유클리드의 처음 5 공리

1. 유클리드의 처음 5공리 • 임의의 점에서 또 다른 임의의 점까지 단 한 개의 직선을 그을 수 있다. • 유한한 직선은 한 쪽으로 무한히 연장할 수 있다. • 임의의 점을 중심으로 하고, 임의의 길이를 반지름으로 하는 원을 그릴 수 있다. • 모든 직각은 서로 같다.

2. 평행선공리 • 한 직선이 두 직선과 만나서 같은 쪽에 있는 내각의 합이 두 직각보다 작을 때, 두 직선을 한없이 연장하면 내각의 합이 두 직각보다 작은 쪽에서 두 직선은 만난다. 과학사에 있어서 가장 유명한 단 하나의 발언( 케이저Cassius J, Keyser)

3. 사케리(GirolamoSaccheri, 1667-1733) 그는 AC= BD이고 점 A와 점 B에서 각이 직각인 사변형 ABDC에서, 점 C와 점 D에서의 각이 같음을 알 수 있다. 이 두 각은 모두 직각이거나, 모두 둔각이거나 아니면, 모두 예각일 것이다. 사케리는 이 세 가지 가능한 경우를 각각 “직각의 전제”, “둔각의 전제”, 그리고 “예각의 전제” 등으로 이름지었다.

4. 평행선 공리 직선 밖의 주어진 점을 통과하면서, 그 직선과 평행한 선은 꼭 하나 존재한다(플레이페어(John Playfair, 1748-1819)의 공리) ( 하나도 없거나 또는 둘 이상 존재한다)

5. 칸트 공간은 인간의 마음에 직관적으로 이미 존재하는 체제이고, 유클리드 기하학의 공준들은 인간 마음에 부과된 선험적 판단이며, 그리고 이 공준들 없이는 공간에 대한 모순이 없는 어떠한 추론도 불가능하다.

6. 로바쳅스키 직선 밖의 한 점을 지나면서, 그 직선과 만나지 않는 직선을 무수히 그을 수 있다

7. 리만 • “하나도 없거나”에 해당하는 리만 기하학을 완성. • 아인슈타인은 그의 일반상대성이론의 연구에서 물리적인 공간을 묘사하기 위해서 비유클리드 기하학을 적용해야만 한다는 사실을 발견했다. 그 기하학은 바로 리만 기하학이었다. • 리만 공간의 특징은 중력장이 강한 곳일수록 뚜렷이 나타난다.

8. 시간과 공간 뉴턴 : 시간과 공간은 외부의 어떠한 것과도 무관하며 서로 독립적으로 존재하는 개념 아인슈타인의 특수상대성 이론 : 시간·공간의 절대성을 부정하고, 시공의 상대성을 적극적으로 밝힘. 시간과 공간은 서로 깊은 관련을 맺고 있는 상대적인 개념.

9. 시공간 종래의 3차원적 공간 대신 시간을 또 하나의 좌표로 포함한 4차원의 공간을 시공간이라고 부른다. 상대성이론에서 복소수가 유용하게 사용되는데, 공간 삼차원은 실수로서 간주되고 시간 차원은 허수로서 간주된다.

10. 일반상대성이론 우주는 비유클리드 기하학인 리만기하학에 의해서만 분석 가능한 휜 공간

11. 득점의 문제 똑 같은 정도의 기술을 가진 두 경기자 A와 B가 시합을 하고 있다. 시합을 하던 중에 어쩔 수 없는 상황으로 경기가 중단되었다. A가 승리하기 위해서는 2득점이 더 필요하고, B가 승리하기 위해서는 3득점이 더 필요하다. 이 경우에 A와 B는 판돈을 어떻게 분배하면 적절한가?

12. 페르마의 방법 aaaa aaab abba bbab baaa bbaa abab babb abaa baba aabb abbb aaba baab bbba bbbb a가 두 번 이상 나타나는 경우는 열한 번 나타난다. 또 b가 세 번 나타나는 경우는 다섯 번 나타난다. 따라서 판돈은 11: 5의 비율로 분배하면 된다고 주장.

13. 파스칼의 방법 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 A와 B의 각각의 승리 가능성의 비는 [C(4, 4) + C(4, 3) + C(4, 2)] : [C(4, 1) + C(4, 0)] = (1+4+6) : (4+1) = 11 : 5 여기서, C(4, 3)은 세 개의 a를 얻은 경우의 수

14. 확률론 순수한 우연이 가지는 표면상의 불규칙성과는 다르게, 본질적으로 내재하는 질서와 규칙성을 찾아내어 이를 표현하려고 노력하는 과정에서 확률론이라는 새로운 수학의 분야가 탄생한다.

15. 불확정성원리 전자의 위치와 운동량은 같은 시간에 완전히 정확하게 측정할 수 없는 양이며, 시간과 에너지도 마찬가지로 동시에 정확하게 측정할 수 없는 물리량이다. 이 원리에 의하면 원자의 세계에서는 확률만이 통용된다. 양자론은 기본적으로 복소수라고 하는 수를 사용하며, 뉴턴이나 아인슈타인의 이론처럼 결과를 정확히 예언할 수는 없다. 다만 확률로서만 말할 수 있다.

16. 양자론 1920년대에 어윈 슈뢰딩거(Erwin Schrodinger, 1887-1961)와 베르너 하이젠베르크(Werner Heisenberg, 1901-1976)가 원자나 소립자와 같은 대단히 작은 계의 움직임을 설명하기 위해 고안한 것 전자 에너지 재료 등에 관련된 많은 현대 산업기술의 바탕이 되고 있으며, 반도체는 양자역학적 효과를 응용한 산업기술이 피어낸 꽃이다.

17. 경로적분법 물리학자인 파인만은 입자의 이미지를 살려가며 확률을 계산할 수 있는 방법을 생각해냈다. 그의 발상은 최초의 출발점에서 도착하는 곳의 확률을 계산하는 것이다. 이것은 경로적분법이라고 진다.

18. 자연과학의 언어 자연과학은 우리의 주변에서 일어나는 자연 현상을 정확히 관측하고, 개별 현상간의 인과관계를 파악하여, 많은 자연현상을 공통적으로 지배하는 법칙들을 찾아낸다. 물리, 화학, 생물 분야가 자연과학에 속한다. 수학은 자연과학을 표현하는 언어로 쓰인다. 해석기하학의 출현으로 뉴턴의 만유인력이 탄생하고, 아인스타인의 상대성 이론은 리만기하학을, 양자역학은 확률론을 그 도구로 사용하고 있다.

19. 하이젠베르크(Werner Heisenberg 1901-1976) “수학 전체는 무섭도록 복잡합니다. 오랜 생각 끝에도 문제는 항상 불분명해 집니다. 모든 것은 추측일 뿐입니다.”