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Programación. 10-Marzo-11. Elementos de un modelo de optimización .

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PowerPoint Slideshow about 'Programación' - didina


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Presentation Transcript
programaci n

Programación

10-Marzo-11

slide2

Elementos de un modelo de optimización.

Supongamos que se dispone de determinadas piezas para la elaboración de dos productos finales. Se dispone de 8 “piezas pequeñas” y 6 “piezas grandes”, que son utilizadas para elaborar sillas (usando 2 piezas pequeñas y 1 pieza grande) y mesas (usando 2 piezas de cada tipo).

Interesa decidir cuántas sillas y mesas fabricar de modo de obtener la máxima utilidad, dado un beneficio neto de U$ 15 por cada silla y de U$20 por cada mesa fabricada.

slide3

Posibles soluciones factibles a considerar, esto es soluciones que respetan las restricciones del número de piezas disponibles, son por ejemplo, fabricar:

  • 4 sillas, que reportan una utilidad de U$60
  • 1 sillas y 2 mesas , utilidad de U$55
  • 3 mesas, utilidad de U$60
  • 1 mesa y tres sillas, utilidad de U$65
  • 2 sillas y 2 mesas, utilidad de U$70
  • etc.
slide4

Un modelo matemático para hallar la mejor solución factible a este problema tiene tres componentes básicas:

i) Las variables de decisión, que consiste en definir cuáles son las decisiones que se debe tomar. En el ejemplo,

x: número de sillas elaboradas.

y: número de mesas elaboradas.

slide5

ii) La función objetivo del problema, que permita tener un criterio para decidir entre todas las soluciones factibles. En el ejemplo, maximizar la utilidad dada por:

z = f(x,y) = 15x + 20y

slide6

iii) Restricciones del problema, que consiste en definir un conjunto de ecuaciones e inecuaciones que restringen los valores de las variables de decisión a aquellos considerados como factibles. En el ejemplo, respetar la disponibilidad de piezas para la fabricación de sillas y mesas:

Piezas pequeñas: 2x + 2y  8

Piezas grandes : x + 2y  6

También se impone restricciones de no – negatividad:

x,y  0

slide7

En resumen: Max 15x + 20y

sa: 2x + 2y  8

x + 2y  6

x,y  0

El ejemplo corresponde a un modelo de Programación Lineal. Si además restringimos los valores de x e y a números enteros, tendríamos un modelo de Programación Entera. Por otra parte, si hubiese retornos crecientes a escala, deberíamos emplear una función objetivo no lineal como f(x,y) = cxa + dybcona,b >1, y tendríamos un modelo de Programación No Lineal.

introducci n a la programaci n lineal
Introducción a la Programación Lineal
  • Un modelo de programación lineal busca maximizar o minimizar una función lineal, sujeta a un conjunto de restricciones lineales.
  • Un modelo de programación lineal esta compuesto de lo siguiente:

* Un conjunto de variables de decisión

* Una función objetivo

* Un conjunto de restricciones

slide9

La importancia de la programación lineal:

* Ciertos problemas se describen fácilmente a través de la

programación lineal.

* Muchos problemas pueden aproximarse a modelos lineales.

* La salida generada por el programa que resuelve el modelo de

programación lineal entrega información útil para responder

nuevas condiciones sobre el “qué pasa si”.

el problema de la industria de juguetes galaxia
El problema de la industria de juguetes “Galaxia”.
  • Galaxia produce dos tipos de juguetes:

* SpaceRay

* Zapper

  • Los recursos están limitados a:

* 1200 libras de plástico especial.

* 40 horas de producción semanalmente.

slide11

Requerimientos de Marketing.

* La producción total no puede exceder de 800 docenas.

* El número de docenas de SpaceRays no puede exceder al

número de docenas de Zappers por más de 450.

  • Requerimientos Tecnológicos.

* SpaceRays requiere 2 libras de plástico y 3 minutos de

producción por docena.

* Zappers requiere 1 libra de plástico y 4 minutos de producción

por docena.

slide12

Plan común de producción para:

* Fabricar la mayor cantidad del producto que deje mejores

ganancias, el cual corresponde a SpaceRay ($8 de utilidad

por docena).

* Usar la menor cantidad de recursos para producir Zappers,

porque estos dejan una menor utilidad ($5 de utilidad por

docena).

  • El plan común de producción consiste en:

SpaceRays = 550 docenas

Zappers = 100 docenas

Utilidad = $4900 por semana

soluci n
Solución
  • Variables de decisión

* X1 = Cantidad producida de Space Rays (en docenas por

semana).

* X2 = Cantidad producida de Zappers (en docenas por

semana).

  • Función objetivo

* Maximizar la ganancia semanal.

slide15

Modelo de Programación Lineal

Max 8X1 + 5X2 (ganancia semanal)

Sujeto a:

2X1 + 1X2 <= 1200 (Cantidad de plástico)

3X1 + 4X2 <= 2400 (Tiempo de producción)

X1 + X2 <= 800 (Limite producción total)

X1 - X2 <= 450 (Producción en exceso)

Xj>= 0 , j= 1, 2. (Resultados positivos)

conjunto de soluciones factibles para el modelo lineal
Conjunto de soluciones factibles para el modelo lineal.
  • El conjunto de puntos que satisface todas las

restricciones del modelo es llamado:

REGION FACTIBLE

slide17

USANDO UN GRAFICO SE PUEDEN REPRESENTAR TODAS LAS RESTRICCIONES, LA FUNCION OBJETIVO Y LOS TRES TIPOS DE PUNTOS DE FACTIBILIDAD.

slide18

Restricción del plástico:

2X1+X2<=1200

Restricción del plástico

Restricción del

exceso de producción:

X1-X2<=450

Tipos de puntos de factibilidad

X2

1200

Restricción del total de producción:

X1+X2<=800

No Factible

600

Factible

Horas de

Producción

3X1+4X2<=2400

X1

600

800

  • Punto Inferior
  • Punto Medio

Punto Extremo

slide20

Recalcular la región factible

Utilidad = $ 2,000

comenzar con una ganancia dada de = $2,000...

Entonces aumente la ganancia...

X2

1200

...y continúe hasta que salga de la región factible

Ganancia =$5040

800

600

X1

400

600

800

slide21

X2

1200

Se toma un valor cercano al punto óptimo

800

Región no

factible

600

Feasible

region

Región

Factible

X1

400

600

800

slide22

Resumen de la solución óptima

SpaceRays = 480 docenas

Zappers = 240 docenas

Ganancia = $5040

* Esta solución utiliza todas las materias primas (plástico) y

todas las horas de producción.

* La producción total son 720 docenas (no 800).

* La producción de SpaceRays excede a la de Zappers por solo

240 docenas y no por 450.

slide23

Soluciones óptimas y puntos extremos.

* Si un problema de programación lineal tiene una solución

óptima, entonces esta corresponde a un punto extremo.

  • Múltiples soluciones óptimas.

* Cuando existen múltiples soluciones óptimas implica que la

función objetivo es una recta paralela a uno de los lados

de la región factible.

* Cualquier promedio ponderado de la solución óptima es

también una solución óptima.