Jakość modelu i MNK dla wielu zmiennych objaśniających

1. Jakość modelu i MNK dla wielu zmiennych objaśniających dr Grzegorz Szafrański pokój B106 Termin konsultacji: poniedziałek 13.30-15.00 16.30-17.00

2. Weryfikacja statystyczna • Czy model jest precyzyjnie oszacowany? • Czy zmienna objaśniająca jest statystycznie istotna? • Czy oceny parametrów ai±ta sai są precyzyjne (t=ai/sai)? • Czy wartości teoretyczne są dobrze dopasowane w próbie do wartości zmiennej objaśnianej? • Czy oceny parametrów są stabilne? • Czy spełnione są wszystkie założenia MNK? • Czy nasze wnioskowanie jest zasadne? próba: 2001.01 – 2002.12 T-(K+1)=???

3. Miara błędu SEE yt = pt + et Opieramy miarę błędu na sumie kwadratów reszt: Stet 2=St (yt -pt)2 Nieobciążony estymator wariancji składnika losowego otrzymujemy podobnie jak wariancję reszt z próby: S2 = Stet 2 /(ilość stopni swobody) Ilość stopni swobody obliczamy jako różnicę ilości obserwacji i ilości szacowanych parametrów. błąd standardowy SEE to pierwiastek z tej wariancji

4. Miary dokładności MNK Na całkowitą zmienność igreka SST=St (yt -yśrednie)2 składa się: SST=SSR+SSE St(yt -yśrednie)2 = St(pt-yśrednie)2 +Stet 2 bo (yt -yśrednie)= (pt -yśrednie)+ et i reszty nie są skorelowane z p Współczynnik determinacji R-kwadrat to R2 = SSR/SST=1-SSE/SST R2 = (corr(yt ,pt))2

5. Model popytu (liniowy) • Popyt na bilety do kina (Przykład 1 • Funkcja popytu – paliwa (przykład 3 Maddala r. 4)

6. MNK wiele zmiennych • Model dla wielu zmiennych (interpretacja) • yt=a0+ a1x1t + a2x2t +...+ akxkt + et dla t=1,2,...,T • Zapis macierzowy: • yT x 1 = XT x (k+1)b (k+1) x 1 + e • Po estymacji: • y = Xb + e • Estymator wektora b: • b = (XTX)-1XTY Bo minimalizujemy wyrażenie • Q = eTe= (y-Xb)T (y-Xb) • dQ/db = -2XTy + 2XTXb

7. Warunki stosowalności • Równanie liniowe względem parametrów i zakłóceń • T>K=k+1 (na ogół dużo większe) • Kolumny X liniowo niezależne (wtedy XTX jest macierzą nieosobliwą)

8. Założenia estymatora klasycznej MNK • E(et)=0 • macierz wariancji-kowariancji D2(et)= s2I • Zmienne X są nielosowe (w powtarzanych próbach przyjmują ustalone wartości) Zwykle przyjmuje się również postać rozkładu zmiennej et ~ N(0, s2I)

9. Własności estymatora KMNK Estymator KMNK jest zmienną losową, gdyż jest funkcją zmiennych losowych Jeżeli spełnione są założeniań klasycznej MNK to: Set = 0 i prognozy są nieobciążone E(bi) = bi i estymator jest nieobciążony wariancja estymatora D2(bi) jest najmniejsza (z liniowych estymatorów), metoda MNK jest efektywna Ponadto estymator jest zgodny, (potocznie) im dłuższa próba tym trafniejsza ocena estymatora.

10. Testowanie dokładności ocen parametrów, istotności zmiennych objaśniających wiele zmiennych objaśniających : • yt=b0 + b1x1t + b2x2t + ... + bKxKt + et t=1,2,...,T Założenia o składniku losowym : • E(et) = 0, D(et) = s, et ~ N(0, s2) Test tStudenta Porównujemy wartość bezwzględną statystyki t dla danej zmiennej z wartością krytyczną ta z tablicy wartości krytycznych przy ustalonym niskim poziomie istotności (np. a=0,01). Ho: b1 = 0 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, gdy |t|<ta H1: b1 <> 0 odrzucamy hipotezę zerową na rzecz hipotezy alternatywnej (myląc się raz na 100 prób), gdy |t| ta Jeśli parametr statystycznie nie różni się od 0, to mówimy, że zmienna przy nim stojąca jest statystycznie nieistotna.