cinem tica rotacional
Download
Skip this Video
Download Presentation
Cinemática Rotacional

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 62

Cinemática Rotacional - PowerPoint PPT Presentation


  • 159 Views
  • Uploaded on

Cinemática Rotacional. Loreto A. Mora Muñoz LPSA Viña del Mar. L.A.M.M. Conceptos previos. La cinemática es una rama de la física mecánica, que se encarga del estudio y descripción del movimiento.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Cinemática Rotacional' - declan


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
cinem tica rotacional

Cinemática Rotacional

Loreto A. Mora Muñoz

LPSA

Viña del Mar

conceptos previos
L.A.M.M.Conceptos previos.
  • La cinemática es una rama de la física mecánica, que se encarga del estudio y descripción del movimiento.
  • La cinemática rotacional dice relación con los movimientos en que hay rotación de un objeto respecto de un eje (o punto) central.
ejemplos
L.A.M.M.Ejemplos:
  • El minutero de un reloj análogo rota respecto del centro del reloj.
  • Un automóvil que da la vuelta en una rotonda está girando alrededor del centro de la misma.
  • Los planetas giran en torno al Sol.
variables escalares
L.A.M.M.Variables escalares.
  • Periodo: es el tiempo que demora en dar una vuelta completa (o una revolución)
  • Se le asigna la letra T y se mide en segundos(s) en el sistema MKS.
  • También se puede medir en minutos, horas, dias, años, etc.
ejemplo
L.A.M.M.Ejemplo:
  • ¿Cuánto demora un minutero en dar una vuelta completa al reloj?
  • Como 1(min) es el tiempo que marca el minutero, la vuelta completa al reloj se da en 60(min), por lo tanto el periodo del minutero es T=60(min), o bien T=3600(s).
ejemplo1
L.A.M.M.Ejemplo:
  • Un ciclista demora 2(min) en dar tres vueltas en una rotonda. ¿Cuánto vale el periodo de su movimiento?
  • Si 3vueltas  120(s)

1vuelta  X (s) X = 120*1/3

El periodo del movimiento del ciclista es de 40(s)

variables escalares1
L.A.M.M.Variables escalares:
  • Frecuencia: es la cantidad de vueltas en cierto tiempo. Se denomina con la letra f y su unidad de medida es (1/s) a lo cual se le llama HERTZ (Hz) en el sistema MKS.
  • Se expresa como:
  • También se puede medir en RPM (revoluciones por minuto).
ejemplos1
L.A.M.M.Ejemplos:
  • ¿Cuál es la frecuencia de un motor que da 300 vueltas en 5 (s)?
  • Como : f = 300/5(s),  f = 60 (Hz)
  • Esto significa que da 60 vueltas en un segundo.
ejemplo2
L.A.M.M.Ejemplo:
  • ¿Cuál es el periodo del motor cuya f=60(Hz)?
  • Como sabemos que 60 vueltas  1(s)

entonces: 1 vuelta  X(s)

El periodo del motor es

T = 1/60  T = 0,01667(s)

  • De lo que se deduce que f = 1/T
frecuencia y periodo
L.A.M.M.Frecuencia y Periodo
  • Como vimos en el ejemplo anterior Periodo y frecuencia se relacionan de forma inversa, esto es, mientras uno aumenta el otro disminuye.
  • O bien a mayor frecuencia menor periodo, y viceversa.

Es valido decir que: , o bien:

ejemplo3
L.A.M.M.Ejemplo:
  • Calcule el periodo y la frecuencia del planeta Tierra para su:
  • Rotación sobre su eje
  • Traslación respecto del Sol
soluci n
L.A.M.M.Solución:
  • Como da una vuelta completa en un día, sabemos que: 1(día) = 24(hrs), pero cada hora tiene 3600(s); por lo tanto:

T = 24*3600 (s)  T = 86400 (s)

Luego f = 1/T  f = 1/86400

f = 1,1574 x 10E-5 (Hz)

soluci n1
L.A.M.M.Solución:

b) Sabemos que el planeta demora 365 días en dar la vuelta completa alrededor del Sol. Por lo que T = 365(días)*24(hrs)*3600(s)

Luego T = 31536000 (s)

Entonces f = 1/T  f = 3,17x10E-8 (Hz)

ejemplo4
L.A.M.M.Ejemplo:
  • Un motor gira a 3000rpm ¿Cuánto vale su frecuencia en el Sistema Internacional?
  • Como se dan 3000 vueltas en 1 minuto, se puede decir que:

3000 rev 60 (s)

