Ecuaciones de Ebers y Moll

1. Ecuaciones de Ebers y Moll

2. En los años cincuenta del siglo pasado, tras la invención del transistor por Bardeen, Brattain y Shockley, Ebers y Moll desarrollaron un modelo de funcionamiento del transistor que considera a éste como un par de uniones p-n, a modo de 2 diodos que interaccionan entre si. Jewell James Ebers John Louis Moll Modelo de par de diodos de Ebers y Moll A partir de este modelo se han ido deduciendo una serie de expresiones matemáticas que relacionan de una manera no lineal (exponencial) las diferentes corrientes y tensiones que se generan en el transistor.

3. Si consideramos la unión PN formada por el diodo Base – Emisor del modelo matemático de Ebers y Moll, y lo polarizamos directamente mediante una fuente de tensión VBE , se generan en el modelo una serie de corrientes que están relacionadas entre sí por medio de las siguientes expresiones exponenciales: VBE VT IC = αF IES e - 1 + VBE VT IE = IES e - 1 VBE _ En donde αFes la ganancia de corriente en polarización directa en configuración de Base Común y su valor se encuentra entre 0,95 y 1. IC αF = IE VT es el voltaje térmico que a temperatura ambiente es igual a 0,025 voltios.

4. IES es la corriente de saturación inversa del diodo Base – Emisor y se puede calcular mediante la siguiente relación: IS IES = αF IS es la corriente de saturación del transistor y toma valores de entre 10-18 y 10-9 Amperios. Podemos ver su valor en las propiedades del modelo del transistor en el simulador. Para ello haremos doble click sobre el símbolo del transistor y en «EditModel» de propiedades obtenemos IS= 1,875 x 10-15 Amperiospara el 2N2222.

5. Si ahora consideramos la unión PN formada por el diodo Base – Colector del modelo matemático de Ebers y Moll, y lo polarizamos directamente mediante otra fuente de tensión VBC , se generan en el modelo otras corrientes que están relacionadas entre sí por medio de las siguientes expresiones exponenciales: VBC VT IC = - ICS e - 1 _ VBC + VBC VT IE =-αR ICS e - 1 En donde αRes la ganancia de corriente en polarización inversa en configuración de Base Común y su valor se encuentra entre 0 y 0,95. ICSes la corriente de saturación inversa del diodo Base – Colector y se puede calcular mediante la siguiente relación: IS ICS = αR

6. Si unimos todas estas expresiones, obtenemos las ecuaciones de Ebers y Moll: VBE VT VBC VT IC = αF IES e - 1 - ICS e - 1 VBC VT VBE VT IE = IES e - 1 -αR ICS e - 1

7. A continuación se indican algunas propiedades de las potencias: - La potencia 0 de un número «a» es 1: a0= 1 - La potencia 1 de un número «a» es el propio número: a1= a - La potencia 2 de un número «a» es 2 veces el producto del número por si mismo: a2= a x a - La potencia n de un número «a» es n veces el producto del número por sí mismo: an= a x a x a x a x a x a ....... n veces. - La potencia negativa de un número «a» es igual al inverso del número (1/a) con la misma potencia pero en positivo: a-1= 1/a Por ejemplo, 10 -1 = 1/10 = 0,1 ;esto es, un número entre 0 y 1.

8. Y algunas propiedades de las funciones exponenciales: El número exponencial e es un número irracional de valor 2,718281828. Surgió en el siglo XVII con el desarrollo de los logaritmos, gracias al trabajo de investigación del matemático escocés John Napier (1550-1617). Es la base de los logaritmos neperianos; así que si ln (x) = y , o loge(x) = y , o el logaritmo en base e de x es = y , entonces ey = x. Por ejemplo: Si ln (2) = 0,693147 ; entonces e0,693147= 2 Más tarde fue el matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) quien se interesó por dicho número, tomando su nombre de la letra inicial de la palabra «exponencial» y demostrando en 1737 su irracionalidad debido a sus infinitos decimales.

9. Representación gráfica de algunas funciones exponenciales:

10. Representación gráfica de algunas funciones exponenciales relacionadas con las ecuaciones de Ebers y Moll:

11. Las ecuaciones de Ebers y Moll se pueden simplificar quitando las unidades, ya que el términode mayor valor , e , es muchísimo mayor que 1. Lo vemos si damos valores a VBE (0,7 v) y a VT (0,025 v), entonces e es igual a e 28 Con VBC y VT ocurre igual. Así que las ecuaciones quedarían de la siguiente forma: VBE VT VBE VT VBE VT VBC VT IC = αF IES e - ICS e VBC VT VBE VT IE = IES e -αR ICS e

