Raisonnement, oral et algorithmique en analyse

1. Réunions Inter académiques De Bordeaux 2009 Raisonnement, oral et algorithmique en analyse Comment une activité algorithmique peut contribuer à développer le raisonnement et l’argumentation orale des élèves dans le domaine de l’analyse ?

2. Réunions Inter académiques De Bordeaux 2009 Exemple de situation de classe : Harry Potter Ensorceler un nombre, c’est calculer la somme de l’opposé de son inverse et de 1. Pour gagner le tournoi des trois sorciers, Harry POTTER doit résoudre l’énigme suivante : « qu’advient-il d’un nombre que l’on ensorcelle 999 fois de suite ? »

3. Réunions Inter académiques De Bordeaux 2009 Scénario de classe, en seconde • Première séance, en module • Les élèves sont répartis par groupes. • Conception par groupe d’ une liste d’instructions permettant d’ensorceler le nombre 999 fois de suite. • Mise en commun des différentes productions. • Programmation sur calculatrice. • Conjecture. • Deuxième séance, en module ou en classe entière • Étude graphiqueet mise en commun des divers procédés de « report » et d’éventuelles observations. • Débat de classe autour d’idées de preuve. • Devoir en temps libre • Démonstration de la conjecture.

4. Réunions Inter académiques De Bordeaux 2009 Quelques éléments de réflexion sur le thème de l'algorithmique d'après un article de J.B Lagrange

5. Réunions Inter académiques De Bordeaux 2009 Beaucoup de progressions s'adressant à des débutants en algorithmique sont basées sur l'hypothèse selon laquelle les premiers traitements peuvent être enseignés indépendamment du type des objets sur lesquels ils portent, et sans que la question de la codification des données se pose. Cette hypothèse conduit à ce que, dans les premiers problèmes, les objets sont tous « déjà codifiés » sous la forme d'entités numériques. Dans les problèmes directs, l'élève a en fait à établir une «formule» algébrique associant des données numériques et à la traduire dans le langage de programmation.

6. Réunions Inter académiques De Bordeaux 2009 L'absence de représentations mentales adéquates du dispositif « ordinateur + langage de programmation » est le principal handicap du sujet débutant face à une tâche de programmation. • Le raisonnement, au niveau général d'un problème, implique la plupart du temps une organisation de la solution en modules qui doivent pouvoir être développés séparément sans remettre en cause le schéma d'ensemble. • Ceci implique que l'élève doit impérativement disposer de représentations articulant : • des capacités d'ensemble du dispositif ; • des traitements particuliers.

7. Réunions Inter académiques De Bordeaux 2009 • Un enjeu essentiel de l'enseignement à des débutants est donc d'aider à ce que leurs représentations, en s'adaptant aux contraintes de la programmation, évoluent, se diversifient, se coordonnent. • Pour cela il lui est nécessaire : • qu'il rencontre les limites de ses représentations spontanées; • qu'il soit confronté à des problèmes de programmation qui lui permette «d'évoquer » des schémas de solutions à partir de Systèmes de Représentation et de Traitement qu'il a construits pour des situations connues ou familières.

8. Réunions Inter académiques De Bordeaux 2009 D'après J.M Hoc, on peut mettre en évidence trois étapes dans l'analyse d'un problème en vue de sa programmation sur ordinateur : “We have interpreted them as steps- in the interiorization of the device language, which lead the subject from a word-by-word translation of procedures, in S.R.T.s foreign to this language, toward a possibility of calculating in an S.R.T. which is an accurate reflection of that language”.

9. Réunions Inter académiques De Bordeaux 2009 Première étape Élaboration d'un S.R.T. minimal dans lequel il se représente l'algorithme en lui-même. Dans chaque problème, il associe très souvent l'algorithme qu'il doit élaborer à des situations particulières et à des modes de traitements qu'il a déjà rencontrés. Ce S.R.T, bien que pouvant modéliser correctement l'algorithme, peut conduire à des programmes erronés. Cela est dû au fait que le langage utilisé n'est pas encore correctement intériorisé et que le sujet en effectue une traduction mot à mot.

