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Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 11 – Amostragem e Reconstrução. Carlos Cardeira
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Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 11 – Amostragem e Reconstrução Carlos Cardeira Diapositivos para acompanhamento da bibliografia de base (Structure and Interpretation of Signals and Systems, Edward A. Lee and Pravin Varaiya), maioritariamente baseados na informação pública disponível em http://ptolemy.eecs.berkeley.edu/eecs20/index.html
Codificação e Descodificação Imagem Audio TV Fax Telefone … Imagem Audio TV Fax Telefone … {0,1} {0,1} Codific. Canal Descod. O Codificador transforma qualquer sinal em 0s e 1s, e o descodificador realiza a operação inversa. Entre o sinal original e o sinal reconstituído deve ser preservada alguma medida de qualidade
Canal de Comunicação • Características • BitRate – 56Kbps, 4Mbps, 1Gbps • Taxa de Erro - 10-12(Fibra óptica) 10-3 (GSM)
Original • Características • N elementos do Alfabeto • 2^(número de bits)<N
Amostragem x:Reais→Complexos SamplerT y:Inteiros→Complexos Y=SamplerT(x) n, y(n)=x(nT) Unidades: T: segundos por amostra N: amostras nT: segundos
“Aliasing” • Sinusóides com frequência f e f+kfs têm as mesmas amostras. • Por isso não se poderão reconstituir sinais de frequências superiores a fs. • A este fenómeno chama-se“aliasing”
Exemplo • Se a Frequência de Amostragem for de 8khz, os seguintes sinais terão as mesmas amostras: • Sinusóide de 500 Hz; 8500Hz;-7500Hz • Sinusóide de 1000 Hz; 9000Hz;-7000Hz • Sinusóide de 3500 Hz; 11500Hz;-5500Hz • Ver as demos: • http://ptolemy.eecs.berkeley/eecs20/week13/aliasing.html • http://ptolemy.eecs.berkeley/eecs20/week13/images.html • http://ptolemy.eecs.berkeley/eecs20/week13/Moire Patterns.html • http://ptolemy.eecs.berkeley/eecs20/week13/fonts.html
http://ptolemy.eecs.berkeley/eecs20/week13/aliasing.html • A sinusoide é amostrada a uma dada frequência. Ouve-se o sinal amostrado. • À medida que a frequência do sinal aumenta a frequência do sinal amostrado aumenta também. • Mas quando se passa metade da frequência de amostragem, a frequência do sinal amostrado começa a baixar por efeito de “aliasing”
http://ptolemy.eecs.berkeley/eecs20/week13/images.html • A imagem mostra uma sinusóide. • À medida que a frequência da sinusóide aumenta a frequência do sinal amostrado aumenta também. • Mas quando se passa metade da frequência de amostragem, a frequência do sinal amostrado começa a baixar por efeito de “aliasing”
http://ptolemy.eecs.berkeley/eecs20/week13/Moire patterns.html • A imagem mostra um conjunto de linhas que têm origem no mesmo vértice. • À medida que se aumenta o número de linhas, junto ao vértice a frequência aumenta. • A partir de certa frequência começam a aparecer componentes de mais baixa frequência junto ao vértice devido ao fenómeno de aliasing.
http://ptolemy.eecs.berkeley/eecs20/week13/fonts.html • A imagem mostra um “w” ideal e a sua amostragem. • Como o w ideal tinha muitas frequências, parte delas perde-se na amostragem. • Se antes de amostrarmos o “w” retirarmos as componentes de alta frequência, o sinal amostrado já se parece mais com o original, pois evitamos o fenómeno de aliasing.
“Anti-aliasing” • Para evitar fenómenos de “aliasing” indesejáveis é necessário filtar o sinal antes de o amostrar. • Este procedimento é muito usado em aquisição de sinais, pois se o sinal tivesse ruído com frequência superior a metade da frequência de amostragem, esse ruído viria a perturbar o sinal efectivamente lido.
Reconstrução • Temos um conjunto de sinais amostrados. • Queremos reconstruir o sinal contínuo em função das amostras • Varios sinais originais poderiam corresponder ao mesmo sinal amostrado.
Reconstrução • A reconstrução de y(n) em y(t) faz-se em várias fases: • São atribuídos instantes de tempo nT para cada amostra. • Cria-se um sinal w(t) que em cada instante nT tem um delta de Dirac com a amplitude igual ao valor de y(n)
Reconstrução y(n) w(t)
Reconstrução • A esta série de impulsos e aplicado um sistema linear (por exemplo, um filtro passa baixo) que “reconstituirá” o sinal.
Exemplos de LTI usados para reconstrução (cont.) • A interpolação ideal faz com que o sinal final não tenha componentes de frequência fora do intervalo –T e T. • Neste sentido pode ser considerada “ideal” porque não gera frequências que o sinal não tinha.
