Théorie de Files d’Attente

1. Théorie de Files d’Attente Ramon Puigjaner Universitat de les Illes Balears Palma, Espagne Université Paul Sabatier. Toulouse

2. INDICE • Caractéristiques d'un modèle de files d'attente • Notation • Variables et relations fondamentales • Processus de Poisson • Processus de Naissance-Mort • Files M/M/m/B/K • FileM/G/1 • FilesG/G/1:Méthodedediffusion Université Paul Sabatier. Toulouse.

3. THÉORIE DE FILES D’ATTENTE • Caractéristiques d'un modèle de files d'attente • Source de clients • Station de service Université Paul Sabatier. Toulouse.

4. THÉORIE DE FILES D’ATTENTE • Caractéristiques de la source des clients • Processus d'arrivée • Quantité de service • Taille de la population • Caractéristiques de la station de service • Nombre de serveurs • Nombre de files d'attente • Capacité des files • Gestion de la file • Politique de service Université Paul Sabatier. Toulouse.

5. THÉORIE DE FILES D’ATTENTE • Notation A/S/m [/B/K/DS] • A: distribution du temps entre arrivées, • S: distribution du temps de service, • m: nombre de serveurs, • B: capacité du système (par défaut: infinie), • K: taille de la population (par défaut: infinie), • DS: politique de service (par défaut: FCFS). Université Paul Sabatier. Toulouse.

6. THÉORIE DE FILES D’ATTENTE • Variables fondamentales • T: variable aléatoire du temps entre arrivées. • l: fréquence d'arrivée (= 1/E[T]) • S: variable aléatoire du temps de service. • m: capacité de service (1/E[S]). Ou nombre moyen de travaux qui peut accepter un serveur par unité de temps . S'il y a m serveurs, la capacité totale de service est mm. Université Paul Sabatier. Toulouse.

7. THÉORIE DE FILES D’ATTENTE • Variables fondamentales • N: nombre de travaux dans la station de service (variable aléatoire discrète). • Nq: nombre de travaux en attente de recevoir service (variable aléatoire discrète). • Ns: nombre de travaux en train de recevoir service (variable aléatoire discrète). • R: temps de réponse du système (variable aléatoire continue). • W: temps d'attente dans la file (variable aléatoire continue). Université Paul Sabatier. Toulouse.

8. THÉORIE DE FILES D’ATTENTE • Rapports fondamentaux • Condition de stabilité: La fréquence moyenne d'arrivées doit être plus petite que la capacité moyenne de service: l < mm Elle n'est pas applicable aux systèmes avec population et/ou capacité finies. • Equation du nombre de travaux: N = Nq + Ns Université Paul Sabatier. Toulouse.

9. THÉORIE DE FILES D’ATTENTE • Relations fondamentales • Equation du temps: R = W + S • Loi de Little: Nombre moyen de travaux dans le système = = Fréquence d'arrivée ´ temps moyen de réponse. Université Paul Sabatier. Toulouse.

10. THÉORIE DE FILES D’ATTENTE • Loi de Little Université Paul Sabatier. Toulouse.

11. THÉORIE DE FILES D’ATTENTE • Loi de Little Fréquence d'arrivée = = Nombre d'arrivées/Temps d'observation = I/T Temps moyen dans le système = J/I Nombre moyen de travaux dans le système = = J/T = I/T´J/I = = Fréquence d'arrivée ´ Temps moyen dans le système Université Paul Sabatier. Toulouse.

12. THÉORIE DE FILES D’ATTENTE • Processus de Poisson • N(t), pour t³ 0 est un processus de Poisson si: • N(0) = 0, • Le nombre d'arrivées en intervalles indépendants sont mutuellement indépendants, • Pour un intervalle de temps suffisamment petit [t, t + Dt] s'accomplit que: • la probabilité d'arrivée d'un client est lDt + Æ(Dt), • la probabilité d'arrivée de deux clients ou plus est Æ(Dt) • la probabilité d'aucune arrivée est 1 - lDt + Æ(Dt) • Les trois probabilités précédentes dépendent de Dt mais non de t Université Paul Sabatier. Toulouse.

13. THÉORIE DE FILES D’ATTENTE • Processus de Poisson E[N(t)]=lt Var[N(t)]=lt Université Paul Sabatier. Toulouse.

14. THÉORIE DE FILES D'ATTENTE • Distribution exponentielle • Les temps entre arrivées consécutives d'un processus de Poisson suivent une distribution exponentielle • Sans mémoire (propriété de Markov): Université Paul Sabatier. Toulouse.

15. THÉORIE DE FILES D'ATTENTE • Propriétés des processus de Poisson • Superposition de processus de Poisson • Décomposition d'un processus de Poisson Université Paul Sabatier. Toulouse.

16. THÉORIE DE FILES D'ATTENTE • Processus de Naissance-Mort • Il s'agît d'un type particulier de processus stochastique outil pour modeler des systèmes dans lesquels les clients arrivent et complètent son service un par un. • L'état du système est représenté par la variable aléatoire du nombre de clients, k. Université Paul Sabatier. Toulouse.

