بسم الله الرحمن الرحیم

بسم الله الرحمن الرحیم

گرد آورندگان حمیدرضا مهرابی 8519413 امیرحسین رحمت 8512053

دنباله فيبوناچي و دنباله لوكاس نوع ديگري از رشد و تصاعد را نشان مي دهند. بيادآوريد كه در تصاعد حسابي ، جمله بعدي از جمع يك مقدار ثابت به جمله، كنوني بدست مي آيد و در تصاعد هندسي، جمله بعدي از ضرب يك مقدار ثابت در جمله كنوني بدست مي آيد وامادر دنباله فيبوناچي و دنباله لوكاس و امثال اينها، جمله بعدي از ضرب مقدار ثابت 1.618033988 در جمله كنوني بدست مي آيد كه عددي اسرارآميز است. بررسي اين عدد شگفت انگيز صدهاسال قبل از ميلاد در هند و 1200 سال بعد از ميلاد توسط فيبوناچي، شيربچه يِ پيزا در ايتاليا وارد رياضيات شد و نسبت مقدس و نسبت طلائي نام گرفت

که به این معادله درجه دوم منجر میشود و با حل آن دو مقدار برای بخش بزرگتر به دست می آید را کنار می گذاریمX2ولی چون بخش بزرگتر نمی تواند منفی باشد

دنباله لوكاس فرض كنيد فروشگاهي تاسيس مي كنيد كه در روز اول 1 تومان و در روز دوم 3 تومان مي فروشد ولي از آنپس، مقدار فروش هر روز باندازه مجموع فروش دو روز قبل از آن است. با چنين فرضياتي فروش ما چگونه رشد مي كند؟... 1,3,4,7,11,18,29اين دنباله در ستون LS نشان داده شده و دنباله لوكاس ناميده مي شود.در جدول مقابل، اولين ستون از سمت چپ روز را نشان مي دهد و ستون LSميزان فروش روزها و ستون Φ نسبت فروش روز به فروش روز قبل وستونφ نسبت فروش روز به فروش روزبعد است. چنانكه ديده مي شود Φ و φ بسوي مقدار ثابت 1.618033988 و 0.618033988 ميل مي كنند. اين دو مقدار را نسبت فيبوناچي يا نسبت طلائي يا نسبت مقدس ناميده اند

دنباله فيبوناچي روش بدست آوردن دنباله فيبوناچي نيز مانند دنباله لوكاس است با اين تفاوت كه مقدار فروش روز اول و دوم بترتيب 0 و 1 مي باشد. في الواقع دو مقدار اوليه مي توانندهر عددي باشند بشرطي كه مجموعشان صفر نباشد. بين Φ و φ اين رابطه بر قرار است:Φ - φ = 1 كل هر چيزي را ، ومثلا پاره خط بالا را ‌چگونه به دو بخش كوچك (b) و بزرگ (a) تقسيم مي كنيد كه نسبت بخش كوچك به بخش بزرگ برابر باشد با نسبت بخش بزرگ به كل هر دو بخش؟ اين مساله را ميتوانيد به بيان رياضي برگردانيد:بخش كوچكتر را برابر با 1 و بخش بزرگتر را برابر با x مي گيريم. در اينصورت : نسبت مقدس از فرمولي با كسرهاي متداوم و راديكالهاي تودرتو و توابع مثلثاتي هم بدست مي آيد

توجه: در اين مقاله نشانه هاي Φ و φ بنحو يكسان و كاملا متمايزي بجاي نسبت بزرگتر از 1 و نسبت كوچكتر از 1 بكار نرفته ولي از روي مقدارعددي مي توان بسهولت تشخيص داد كه نشانه به كداميك مربوط است تشخيص دهيم كه مقصود چيست.و گاهي از نشانه هاي Phi و phi استفاده شده است

ساختن مستطيل طلائيالف - مربعي به ابعاد 1 بسازيدب - از وسط يكي از اضلاع خطي به يكي از زواياي روبرو رسم كندج - با شعاعي باندازه اين خط يك كمان رسم كنيد كه طول مستطيل را مشخص نمايد

مثلث طلائي و ستاره پنج پر طلائيمثلث ABC طلائي است هرگاه متساوي الساقين باشد و با رسم نيمساز زاويه C مثلث CXB بوجود آيد چنانكه با مثلث اصلي متشابه باشد. ستاره پنچ پر كه Pentagram نام دارد از 5 مثلث طلائي ساخته شده و همه اضلاع يكديگر را به نسبت طلائي تقسيم مي كنند

قضيه بطلميوس به ازای هر چهار عدد مختلط به آسانی می توان تساوی زیر را تحقیق کرد و با توجه به نابرابری مثلثی خواهیم داشت اکنون به بررسی حالتی می‌پردازیم که این نابرابری به برابری بدل شود. در حالت نابرابری مثلثی،

تساوی، فقط و فقط هنگامی برقرار خواهد شد که یک عدد حقیقی مثبت باشد.) (‌ به شرط پس به جستجوی شرطی می پردازیم که ضامن مثبت و حقیقی بودن عدد

یعنی در دو طرف وتر واصل بین دو نقطه همدایره هستند .و قرار دارند،‌ که نتیجه آن به ترتیب الفبایی قرار گرفتن این نقاط (ساعتسو یا پادساعتسو ) است. پس قضیه زیر را ثابت کردیم.

