“Alternativa de un parámetro de suavización en el filtro Hodrick -Prescott”

1. Universidad nacional autónoma de méxicofacultadde economía4° Encuentro de Usuarios de Stata en México (EUSMEX 2013) “Alternativa de un parámetro de suavización en el filtro Hodrick-Prescott” Ponente: Miguel Ángel Ramírez Hernández

2. Directrices de la exposición •  Series de tiempo: retrospectiva, definición y componentes. • El filtro Hodrick-Prescott (1997) y críticas al parámetro de suavización (λ). • Propuesta, simulación y evidencia empírica. • Referencias. Miguel Ángel Ramírez Hernández

3. “Every kind of periodic fluctuation, whether daily, weekly, monthly, quarterly, or yearly, must be detected and exhibited, not only as a subject of study in itself, but because we must ascertain and eliminate such periodic variations before we can correctly exhibit those which are irregular or non-periodic, and probably of more interest importance”1 William Stanley Jevons 1862 1Jevons, W.S. (1884). Investigations in currency and finance. London: Macmillan and Co. page 4. Miguel Ángel Ramírez Hernández

4. Series de tiempo: retrospectiva, definición y componentes. • Mitad del siglo XIX: W.S. Jevons (1862) pionero en el análisis de series temporales. • Inicios del siglo XX Hooker (1901). Concepto tendencia. • Primera mitad del siglo XX • Estudio de los ciclos económicos: Kitchin (1923) y Frickey (1934). • Formalización de modelos cíclicos: Kuznets (1929); Frisch (1933); Samuelson (1939); Kaldor (1940); Metzler (1941) y Tinbergen (1939,1940, 1942). • 1950-1960: periodo de “estado estacionario” a nivel intelectual sobre ciclos económicos. Miguel Ángel Ramírez Hernández

5. 1970-1980: década de distinción de ciclos económicos, ciclos de crecimiento y ciclos económicos-políticos, Nordhaus(1975). Simultáneamente, Lucas (1975) con diferencias notables: Ciclo Económico General (CEG). • A partir de CEG se suscitaron derivaciones con expectativas racionales Desarrollo de los modelos “RBC”. Kydland-Prescott (1982): prototipo RBC Long y Plosser (1983). • 1980-1990: especial interés en la descomposición de series temporales: ciclo-tendencia. Harvey (1985) y; • Hodrick-Prescott (1997). Amplio uso en modelos RBC. Miguel Ángel Ramírez Hernández

6. Definición de serie de tiempo Sea un espacio de probabilidad. “y” variable aleatoria, función real definida en tal que para cada número real “a”: Así, para cada “a”: Ergo, un vector aleatorio o vector de variables aleatorias de dimensión K es una función “y” de en el espacio euclidiano Rk Miguel Ángel Ramírez Hernández

7. Función de distribución de y Si suponemos un conjunto índice Z que contenga números enteros no negativos, un proceso estocástico discreto es una función real: Generalmente, la variable aleatoria correspondiente a “t” se denota como {yt}. Finalmente, una serie de tiempo se define como una realización subyacente al proceso estocástico discreto y cuya indización se ordena a una frecuencia equidistante. Miguel Ángel Ramírez Hernández

8. Componentes clásicos de una serie de tiempo. • Persons (1919) identificó 4 componentes de las series de tiempo: • Un desarrollo de largo plazo (tendencia). • Un componente cíclico con periodos superiores a t+1 (ciclo). • Un componente que contiene fluctuaciones ascendentes y descendentes dentro de un año (ciclo estacional/estacionalidad). • Un componente con movimientos excluidos en 1), 2) y 3). (residual/irregular). Miguel Ángel Ramírez Hernández

9. El filtro Hodrick-Prescott (H-P) y críticas al parámetro de suavización (λ) • Definen una serie de tiempo yt como la suma de un componente de “crecimiento” y un componente cíclico: • Proceso de optimización particular: minimizar la varianza del componente cíclico y la varianza de la segunda diferencia del componente de “tendencia”. • Factor de suavizado: λ Fuente: Elaboración propia con base en Hodrick y Prescott (1997). Miguel Ángel Ramírez Hernández

10. La evidencia y pertinencia de los factores de suavizado λ que sugieren los autores para datos anuales es 100 y 1,600 para datos trimestrales. • Sin embargo, el parámetro λ presenta una serie de inconsistencias esbozadas principalmente por: Cogley y Nason (1995); Guay, ST-Amant (2005). • Críticas: • Los componentes ciclo y tendencia presentan desviaciones prominentes cuando el estimador λ no es consistente. • Ciclos reales espurios derivados de la sobreidentificación del orden de las series de tiempo. • Varianzas del ciclo y la tendencia corresponden a series particulares; asumir a priori factores de suavizado pueden perturbar inferencias, por ejemplo, la tasa de desempleo y estimaciones de la tasa natural por medio del filtro H-P. Miguel Ángel Ramírez Hernández

11. Propuesta, simulación y evidencia empírica. • Propuesta: • Identificar puntualmente el orden de integración de la tendencia y proceder a utilizar la varianza correspondiente. • Considerar y ponderar el factor λ por un coeficiente inverso de “frecuencia angular”. Donde: Miguel Ángel Ramírez Hernández