17. THÉORIE DE FILES D'ATTENTE • Processus de Naissance-Mort • Si Pk(t) est la probabilité qu’il y ait k éléments à l’instant t et dans un intervalle suffisamment petit l’état du système ne peut varier qu’en un élément, c’est à dire, pour qu’à l’instant t+ Dt il y ait k éléments: • Ou à l’instant t il y a kéléments et il n’y a aucun changement pendant Dt. • Ou à l’instant t il y a k - 1 éléments et il y a une arrivée pendant Dt. • Ou à l’instant t il y a k+1éléments et il y a un départ pendant Dt. • L’état du système ne peut être jamais négatif. Université Paul Sabatier. Toulouse.

18. THÉORIE DE FILES D'ATTENTE • Processus de Naissance-Mort • La probabilité de l'état dépend de t, mais celle du changement (naissance ou mort) dépend seulement de Dt Pk(t + Dt) = Pk(t) pk,k(Dt) + Pk - 1(t) pk - 1,k(Dt) + + Pk + 1(t) pk + 1,k(Dt) + Æ(Dt), pour k > 0 P0(t + Dt) = P0(t) p0,0(Dt) + P1(t) p1,0(Dt) + Æ(Dt), pour k = 0 Université Paul Sabatier. Toulouse.

19. THÉORIE DE FILES D'ATTENTE • Processus de Naissance-Mort • Les processus de naissance et de mort sont des processus de Poisson de paramètres dépendants de l'état, lk et mk: • pour k > 0 Pk(t+ Dt) = Pk(t)[1 - lkDt+Æ(Dt)] [1 - mkDt+Æ(Dt)] + +Pk - 1(t)[lk – 1Dt+Æ(Dt)] + +Pk+1(t)[mk+1Dt+Æ(Dt)] +Æ(Dt) • pour k = 0 P0(t+ Dt) = P0(t)[1 - l0Dt+Æ(Dt)]+ +P1(t)[m1Dt+Æ(Dt)] +Æ(Dt) Université Paul Sabatier. Toulouse.

20. THÉORIE DE FILES D'ATTENTE • Processus de Naissance-Mort • pour k > 0 • pour k = 0 Université Paul Sabatier. Toulouse.

21. THÉORIE DE FILES D'ATTENTE • Processus de Naissance-Mort • pour k > 0 • pour k = 0 • Equations de Chapman-Kolmogorov Université Paul Sabatier. Toulouse.

22. THÉORIE DE FILES D'ATTENTE • Processus de Naissance-Mort • Si ce système arrive à un régime stationnaire, c’est à dire que les probabilités sont indépendantes de l’instant, Pk(t) = pk, pour k³0 Donc 0 = -(lk+mk)pk+lk - 1pk - 1+mk+1pk+1, pour k > 0 0 = -l0p0+m1p1, pour k = 0 Université Paul Sabatier. Toulouse.

23. THÉORIE DE FILES D'ATTENTE • Processus de Naissance-Mort • Vers l’état Ek il y a un flux d’entrée à`partir des états Ek + 1 et Ek - 1, de lk - 1pk - 1+mk+1pk+1 • Des l’état Ek il y a un flux de sortie vers les états Ek + 1 et Ek - 1, de (lk+mk)pk • Si le système est en équilibre les deux flux doivent être égaux, lk - 1pk - 1+mk+1pk+1 = (lk+mk)pk Université Paul Sabatier. Toulouse.

24. THÉORIE DE FILES D'ATTENTE • Processus de Naissance-Mort • À partir de l'équation de Kolmogorov en régime stationnaire pour k = 0, • Remplaçant dans l'équation de Kolmogorov en régime stationnaire pour k = 1, Université Paul Sabatier. Toulouse.

25. THÉORIE DE FILES D'ATTENTE • Processus de Naissance-Mort • En général Université Paul Sabatier. Toulouse.

26. THÉORIE DE FILES D'ATTENTE • Files M/M/m/B/K • Ces files sont des cas particuliers des processus de naissance-mort puisqu’il s’agît de systèmes dans lesquels les arrivées au système (processus de naissance) et les sorties comme conséquence de la fin des services (processus de mort) sont tous les deux poissoniens Université Paul Sabatier. Toulouse.

27. THÉORIE DE FILES D'ATTENTE • File M/M/1 • une file avec un seul serveur • temps entre arrivées des clients répartis exponentiellement avec une valeur moyenne 1/l, indépendante du nombre de clients que sont dans le système • temps de service des clients répartis exponentiellement avec une valeur moyenne 1/m, indépendante du nombre de clients que sont dans le système lk = l, pour k = 0, 1, .... m k = m, pour k = 1, 2, .... Université Paul Sabatier. Toulouse.

28. THÉORIE DE FILES D'ATTENTE • File M/M/1 Université Paul Sabatier. Toulouse.

29. THÉORIE DE FILES D'ATTENTE • File M/M/1 pk = (1 - r)rk , pour k = 0, 1, ... Université Paul Sabatier. Toulouse.

30. THÉORIE DE FILES D'ATTENTE • File M/M/1 Université Paul Sabatier. Toulouse.

31. THÉORIE DE FILES D'ATTENTE • File M/M/¥ (nombre infini de serveurs) lk = l, k = 0, 1, .... mk = km, k = 1, 2, .... Université Paul Sabatier. Toulouse.

