DI UGUAGLIANZE ED EQUAZIONI

1. I PRINCIPI DI EQUIVALENZA DI UGUAGLIANZE ED EQUAZIONI e l'importanza di una corretta formalizzazione e perché è proibita la divisione per zero? LiberEtà Udine, 18 ottobre 2007 Giuseppina Trifiletti

2. DOVE SI NASCONDE L’ERRORE? quindi ? Se a > b (o a < b), non può essere a = b

3. Se c è un numero positivo allora a>b, es: 7=5+2, Se c è un numero negativo allora a<b, es: 7=9+(-2) Dato che non si può fare il passaggio dalla riga 5) alla riga 6) perché si divide per 0

4. Un numero diverso da 0 diviso per zero non dà nessun numero Esempio 8:0 = nessun numero, Invece 0:0 = qualunque numero In ambedue i casi non otteniamo uno ed un solo risultato, come deve invece accadere per avere come risultato un numero Per concludere non sono numeri reali(vedi nota) e E la divisione per 0 non si può fare NOTA: i numeri reali Rsono tutti i numeri decimali, quelli che usiamo di solito - decimali limitati (come 3 e 4,5 e 7 e 2,3 … e infiniti altri), decimali illimitati periodici (come 1/3= 0,333333… e infiniti altri), e decimali illimitati e non periodici, che approssimiamo (come 2=1,41… e =3,14… e infiniti altri)

5. Non si può dividere per zero L’errore quindi sta nella divisione per 0, che si fa dal passaggio 5) al passaggio 6). Dato che a = b+c si ha che a-b-c = 0. ESEMPIO: a=7 e b=5 e c=2, 7=5+2, 7-5-2=0 In 6) si ottiene 7*0=5*0 che è un’uguaglianza vera, ma se divido per 0 ottengo 7 = 5 che è falsa.

6. Che succede se moltiplico per 0? Brevemente 5=7 è un’uguaglianza falsa Se moltiplico a destra e a sinistra per un qualunque numero ottengo ancora un’uguaglianza falsa. Es: 5x3=7x3 15=21 Se moltiplico a destra e a sinistra per 0 ottengo 5x0=7x0 0=0 E cioè un’uguaglianza vera

7. PESANDO E RIPESANDO Se una bottiglia B e un bicchiere G. fanno equilibrio a una caraffa C, e anche la stessa bottiglia B fa equilibrio a un bicchiere Gpiù un piatto P, e 2 caraffe C bilanciano tre piatti P, si domanda QUANTI BICCHIERI “G”FARANNO EQUILIBRIO A UNA BOTTIGLIA “B”?

8. DATI DEL PROBLEMA I) B + G = C II) B = G + P III) 2C = 3P richiesta 1B = ?G

9. = = = = C G+P C 2G+P 2G+P B B+G B+G SOLUZIONE 1) I dato 2) II dato 3) Applico a 2) il I principio: aggiungo un bicchiere da ambedue le parti. 4) Proprietà transitiva, tra 1) e 3), dell’ = dato che 1) B+G = C e 2) B+G = 2G+P

10. = 3P 2C 5) Applico il II principio: raddoppio da ambedue le parti 6) III dato 4G+2P = 2C 8) Applico il I principio: tolgo due P (piattini) da tutte e due le parti 7) proprietà transitiva dell’ = tra 5) e 6) P = 4G 3P 10) per sostituzione 4G + 2P = 9) II dato RISPOSTA: B = 5G Sostituisco a un P quattro G

11. Se si sostituisce ogni simbolo con i seguenti numeri B (bottiglia)  50g G (bicchiere)  10g P (piattino)  40g C (caraffa)  60g Le uguaglianze delle diapositive precedenti sono tutte verificate

12. COME CREARE BIRRA CON I PRINCIPI DI EQUIVALENZA DELLE EQUAZIONI

13. LA MIRACOLOSA MOLTIPLICAZIONE DELLA BIRRA BIRRA ? = BIRRA

14. Metà bicchierepieno = Metà bicchierevuoto significa "Un bicchiere pieno a metà è uguale a un bicchiere vuoto a metà" È completamente diverso da 1/2bicchierepieno=1/2bicchierevuoto Ha un altro significato. Il detto "un bicchiere pieno a metà è uguale a un bicchiere vuoto a metà", NON SI PUO' FORMALIZZARE IN QUEL MODO.

15. Infatti 1/2bicchierepieno = un mezzo moltiplicato per un bicchierepieno = la metà di un bicchiere pieno E NON UN BICCHIERE PIENO A METÀ 1/2bicchierevuoto = un mezzo per un bicchierevuoto = la metà di un bicchiere vuoto E NON UN BICCHIERE VUOTO A METÀ 1/2bicchierepieno=1/2bicchierevuoto, cioè vuol dire che se divido un bicchiere pieno in due parti ottengo metà di un bicchiere vuoto. E viceversa. Cosa che non è assolutamente vera. FALSO L'INIZIO E FALSA LA FINE

16. FORMALIZZAZIONE BANALE Se invece volevo formalizzare IL DETTO di cui sopra dovevo scrivere Il bicchiere pieno a metà contiene tanto vino quanto il bicchiere vuoto a metà, quindi l’uguaglianza era piuttosto banale x = quantità di vino contenuta nel bicchiere pieno = Un bicchiere con metà della quantità di vino che può contenere ha tanto vino quanto un bicchiere pieno di vino a cui viene tolto metà del vino che contiene

17. BIRRA BIRRA BIRRA BIRRA BIRRA BIRRA FORMALIZZAZIONE MIGLIORE x = bicchierepienoametà y = bicchierevuotoametà = E se moltiplico per 2, utilizzando il II principio di equivalenza, ottengo = ottengo due bicchieri pieni a metà che sono proprio uguali a due bicchieri vuoti a metà

18. LA MIRACOLOSA MOLTIPLICAZIONE DELLA BIRRA i n p o c h i s s i m e p a r o l e  "UN BICCHIERE PIENO A METÀ È UGUALE A UN BICCHIERE VUOTO A METÀ" ha tutto un altro significato di "LA METÀ DI UN BICCHIERE PIENO È UGUALE ALLA METÀ DI UN BICCHIERE VUOTO“ dato che l’ultima frase si presta a una formalizzazione di tipo matematico che porta decisamente fuori strada.

19. IDEE TRATTE DA • dal libro di testo, di qualche anno fa, della INTERNATIONAL SCHOOL di Udine MIDDLE SCHOOL MATH, autori vari, Scott Foresman-Addison Wesley, Carrollton, Texas - Menlo Park, California • dal libro ENIGMI CRITICI E BIZZARI di Michael DiSpezio, Il Castello • Personali rielaborazioni