12. Por otro lado, cuando un transistor NPN está polarizado de forma directa tanto en la unión Base – Emisor como en la unión Base – Colector, el dispositivo estará operando en la región de saturación; esto es, como un interruptor cerrado. Entonces, VCE – VBE + VBC = 0 VCE VCE IE IC IE IC E E C C VBE VBE VCB VBC B B _ _ _ + IB IB _ + + + B-E en polarización directa B-C en polarización directa (VBC) B-E en polarización directa B-C en polarización inversa (VCB) Sin embargo, cuando un transistor NPN está polarizado de forma directa en la unión Base – Emisor, pero de forma inversa en la unión Base – Colector, el dispositivo estará operando en la región activa directa o normal; esto es, como un amplificador. Entonces, VCE – VBE – VCB = 0

13. Transistor NPN con unión B – E y unión B – C polarizadas directamente. Dispositivo en saturación (como interruptor cerrado). VCE– VBE + VBC = 0 Transistor NPN con unión B – E polarizada directamente y unión B – C polarizada inversamente. Dispositivo en región activa (como amplificador). VCE– VBE– VCB = 0 _ vCB _ + + + + _ _ + + + + + + _ _ _ _ _ _ El signo + indica dónde hay más tensión y el signo – indica dónde es menor la tensión. Las flechas únicamente indican la dirección de menor a mayor tensión.

14. En el primer caso se aprecia directamente que VBC = VBE – VCE . En el segundo caso, al ser – vCB=vBE – vCEy como vBC=-vCB, también podemos sustituir vBC por (vBE – vCE)en las ecuaciones de Ebers y Moll. VBE VT VBC VT IC = αF IES e - ICS e C C _ + VBC VCB =- VBC _ + VBC VT VBE VT IE = IES e -αR ICS e B B Polarización directa de la unión B – C. Polarización inversa de la unión C – B. VBE VT VBE - VCE VT IC = αF IES e - ICS e VBE - VCE VT VBE VT IE = IES e -αR ICS e

15. Otra propiedad de las potencias: La suma de 2 exponentes de una potencia es igual al producto de 2 potencias con su misma base y con los 2 exponentes diferentes: an+m = anx am Así que las ecuaciones de Ebers y Moll se pueden transformar en: VBE VT - VCE VT VBE VT VBE VT VBE - VCE VT IC = αF IES e - ICS e e IC = αF IES e - ICS e VBE VT VBE VT - VCE VT VBE - VCE VT VBE VT IE = IES e -αR ICS e e IE = IES e -αR ICS e

16. Ahora podemos sacar factor común en ambas ecuaciones: VBE VT - VCE VT VBE VT - VCE VT VBE VT IC = αF IES e - ICS e e IC = αF IES- ICS e e VBE VT VBE VT VBE VT - VCE VT - VCE VT IE = IES e -αR ICS e e IE = IES-αR ICS e e

17. Además, IE = IC + IB; por lo que IB = IE – IC C - VCE VT VBE VT IC = αF IES- ICS e e IB IC VBE VT B - VCE VT IE = IES-αR ICS e e IE E VBE VT - VCE VT VBE VT - VCE VT αF IES- ICS e e IB = IES-αR ICS e e _

18. Volvemos a sacar factor común ... VBE VT - VCE VT VBE VT - VCE VT αF IES- ICS e e IB = IES-αR ICS e e _ - VCE VT VBE VT - VCE VT αF IES+ICS e e IB = IES-αR ICS e _ ... y reordenamos términos: - VCE VT VBE VT - VCE VT + ICS e -αR ICS e e IB = IES-αFIES

19. De nuevo sacamos factor común: - VCE VT VBE VT - VCE VT + ICS e -αR ICS e e IB = IES-αFIES VBE VT - VCE VT + ICS 1 -αR e e IB = IES 1 -αF

20. IS IS ICS = IES = Ya explicamos que y que Por lo que: αR αF VBE VT - VCE VT + ICS 1 -αR e e IB = IES 1 -αF VBE VT IS IS - VCE VT + 1 -αR e e IB = 1 -αF αF αR

21. En este punto introduciremos otros 2 parámetros más: - βFes la ganancia de corriente directa (o normal) en la configuración de Emisor Común. Su valor está entre 20 y 500 y se corresponde con el parámetro hFE de las hojas de características técnicas del transistor. βF está relacionada con el parámetro αFcomo: de donde αF 1 1 – αF = βF = αF 1 – αF βF

22. - βRes la ganancia de corriente inversa en la configuración de Emisor Común. Su valor está entre 0 y 20 y se relaciona con el parámetro αR como: αR 1 1 – αR de donde = βR = 1 – αR αR βR Así que: VBE VT IS IS - VCE VT + 1 -αR e e IB = 1 -αF αF αR VBE VT - VCE VT IS IS + e e IB = βF βR

23. Parámetros α y β y sus relaciones: βR αR αR= βR = 1 – αR βR + 1 0.01 0,1 0,5 0,952 0,953 0,99 0,995 0,998 0,0101 0,099 1 19,83 20,27 99 200 499 βR (0 – 20) αR (0 – 0,95) αF βF (20 – 500) (0,95 – 1) αF βF βF = αF= βF + 1 1 – αF

