli wśród różnic w wierszu i wybieramy największą, a potem spośród nich najmniejszą. Wybrana wartość wskaże nam decyzję optymalną w sensie kryterium Savage'a.

4. Przykład. Bank może kupić na sumę b akcji Аi firmy z cenami ai (i=1,2,3). Na koniec roku rynek papier wartościowych może być w jednym z trzech możliwych stanów R1, R2 lub R3. Eksperci ustalili, że dywidendy z jednej akcji z cenami ai (i=1,2,3) firmy dla stanu rynku Rj na koniec roku mają wartości dij % od ceny. 1) zapisać zadanie w postaci gry, zbadać typ gry i gracze. Dla gracze wskazać możliwe strategii; 2) zapisać macierz płac; 3) zrobić rekomendacji dla banku w sprawie zakupu akcji i otrzymania największego zysku dla następujących przypuszczeń: a) są znane prawdopodobieństwa р1, р2, p3 stanów rynku R1,R2 i R3 na koniec roku; b) prawdopodobieństwa р1, p2 i р3 stanów rynku R1, R2 i R3 na koniec roku są nieznane. b=14 a1=6 a2=4 a3=4 p1=0,4 p2=0,35 g=0,6 d11=7 d12=14 d13=3 d21=8 d22=10 d23=0 d31=12 d32=5 d33=11. Rozwiązanie. 1) Jednym z uczestników rozpatrywanej w zadaniu sytuacji jest bank, który kupuje akcji firmy dla osiągnięcia największego zysku. Jeżeli przekształcić zadanie do postaci gry, wtedy bank występuje jako pierwszy gracz i dąży do maksymalizacji zysku od akcji firmy. Drugim uczestnikiem (drugim graczem) będzie rynek, gdzie w ogólnym przypadku losowo zmieniają się ceny na akcji. Rynek można traktować jako „naturę”, która losowo realizuje swoi stany. Drugi gracz jest obojętny do wygranej pierwszego gracza. Podobna sytuacja jest charakterystyczna dla gry statystycznej. Kupując akcji na sumę b, bank może kupić akcji w różnych cenach. Możliwe następujące kombinacji kupowania akcji: Z tabeli wynika, że u pierwszego gracza istnieje 3 czyste strategii: 1-a: kupić 1 akcją z ceną a1, 1 – z ceną a2 i 1- z ceną a3; 2-a: kupić 1 akcją z ceną a1, 2 – z ceną a2; 3-a: kupić 1 akcją z ceną a1, 2 – z ceną a3; U drugiego gracza (natury) możliwe trzy strategii R1, R2i R3. 2) zapiszemy macierz płac. Dla tego obliczymy zysk banku na koniec roku. Macierz płac ma postać:

5. Otrzymujemy macierz 3 х 3, która jest macierzą płac: Dla rozwiązania gry obliczymy dolną a=1,06 i górną b=1,06 czystą ceną gry. Ponieważ a=b, gra ma punkt siodłowy i dla tego ma rozwiązanie w czystych strategiach. To oznacza, że bank otrzyma optymalny zysk a=1,06, jeśli kupi 1 akcje z ceną a1 i 2 akcje z ceną a3 i stan rynku będzie R3. Kryterium Walda Obliczamy optymalną będzie strategia A3: kupić 1 akcją z ceną a1, 2 – z ceną a3

6. Kryterium Laplace'a Prawdopodobieństwa stanów rynka są takie samy i równe 1/3. Obliczamy optymalną będzie strategia A3 Kryterium Beyes’a optymalną będzie strategia A3 Kryterium Hurwicza optymalną będzie strategia A3 Kryterium Savage'a Obliczymy “macierz żalu” optymalną będzie strategia A3