12. Estimación matricial En términos de Hodrick-Prescott (1997) Sea: Si el factor de suavizado es no negativo, i.e.λ>0, la descomposición de la serie se obtiene minimizando la suma ponderada de cuadrados con respecto a : Nota: Stata incorpora el comando hprescott. Miguel Ángel Ramírez Hernández

13. La solución única de la minimización se define como: Donde denota una matriz particular de dimensión e I indica la matriz identidad. Miguel Ángel Ramírez Hernández

14. Simulación en Stata Paso 1: Definir la matriz Z. mkmat … … … …, matrix(Z) matlist Z Paso 2: Estimar la matriz transpuesta de Z. matrix Z´=Z’ matlist Z’ Paso 3: Definir la matriz identidad I. mkmat … … …, matrix(identidad) matlist identidad Paso 4: Multiplicar la matriz transpuesta Z por la matriz Z. matrix Z´Z=Z’*Z Paso 5: Estimar el factor de suavizado λ y multiplicar dicho escalar por el resultado de la matriz obtenida en el Paso 4. matrixlambdaZ´Z= λ *Z´Z Miguel Ángel Ramírez Hernández

15. Paso 6: Del resultado obtenido en el paso 5, sumar la matriz identidad. matrixlambdaZ´Z+I=identidad+lambdaZ´Z matlistlambdaZ´Z+I Paso 7: Estimar inversa de la matriz resultante en el paso 6. matrixinversalambdaZ´Z+I=invsym(lambdaZ´Z+I) Paso 8: Introducir la serie de tiempo mkmat serie matlist Paso 9: Finalmente multiplicar el vector de la serie de tiempo por la matriz estimada en el paso 7. Resultado: Tendencia de la serie de tiempo. Nota: el componente ciclo se obtiene restando a la serie de tiempo su componente tendencial. Miguel Ángel Ramírez Hernández

16. Evidencia empírica • Se extrajo el tipo de cambio real efectivo de Noruega (REER), para un periodo de frecuencia trimestral de 1980-I a 2008-III. • Objetivo: analizar los cambios en la balanza de bienes y servicios no factoriales de un país. (REER-proxy) Miguel Ángel Ramírez Hernández

17. Propuesta alternativa Noruega: tipo de cambio real efectivo y filtros H-P con variaciones en el factor de suavizado, 1980-I a 2008-III. Fuente: Elaboración propia con base en IMF y Banco Central de Noruega (2013). Datos simulados en Stata. Miguel Ángel Ramírez Hernández

18. Referencias • Cogley, T. and Nason, J.M. (1995), “Effects of the Hodrick–Prescott filter on trend and difference stationary time series. Implications for business cycle research”, Journal of Economic Dynamics and Control, 19, 253–278. • Frickey, E. (1934), “The problem of secular trend”, Review of Economics and Statistics, 16, 199–206. • Frisch, R. (1933), “Propagation problems and impulse problems in dynamic economics”, in Economic Essays in Honour of Gustav Cassel, London: George Allen & Unwin, 171–205. • Guay, A. y St.-Amant, P. (2005). “Do the Hodrick-Prescott and Baxter-King Filters Provide a Good Approximation of BusinessCycles. Annals of Economics and Statistics / Annalesd”Économie et de Statistique, 77,133-155. • Harvey, A.C. (1985), “Trends and cycles in macroeconomic time series”, Journal of Business and Economic Statistics, 3, 216–227. • Hodrick, R.J. and Prescott, E.C. (1997). “Postwar US business cycles: an empirical investigation”, Journal of Money, Credit and Banking, 29, 1–16. • Hooker, R.H. (1901), “Correlation of the marriage rate with trade”, Journal of the Royal Statistical Society, 64, 485–503. • Kaldor, N. (1940), “A model of the trade cycle”, Economic Journal, 50, 78–92. • Kitchin, J. (1923), “Cycles and trends in economic factors”, Review of Economics and Statistics, 5, 10–16. • Kuznets, S. (1929), “Random events and cyclical oscillations”, Journal of the American Statistical Association, 24, 258–275. Continúa… Miguel Ángel Ramírez Hernández

19. Kydland, F.E. and Prescott, E.C. (1982), “Time to build and aggregate fluctuations”, Econometrica, 50, 1345–1370. • Jevons, W.S. (1884). Investigations in currency and finance. London: Macmillan and Co. page 4. • Long, J.B. and Plosser, C.I. (1983), “Real business cycles”, Journal of Political Economy, 91, 39–69. • Lucas, R.E. (1975), “An equilibrium model of the business cycle”, Journal of Political Economy, 83, 1113–1144. • Metzler, L.A. (1941), “The nature and stability of inventory cycles”, Review of Economics and Statistics, 23, 113–129. • Nordhaus, W.D. (1975), “The political business cycle”, Review of Economic Studies, 42, 169–190. • Persons, W.M. Indices of Business Conditions, Review of Economic Statistics (1919), pp. 5 – 107. • Samuelson, P.A. (1939), “Interactions between the multiplier analysis and the principle of the accelerator”, Review of Economics and Statistics, 21, 75–78. • Tinbergen, J. (1939b), Statistical Testing of Business-Cycle Theories, Volume 1I: Business Cycles in the United States of America, Geneva: League of Nations. • Tinbergen, J. (1940), “On a method of statistical business-cycle research. A reply”, Economic Journal, 50, 141–154. • Tinbergen, J. (1942), “Critical remarks on some business-cycle theories”, Econometrica, 10, 129–146. Miguel Ángel Ramírez Hernández