24. Si tomamos el NPN 2N2222, IS= 1,875 x 10-15 A , βR = 0,0101, αR= 0,01 , VT = 0,025 v y si además , a VCEle damos el valor de 5 voltios p.e, el término de la ecuación - 5 0,025 - VCE VT IS e será igual a 0 ; pues e = e -200 = 1,383 x 10 -87 βR Por lo que VBE VT - VCE VT IS IS IB (A) + e e IB = βF βR VBE VT IS e IB = βF Ecuación con la que podemos representar las curvas de entrada de un transistor, tomando como valor de βF , 75. VBE (v)

25. Si ahora consideramos ICe IBy dividimos ambos términos: - VCE VT VBE VT αF IES- ICS e e IC = IB VBE VT - VCE VT IES 1 -αF + ICS 1 -αR e e podemos anular los términos tachados: - VCE VT αF IES- ICS e IC = IB - VCE VT IES 1 -αF + ICS 1 -αR e

26. IS IS ICS = IES = Si volvemos a las igualdades podemos decir que αF IES = IS = αRICS y que αR αF αF IES ICS = αR

27. Ahora dejamos términos en función de αF IES: - VCE VT αF IES- ICS e IC = IB - VCE VT IES 1 -αF + ICS 1 -αR e - VCE VT αF IES αF IES- e αR IC = IB αF IES - VCE VT IES-IESαF + 1 -αR e αR

28. 1 1 – αR A continuación sacaremos factor común y sustituiremos por αR βR - VCE VT αF IES αF IES- e αR IC = IB αF IES - VCE VT IES-IESαF + 1 -αR e αR - VCE VT 1 αF IES 1 - e αR IC = IB αF - VCE VT IES 1 -αF + e βR

29. αF Introducimos el parámetro βF mediante la expresión de donde βF = 1 – αF αF 1 – αF = βF - VCE VT - VCE VT 1 1 αF 1 - e αF 1 - e αR IC αR IC = = IB αF αF - VCE VT IB αF - VCE VT + e 1 -αF + e βR βF βR

30. Si sacamos factor común en el denominador nos queda: - VCE VT - VCE VT 1 1 αF 1 - e αF 1 - e αR αR IC IC = = IB αF αF IB - VCE VT + e - VCE VT e 1 βR βF αF + βF βR βF Anulamos términos y multiplicamos el denominador por 1, o lo que es lo mismo, por βF - VCE VT - VCE VT 1 1 1 - e 1 - e αR αR IC IC = = IB IB - VCE VT - VCE VT e e βF 1 1 + + βF βF βR βF βR

31. Operamos: - VCE VT - VCE VT 1 1 1 - e 1 - e αR αR IC IC = = IB IB - VCE VT - VCE VT e e βF βF βF 1 1 + + βF βF βF βR βF βR Quedando finalmente: - VCE VT - VCE VT 1 1 1 - e 1 - e αR αR IC IC IB = = βF IB - VCE VT - VCE VT e βF βF βF 1 e + + 1 βF βF βR βR

32. - VCE VT 1 Con esta ecuación podemos representar las curvas de salida de un transistor. Elegimos el NPN 2N2222, con una βF de 75 ydamos los siguientes valores de βR 0,0101, αR 0,01 , VT0,025 v y a IB 6 valores desde 0,01 mA a 0,06 mA, por ejemplo. 1 - e αR IC IB = βF - VCE VT βF e + 1 βR IC (A) - VCE 0,025 IB = 0,06 mA 1 1 - e IB = 0,05 mA 0,01 IC IB = 75 IB = 0,04 mA IB = 0,03 mA - VCE 0,025 75 IB = 0,02 mA e + 1 0,0101 IB = 0,01 mA VCE (v)

33. Fijarse en que a partir de un valor relativamente bajo de VCE (0,4 v) las curvas se convierten en rectas totalmente horizontales. Pero si consultamos las hojas de características técnicas del 2N2222, esto no es del todo así. Se puede observar que la parte más horizontal de las gráficas tienen cierta pendiente. A esta pendiente se le denomina efecto «Early» y lo podemos incluir en la ecuación añadiendo el siguiente factor: VCE 1 + VA 2N2222 - VCE VT 1 1 - e αR VCE IC IB = βF 1 + VA - VCE VT βF e + 1 βR En donde VA es el voltaje de Early, voltaje negativo de VCE hacia el que tienden las partes «horizontales» de las curvas.

34. Se puede determinar el voltaje de Early (VA) consultando las propiedades del dispositivo en el simulador. En este caso, 10 voltios

35. Por último, añadiendo el factor Early a la ecuación podemos observar las pendientes de las porciones «horizontales» de las curvas de salida. - VCE 0,025 1 1 - e 0,01 VCE IC IB = 75 1 + 10 - VCE 0,025 75 e + 1 0,0101 IB = 0,06 mA IC (A) IB = 0,05 mA IB = 0,04 mA IB = 0,03 mA IB = 0,02 mA IB = 0,01 mA VA = 10 v VCE (v)