10. Réunions Inter académiques De Bordeaux 2009 Deuxième étape L'intériorisation du langage n'est pas encore complète. Il n'existe pas encore d'organisation verticale de l'algorithme. La représentation du problème s'effectue selon des bribes de procédés juxtaposés les uns à côté des autres. Durant cette étape, le sujet est capable d'écrire l'algorithme dans un langage dans la mesure où il peut interroger, et donc ajuster, chaque action élémentaire par ses propres représentations. Cependant, il perd alors la vision d'ensemble qu'il a de l'algorithme.

11. Réunions Inter académiques De Bordeaux 2009 Troisième étape • Le sujet intériorise correctement le langage utilisé. • Les actions élémentaires et la syntaxe sont intériorisées, ainsi que les procédures les plus souvent utilisées, ce qui permet au sujet : • de se construire une représentation globale de l'algorithme dans le langage utilisé; • d’optimiser sa représentation des données. • Cette vue d'ensemble a pour conséquence que l'utilisateur se concentre immédiatement sur les parties difficiles à “algorithmiser”.

12. Réunions Inter académiques De Bordeaux 2009 Quelques exemples illustrant ces éléments de réflexion …

13. Réunions Inter académiques De Bordeaux 2009 Exemple d’échanges oraux dans un groupe d’élèves échanges oraux qui débouchent sur la production écrite suivante …

14. Réunions Inter académiques De Bordeaux 2009 Éléments d’identification d’un SRT

15. Réunions Inter académiques De Bordeaux 2009 Exemple d’échanges oraux dans un groupe d’élèves échanges oraux qui débouchent sur la production écrite suivante …

16. Réunions Inter académiques De Bordeaux 2009 Débat de classe autour de la représentation graphique Potter.ggb

17. Réunions Inter académiques De Bordeaux 2009 Débat de classe autour de la recherche de preuves

18. Réunions Inter académiques De Bordeaux 2009 Échanges oraux dans la classe autour de la recherche de preuves « On fait f de x , trois fois » « Non, c’est f de x , de f de x , de f de x » « Donc c’est pas trois fois mais au cube » « Non, c’est au fur et à mesure …» « Comment on écrit quand on refait f ? » On se met finalement d’accord ce sur les calculs à conduire …

19. Réunions Inter académiques De Bordeaux 2009 Mise en activité quasi immédiate de tous les élèves sur une situation motivante ( élaboration d’un algorithme dans le cadre de la résolution d’un problème présenté sous forme ludique) Grande richesse des échanges oraux dans la classe Différenciation possible du travail , les synthèses étant communes Un travail riche et gradué sur des points forts du programme à partir d’une situation permettant de donner du sens à la notion de fonction ( changements de cadres) et de participer à la maîtrise du calcul algébrique Sans oublier le développement des capacités stipulées dans le programme de seconde … Avantages de cette activité

20. Réunions Inter académiques De Bordeaux 2009 L’objectif (général) de ce programme est de former les élèves à la démarche scientifique sous toutes ses formes pour les rendre capables de : • modéliser et s’engager dans une activité de recherche ; • conduire un raisonnement, une démonstration ; • pratiquer une activité expérimentale ou algorithmique ; • faire une analyse critique d’un résultat, d’une démarche; • pratiquer une lecture active de l’information (critique, traitement), en privilégiant les changements de registre (graphique,numérique, algébrique, géométrique) ; • utiliser les outils logiciels (ordinateur ou calculatrice) adaptés à la résolution d’un problème ; • communiquer à l’écrit et à l’oral.

21. Réunions Inter académiques De Bordeaux 2009 Et maintenant … à vous de créer une activité algorithmique et de réfléchir à un scénario de classe qui contribuent au développement du raisonnement et de l’argumentation orale des élèves dans le domaine de l’analyse ! Atelier.doc