X rev  1 (s) f = 50 (Hz)

variables angulares
L.A.M.M.Variables Angulares.
  • En un plano cartesiano XY (en metros), podemos decir que un objeto se encuentra en las coordenadas (x,y)=(3,4), o bien podemos indicar su posición diciendo que está a 5(m) y a 36,9º sobre el eje X positivo.
variables angulares1
L.A.M.M.Variables Angulares
  • Posición angular: lugar en que se encuentra un objeto, medido en ángulos. (como el segundo caso del ejemplo anterior).
  • Se le asigna la letra griega θ y su unidad de medida es en radianes(rd), en el sistema MKS.
  • También se puede medir en grados, para lo cual se sabe que: 360º = 2π (rd)
ejemplo de c lculo
L.A.M.M.Ejemplo de cálculo:
  • ¿Cuántos radianes son 90º?
  • Como 360º = 2π (rd)
  • 90º = X (rd) X = 90*2π/360
  • Luego 90º = π/2 (rd)
relaci n entre grados y radianes
L.A.M.M.Relación entre grados y radianes
  • Para una vuelta completa se tiene que:
pero qu es un radi n
L.A.M.M.Pero: ¿Qué es un radián?
  • El radian se define como el ángulo

para el cual el arco comprendido

por dicho ángulo es igual al radio.

  • Entonces la razón (o división) entre el arco y el radio es igual a UNO.
  • Note que por ser una división entre magnitudes de distancia resulta una variable sin unidad de medida (adimensional).
ejemplo5
L.A.M.M.Ejemplo:
  • Se recorre un arco de 30(cm) en una circunferencia de 20(cm) de radio ¿Qué ángulo se abarca?

ángulo (rd) = arco/radio

ángulo = 1,5(rd)

O bien: ángulo = 42,97º

ejemplo6
L.A.M.M.Ejemplo:
  • En una circunferencia de radio 50(cm) Un ángulo de 72º barre un arco de:

a) 125 π (cm)

b) 20 π (cm)

c) 259,2 π (cm)

d) 3600 π (cm)

SOLUCION:

72º* π /180* = ángulo en radianes

Ángulo = 0,4 π (rd)

Luego arco/radio = ang (rd)

Queda: ang (rd) *radio = arco

0,4 π (rd) * 50 (cm) = 20 π (cm)

desplazamiento angular
L.A.M.M.Desplazamiento angular.
  • Desplazamiento angular: se le denomina así al cambio de posición angular.
  • Se le designa Δθ = θf – θi
  • Es la diferencia entre la posición angular final y la posición angular inicial. Por tanto se mide también en radianes o grados.
ejemplo7
L.A.M.M.Ejemplo:
  • Un objeto que se encuentra en A, a 90º, gira alrededor de un eje hasta llegar a B, a 210º, como muestra la figura. ¿Cuánto vale su desplazamiento angular?

Como: Δθ = θf – θi

Δθ = 210º – 90º  Δθ = 120º

Como 360º = 2π (rd)  120º = 2π/3 (rd) = Δθ

rapidez angular
L.A.M.M.Rapidez Angular
  • Rapidez (o velocidad) angular: es el desplazamiento angular efectuado en cierto intervalo de tiempo. Se expresa como:

ω = Δθ/Δt

  • Su unidad de medida en el sistema MKS es el radian/segundos (rd/s)
  • También se puede medir en grados/seg.
ejemplo8
L.A.M.M.Ejemplo:
  • Para una circunferencia de 3(cm) de radio, se recorre un arco de 5(cm) en apenas 4(s). ¿Cuánto vale la rapidez angular para este movimiento?
  • Arco/radio = ang (rd)  ángulo = 1,67 (rd)

Por lo tanto: ω = 1,67(rd) / 4 (s)

ω = 0,4167 (rd/s)

slide27
L.A.M.M.MCU
  • El Movimiento circular uniforme es aquel en el que la rapidez angular ω es constante.
  • Para este tipo de movimiento rotacional si ω es constante, entonces significa que el cambio en la posición angular es el mismo en iguales intervalos de tiempo.
slide28
L.A.M.M.MCU
  • Por ejemplo si un ventilador de paletas gira con MCU dando 5 vueltas en 0,2 (s):
  • ¿Cuánto vale su periodo y su frecuencia?
  • ¿Cuánto vale su ω?
  • Cuantas vueltas dará en 5 (min)?
soluci n2
L.A.M.M.Solución:
  • Como f = nº vueltas / tiempo, entonces:

f = 5 vueltas / 0,2 (s)  f = 25 (Hz)

Como T = 1/f  T = 0,04 (s)

soluci n3
L.A.M.M.Solución:

b) Como 1 vuelta = 2 π (rd)

Y nos dicen que da una vuelta en 0,04 (s)

Entonces: ω = 2 π (rd) / 0,04 (s)