قضیه1. در صفحه داریم به ازای هر چهار نقطه تساوی هنگامی و فقط هنگامی برقرار می‌شود که این چهار نقطه همدایره ( یا همخط ) باشند و به ترتیب الفبایی ( ساعتسو یا پاد ساعتسو ) قرار گرفته باشند. حالت تساوی توسط ک. بطلیموس ( حدود 85 – 165 ب.م ) کشف گردید، در صورتی که حالت کلی متجاوز از هزار سال بعد توسط ل. اویلر (1707 – 1783) پیدا شد. ولی با استفاده از اعداد مختلط نتایج آن را می‌توان فقط در یک سطر به دست آورد. عبارت گویند را نسبت ناهمساز چهار نقطه

گویند، این نسبت نقش مهمی در بخشهای مختلف ریاضیات، به خصوص در هندسه تصویری، که مسلماً یکی از زیباترین شاخه های ریاضیات است ایفا می کند. فرع 1. چهار نقطه همدایره ( همخط ) اند، اگر و فقط اگر در مطالب بعد، همخطی، حالت خاص (‌ تباهیده ) همدایرگی در نظر گرفته می‌شود. هنگامی که چهار ضلعی محاطی به مستطیل بدل شود، قضیه بطلیموس به صورت زیر در می آید: فرع 2. ( فیثاغورس ) در مثلث قائم الزاویه داریم ، قائمه در راس

مثال. فرض می‌کنیم پنج ضلعی منتظمی به ضلع وسط محاط در دایره ای به شعاع طول یک قطر آن باشد. با استفاده از قضیه بطلیموس برای چهار ضلعیهای خواهیم داشت: که درآن شعاع طول ضلع ده ضلعی منتظم محاط در دایره ای به است. از اینجا نتیجه می‌شود که در تساوی صدق می‌کند.

به طول ضلع ده ضلعی منتظم محاطی، بنابراین نسبت شعاع ، نسبت زرین معروف را می‌دهد:

ارتباط مثلث خيام /پاسكال و دنباله فيبوناچي مثلث خيام را در سمت چپ مي بينيد كه هر عدد آن از جمع دو عدد بالايش بدست آمده استهرگاه آنرا به شكل يك مثلث قائم الزاويه بچينيم چنانكه در تصوير سمت راست ديده مي شود، آنگاه ارتباطش با دنباله فيبوناچي ديده خواهد شداين ارتباط در رديف زير با رنگ نشان داده شده است

اين مثلث قائم الزاويه را كه از روي مثلث خيام پاسكال ساختيممي توانيم بجاي آنكه افقي يا عمودي نگاه كنيم، بطور قطري بنگريم و اين نگرش با رنگ نشان داده شده استحاصل جمع هر قطر را در ستون سمت چپ با همان رنگ قطر مي نويسيماگر به اعداد اين ستون دقت كنيم مي بينيم كه همان اعداد دنباله فيبوناچي است ترتيبي ديگر از مثلث خيام پاسكال

در امتداد قطر ماتريس كه در آن نيز مجموع اعداد عر ستون برابر اعداد در دنباله فيبوناچي خوهد شد

يكي از ارتباطات عجيب بين اعداد فيبوناچي و كسر گوياي يك هشتاد ونهم است 89/1 كه هرچند گويا است ولي اگر تقسيم كنيم عدد اعشاري حاصله هرگز تمام نمي شود. قسمتي ازآن عدد اعشاري اينست: 0.011235955056179775280898876404494 حال اگر اعداد دنباله فيبوناچي را بنحوي كه در شكل روبرو ديده مي شود بچينيم و از سمت راست، ستون به ستون جمع كنيم ديده مي شود كه همان عدد اعشاري بدست مي آيد يك نكته اضافي كه از مطلب اين رديف و دو رديف بالا مي توانيم نتيجه بگيريم اينست كه ترتيب مي تواند بسيار پرمعنا و نتيجه بخش باشدآنچه كه در يك چيدمان خاص پنهان است، در چيدمان ديگري مي تواند عيان و آشكار شود بنا بر اين ما حق داريم ترتيبات موجود را قابل تغيير بشماريم

- براي يادآوري ذكر مي شود كه رابطه يا معادله خطي آن است كه متغيرهايش از درجه يك باشند يعني توان دوم و سوم و...راديكال و غيره نداشته باشند و همچنين متغيرها در يكديگر ضرب نشده باشند. مثلا x.y=5 يا x2-3x+1=yخطي نيستند .

2- علائم Lو F در تصوير روبرو بترتيب نشانه عدد لوكاس و عدد فيبوناچي است 3 - همچنين (F(n نشانه عدد امn در دنباله فيبوناچي است و (F(n+2 نشانه دومين عدد سمت راست آن و (F(n-2 نشانه دومين عدد سمت چپ آن است با اين ترتيب فرمول نخستين را براي n=6 از دنباله فيبوناچي و دو عدد سمت چپ و راستش رامي آزمائيم كه درست است زيرا3+ 8 + 21 = 4 x 8 32 = 32

مجموع فیبوناچی و لوکاس

با تشکر از توجه شما

بسم الله الرحمن الرحیم