slide1 n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Координаты вектора в пространстве. Скалярное и векторное произве PowerPoint Presentation
Download Presentation
Координаты вектора в пространстве. Скалярное и векторное произве

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 22

Координаты вектора в пространстве. Скалярное и векторное произве - PowerPoint PPT Presentation


  • 221 Views
  • Uploaded on

Координаты вектора в пространстве. Скалярное и векторное произведения векторов. 8. Пусть в пространстве Oxyz задан вектор Проекция , , вектора на оси координат называются координатами вектора.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Координаты вектора в пространстве. Скалярное и векторное произве' - duc


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

Координаты вектора в пространстве.

Скалярное и векторное произведения векторов.

slide2

8. Пусть в пространстве Oxyz задан вектор

Проекция , , вектора на оси координат называются координатами вектора

Def: Длина (модуль) вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Def: Расстояние между двумя точками пространства равно корню квадратному из суммы квадратов разностей одноименных координат этих точек.

slide3

9. Введем единичные векторы (орты) i, j, k , направленные по осям координат. Они не равны, так как являются единичными векторами неколлинеарных векторов.

Это разложение единственно!

slide4

Рассмотренные выше линейные операции над векторами можно теперь записать в следующем виде:

1)

П- скаляр

При умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на этот скаляр.

2)

При сложении (вычитании) векторов их одноименные координаты складываются (или вычитаются).

Векторы коллинеарные тогда и только тогда, когда их одноименные координаты пропорциональны.

slide5
Этой формуле можно придать другой вид.Так как то получаем:

10. Скалярное произведение векторов.

Def: Под скалярным произведением двух векторов и понимается число, равное произведению длин этих векторов на косину угла между ними, т.е

slide6

Свойства:

1)

2)

3)

4) Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения, т.е

slide7

5) Скалярное произведение линейной комбинации векторов на произвольный вектор равно такой же линейной комбинации данных векторов на этот вектор, т.е

6)

Скалярное произведение в координатной форме.

slide8

Перемножим и как многочлен и учитывая, что

будем иметь

Скалярное произведение векторов равно сумме парных произведений их одноименных координат

slide9

Проекция вектора на заданное направление

Нахождение проекции векторана направление, заданное вектором ,может осуществляться по формуле

slide10

Векторное произведение векторов

Def: Под векторным произведением двух векторов и понимается вектор , для которого:

1) Модуль равен площади параллелограмма, построенного на двух векторах, т.е , где

2) Этот вектор перпендикулярен перемножаемым векторам (перпендикулярен плоскости параллелограмма), т.е и

slide11

Свойства векторного произведения

1) При изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет свой знак на обратный, сохраняя модуль, т.е

2) Векторный квадрат равен нуль вектору, т.е

3) Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т.е если п- скаляр, то

4) Для трех векторов справедливо равенство

slide12

Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов

и

Векторное произведение в координатной форме

Пусть

Перемножая векторно эти равенства и используя сумму девяти слагаемых

slide13

Для ортов справедлива следующая «таблица умножения»:

slide15
СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВОпределение смешанного произведения, его геометрический смысл
  • Рассмотрим произведение векторов , и , составленное следующим образом: . Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется векторно-скалярным, или смешанным, произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число.
  • Выясним геометрический смысл выражения

и вектор

slide16
Построим параллелепипед, ребрами которого являются векторы , и и вектор
slide17
Имеем:

где - площадь параллелограмма, построенного на векторах и , , для правой тройки векторов и для левой, где - высота параллелепипеда.

Получаем:

т.е.

где - объем параллелепипеда, образованного векторами и

Таким образом, смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку.

slide18

Три некомпланарных вектора , и взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, еслипо часовой

slide19
Свойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т.е.

2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного умножения, т.е.

3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей, т.е.

slide20

4. Смешанное произведение ненулевых векторов и равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.

Если

- компланарны

Выражение смешанного произведения через координаты

slide21
Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды

Нетрудно показать, что объем параллелепипеда, построенного на векторах и вычисляется как,

а объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен

slide22

Пример. Вершинами пирамиды служат точки

Найти объем пирамиды

Решение: Находим векторы

Находим

Следовательно,