ω = 157 (rd/s) de aquí se obtiene que: ω = 2 π / T

o bien: ω = 2 π f

soluci n4
L.A.M.M.Solución:

c) Como 5 (min) = 300 (s)

Si da 5 vueltas  0,2 (s)

X vueltas  300 (s)

X = 5*300/0,2  X = 7500 vueltas

slide32
L.A.M.M.MCU
  • Como ω es constante y vale: ω = Δθ/Δt
  • Si ti = 0 (s), entonces despejamos:

ω = Δθ/t  ω*t= Δθ ω*t= θf – θi

Luego queda: ω*t+ θi = θf

es la ecuación de la posición para un objeto que se mueve con MCU

rapidez
L.A.M.M.Rapidez
  • La rapidez, es como se ha visto antes, la distancia recorrida en cierto intervalo de tiempo.
  • Como en el ejemplo anterior, se recorre un arco de 5 (cm) durante 4 (s), entonces la rapidez es V = 5(cm) / 4 (s)

Nos queda: V = 1,25 (cm/s)

rapidez1
L.A.M.M.Rapidez
  • Es la rapidez con que se recorre la circunferencia (o el arco) durante la rotación.
  • Si V = d/t, entonces en una vuelta completa:
  • V = Perímetro / Periodo

, o bien:

cu l es la relaci n entre v y
¿Cuál es la relación entre V y ω?
  • Como ω = 2 π / T
  • Y V = 2 π R /T
  • Al realizar la division V / ω queda:

V = 2 π R /T V / ω = R

ω 2 π /T o bien:

V = ω * R

ejemplo9
L.A.M.M.Ejemplo:
  • Calcule la rapidez con que se recorre una circunferencia de radio 20(cm) si el periodo de dicha rotación es de 1,2 (min)

Como: V = 2πR/T

V = 125,66 (cm) / 72 (s)

V = 1,745 (cm/s)

ejemplo10
L.A.M.M.Ejemplo:
  • ¿Cuál es el periodo de un carrusel que gira a 0,1257(m/s) si el radio del mismo es de 3(m)?

a) 23,866 (s)

b) 18,85 (s)

c) 47,73 (s)

d) 150 (s)

SOLUCION:

2 π R / T = V

Luego: 2 π R / V= T

18,85 (m) / 0,1257 (m/s) = T

T = 149,95 (s) ≈ 150 (s)

aceleraci n angular
Aceleración angular
  • Aceleración angular es el cambio en la rapidez angular en cierto tiempo. Se designa con la letra α y se expresa como:

α = Δω / Δt

  • Su unidad de medida en el sistema MKS es el Radián/segundo cuadrado (rd/s^2)
aceleraci n angular1
Aceleración angular:
  • Por ejemplo: un motor disminuye su frecuencia de 300 rpm a 120 rpm en 15 (s). ¿Cuánto vale la aceleración angular del motor?
soluci n5
Solución:
  • Inicialmente:

Como 300 rev 1 (min)

300 rev  60 (s)

f = 5 (Hz)

  • Luego como: ω = 2 π f  ω = 10 π (rd/s)
soluci n6
Solución:
  • Finalmente:

Como 120 rev 1 (min)

120 rev  60 (s)

f = 2 (Hz)

  • Luego como: ω = 2 π f  ω = 4 π (rd/s)
soluci n7
Solución:
  • Sabemos que:

α = ωf – ωi / t  α = 4 π – 10 π / 15

α = – 6 π / 15

La aceleración angular es α = – 0,4 π (rd/s^2)

es más bien una desaceleración

slide43
L.A.M.M.MCUA
  • Movimiento Circular Uniformemente Acelerado es aquel en que hay aceleración angular constante.
  • Esto significa que en iguales intervalos de tiempo la rapidez angular cambia en iguales valores.
ecuaciones del mcua
L.A.M.M.Ecuaciones del MCUA
  • Como existe aceleración, para cada tiempo hay una velocidad distinta, pero se despeja de la definición de aceleración:

α = Δω / Δt si ti = 0 (s)

Queda: α = Δω / t, despejamos

α*t = ωf – ωi α*t + ωi= ωf

Es la ecuación de la rapidez angular en función del tiempo

ecuaciones del mcua1
L.A.M.M.Ecuaciones del MCUA
  • Como sabemos que: ω*t+ θi = θf
  • Pero ω no es constante, por lo que debemos buscar un valor promedio de ω:

ωprom = ωi+ ωf reemplazamos en la

2 ecuación anterior

y queda: ( ωi+ ωf )*t + θi = θf

2

ecuaciones del mcua2
L.A.M.M.Ecuaciones del MCUA

Despejamos ( ωi+ ωf )*t + θi = θf

el paréntesis 2

ωi *t + ωf *t + θi = θf

2 2

Pero como: α*t + ωi= ωf

Queda: ωi *t + (α*t + ωi)*t + θi = θf

2 2

ecuaciones del mcua3
L.A.M.M.Ecuaciones del MCUA

Despejamos nuevamente el paréntesis:

ωi *t + (α*t + ωi)*t + θi = θf

2 2

ωi *t + α*t*t + ωi*t + θi = θf

2 2 2

Finalmente sumamos términos semejantes:

α*t^2 + ωi *t + θi = θf

2

Es la ecuación de la posición angular en función del tiempo para un objeto que se mueve con MCUA

ejemplo11
L.A.M.M.Ejemplo:
  • ¿Cuantas vueltas dará una rueda en 5 s , si partiendo del reposo su aceleración angular es de 20 (rad/s^2) .
  • Como:

α*t^2 + ωi *t + θi = θf

2

α*t^2 = Δθ20*25 = Δθ = 250 (rd)

2 2

ejemplo12
L.A.M.M.Ejemplo:
  • Si Δθ = 250 (rd) es el ángulo barrido
  • Y como:

2 π (rd) = 1 vuelta

250 (rd) = X vueltas

Nos queda que dio: X = 39,788 vueltas.

cinem tica rotacional cantidades vectoriales
L.A.M.M.

Cinemática Rotacional(cantidades vectoriales)

Loreto A. Mora Muñoz

LPSA

Viña del Mar

sistema de coordenadas
L.A.M.M.Sistema de Coordenadas.
  • Las cantidades vectoriales tienen módulo, dirección y sentido, por lo que necesitamos un sistema de referencia para poder indicar las variables vectoriales en el Movimiento Circular.
  • En este caso se utiliza un sistema de coordenadas que es longitudinal y transversal a la posición del objeto.
slide52
La posición (vector) no esconstanteporquesudirecciónestácambiando!!!!!

En estoscasosesmásconveniente no usar un sistema de coordenadasfijosinousarcoordenadas longitudinal (paralelo al vector R) y transversal (perpendicular al vector R).

vector velocidad
L.A.M.M.Vector Velocidad.
  • Como sabemos velocidad es cambio de posición en cierto tiempo, por tanto:

Para todo el movimiento circular habrá velocidad puesto que siempre hay cambio de posición (vector).

  • La velocidad siempre es tangente a la trayectoria, por lo tanto es perpendicular a R.
velocidad vector
L.A.M.M.Velocidad (vector)
  • Este valor de V (vector) es constante si el movimiento es MCU (con ω constante).
  • V vale:
aceleraci n
L.A.M.M.Aceleración.
  • Existen dos tipos de aceleración:

centrípeta ( o radial)

tangencial (perpendicular a R)

  • Cuando el movimiento es MCU, la velocidad de la partícula permanece constante, y por lo tanto, la partícula no posee aceleración tangencial, pero como la dirección del vector velocidad varia continuamente, la partícula posee aceleración centrípeta.
aceleraci n1
L.A.M.M.Aceleración.
  • Demostración: tomemos un cambio pequeño (ángulo de 8º) para el MCU.
aceleraci n2
L.A.M.M.Aceleración.
  • Demostración: si restamos geométricamente los vectores Vf y Vi, nos queda en verde la dirección de la aceleración centrípeta:

ac = ΔV/Δt

Se llama centrípeta porque

apunta hacia el centro de la circunferencia

aceleraci n centr peta
L.A.M.M.Aceleración centrípeta.
  • El valor de la aceleración centrípeta es:

y como: V = ω * R ,

aceleraci n centr peta1
L.A.M.M.Aceleración centrípeta.
  • La magnitud de la aceleración centrípeta es constante. Sólo su dirección (y sentido) cambian durante la rotación, puesto que siempre apunta al centro de la circunferencia.
ejemplo13
L.A.M.M.Ejemplo:
  • Para una esfera que rota en una circunferencia de radio 50 (cm) se sabe que su rapidez angular es de 3 (rd/s).

a) ¿Cuánto vale su aceleración centrípeta?

b) ¿Cuánto vale su rapidez tangencial?

c) ¿Cuánto vale el periodo de rotación?

soluci n8
L.A.M.M.Solución:
  • Como Ac = ω^2 * R

Entonces: Ac = 9 * 0,5  Ac = 4,5 (m/s^2)

b) Como Ac = V^2  √(Ac * R) = V

R

V = 1,5 (m/s)

soluci n9
L.A.M.M.Solución:

c) Sabemos que V = 2 π R T

Entonces: T = 2 π R

V

 T = 2 π 0,5 (m)

1,5 (m/s)

T = 2,094 (s)

ad