32. THÉORIE DE FILES D'ATTENTE • File M/M/¥ (nombre infini de serveurs) Université Paul Sabatier. Toulouse.

33. THÉORIE DE FILES D'ATTENTE • File M/M/¥ (nombre infini de serveurs) • Le nombre moyen de clients dans le système N = l/m • Le temps moyen de réponse, par application de la loi de Little, R = 1/m = s Université Paul Sabatier. Toulouse.

34. THÉORIE DE FILES D'ATTENTE • File M/M/m lk = l, k = 0, 1, .... mk = min(km, mm) d’où mk = km, pour 0 £k£m mk = mm, pour m£k Université Paul Sabatier. Toulouse.

35. THÉORIE DE FILES D'ATTENTE • File M/M/m Université Paul Sabatier. Toulouse.

36. THÉORIE DE FILES D'ATTENTE • File M/M/1/B: Capacité finie lk = l, pour k < B lk = 0, pour k³B mk = m, pour k = 1, 2, .... Université Paul Sabatier. Toulouse.

37. THÉORIE DE FILES D'ATTENTE • File M/M/1/B: Capacité finie pk = 0, pour k > B Université Paul Sabatier. Toulouse.

38. THÉORIE DE FILES D'ATTENTE • File M/M/1//K: Population finie lk = (K - k)l, pour 0 £k£K lk = 0, pour k³K mk = m, pour k = 1, 2, .... Université Paul Sabatier. Toulouse.

39. THÉORIE DE FILES D'ATTENTE • File M/M/1//K: Population finie Université Paul Sabatier. Toulouse.

40. THÉORIE DE FILES D'ATTENTE • File M/M/1//K: Population finie • Utilisation du serveur r = 1 - p0 • Par application de la loi de Little au serveur • Fréquence moyenne d’entrée de clients à la station le = (1 - p0)m Université Paul Sabatier. Toulouse.

41. THÉORIE DE FILES D'ATTENTE • File M/M/m/B/K lk= (K - k)l, pour 0 £k < B lk= 0, pour k³B mk = km, pour 0 £k£m mk = mm, k > m Université Paul Sabatier. Toulouse.

42. THÉORIE DE FILES D'ATTENTE • File M/M/m/B/K Université Paul Sabatier. Toulouse.

43. THÉORIE DE FILES D'ATTENTE • File M/M/m/B/K Université Paul Sabatier. Toulouse.

44. THÉORIE DE FILES D'ATTENTE • File M/M/m/B/K : Conclusion • S’il n’y a pas des limites ni dans la population ni dans la capacité du système serveur-file, le calcul de la probabilité p0 exige la sommation d’une série infinie; il s’agît donc d’un problème analytique. • S’il y a quelque limite dans la population ou dans la capacité du système, le nombre d’états est fini et l'addition à faire pour le calcul de p0 l’est aussi. Nous sommes en face d’un problème numérique puisque le système est toujours stable et il est toujours possible d’obtenir le résultat. Université Paul Sabatier. Toulouse.

45. THÉORIE DE FILES D'ATTENTE • File M/G/1 • Source infinie. • Intervalles de temps entre arrivées consécutives répartis exponentiellement avec moyenne tm = 1/l. • Temps de service répartis d’après n’importe quelle fonction. Son degré d’aléatorieté est défini par sont coefficient quadratique de variation. Université Paul Sabatier. Toulouse.

46. THÉORIE DE FILES D'ATTENTE • File M/G/1 • Valeur moyenne du temps de service: s = 1/m. • Discipline de la file: FIFO. • Pour que la file atteigne un régime stationnaire stable il faut la condition de stabilité r = l/m = ls < 1 • Un seul serveur. Université Paul Sabatier. Toulouse.

47. THÉORIE DE FILES D'ATTENTE • File M/G/1 • Une nouvelle arrivée trouvera en moyenne N clients, r en service et N - r en attente. • Chaque client dans la file recevra un service moyen de s = 1/m. Si R0 est le temps de service résiduel R = rR0 + (N - r)s + s • Par la loi de Little N /l = rR0 + (N - r)s + s Université Paul Sabatier. Toulouse.

48. THÉORIE DE FILES D'ATTENTE • File M/G/1 • f(x): fonction de densité de probabilité • s: moyenne • M2: moment de second ordre • A: période de temps très long sur lequel on à disposé les intervalles de service. • En moyenne il y aura A/s intervalles sur A • Un intervalle est de longueur x avec probabilité f(x)dx Université Paul Sabatier. Toulouse.

49. THÉORIE DE FILES D'ATTENTE • File M/G/1 • Nombre moyen d’intervalles de longueur x sur A • Portion moyenne d’A couverte par des intervalles de longueur x Université Paul Sabatier. Toulouse.

50. THÉORIE DE FILES D'ATTENTE • File M/G/1 • probabilité g(x)dx que l’intervalle élu au hasard soit de longueur x • longueur moyenne de l’intervalle élu Université Paul Sabatier. Toulouse.