slide1 n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Dane INFORMACYJNE PowerPoint Presentation
Download Presentation
Dane INFORMACYJNE

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 59

Dane INFORMACYJNE - PowerPoint PPT Presentation


  • 201 Views
  • Uploaded on

Dane INFORMACYJNE. Nazwa szkoły: Gimnazjum im. Maksymiliana Krybusa w Książu Wielkopolskim ID grupy: 98/80_MF_G1 Kompetencja: Matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Twierdzenie Pitagorasa Semestr/rok szkolny: Semestr V / rok szkolny 2011/2012.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

Dane INFORMACYJNE


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
    Presentation Transcript

    1. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • Gimnazjum im. Maksymiliana Krybusa w Książu Wielkopolskim • ID grupy: • 98/80_MF_G1 • Kompetencja: • Matematyczno-fizyczna • Temat projektowy: • Twierdzenie Pitagorasa • Semestr/rok szkolny: • Semestr V / rok szkolny 2011/2012

    2. PITAGORAS Narodowość: grecka Data i miejsce urodzenia:  ok. 572-569 p.n.e. wyspa Samos Data i miejsce śmierci:  ok. 497-475 p.n.e. Metapont

    3. PITAGORAS Pitagoras urodził się w rodzinie kupieckiej na greckiej wyspie Samos. W młodości wiele podróżował, a w wieku ok. 40 osiadł w greckiej kolonii na południu Italii w mieście Krotona. Był filozofem, etykiem, politykiem i matematykiem. Założył w Krotonie szkołę zwaną Związkiem Pitagorejskim, która dała podwaliny nurtowi filozofii zwanemu dziś pitagoreizmem. Była to dominująca doktryna intelektualna przez cały okres starożytności. Pitagorejczycy zajmowali się głównie geometrią i teorią liczb. Tu narodziły się i zostały skutecznie rozwiązane trzy wielkie problemy matematyki starożytnej: podwojenie sześcianu, trysekcja kąta (czyli jego podział na trzy równe części) oraz kwadratura koła - warunek, aby konstrukcje te wykonać za pomocą samego cyrkla i linijki (co jest niemożliwe), pojawił się dopiero w czasach Platona. Po wygnaniu z Krotony pod koniec życia Pitagoras zamieszkał w Metaponcie, gdzie przebywał aż do śmierci.

    4. PITAGORAS życie i działalność Pitagoras nie zostawił po sobie żadnych pism. O jego dokonaniach dowiadujemy się z dzieł filozofów greckich żyjących ponad 200 lat później (m. in. Diogenesa, Porfiriosa czy Jamblichosa). Nie jest nawet możliwe dokładne ustalenie lat jego życia.Wiadomo, że w młodości odwiedził m.in. Indie, Egipt, Syrię i Mezopotamię, gdzie zetknął się z tamtejszymi systemami filozoficzno-religijnymi. W Jonii był uczniemTalesa. Poza filozofią (w tym głównie etyką i matematyką) interesował się astronomią (twierdził, że Ziemia jest kulista i istnieje w "kosmosie") i medycyną (uważa się go za twórcę medycyny holistycznej, czyli leczenia polegającego na przywróceniu choremu równowagi psychofizycznej na podstawie analizy jego otoczenia, relacji z ludźmi, zachowań, nawyków, a nawet snów). Po rozpadzie Związku Pitagorejskiego spowodowanego odkryciem liczb niewymiernych Pitagoras został wypędzony z Krotony, jego szkoła została spalona, a on sam do końca życia przebywał na wygnaniu w Metaponcie. Jednak idee pitagoreizmu przetrwały jeszcze kilka stuleci i wywarły trwałe piętno na rozwoju nauki.

    5. Pitagoreizm (1) Główną ideą tego poglądu filozoficznego było przekonanie o istnieniu harmonii - siły, która utrzymuje cały świat, nie wyłączając bogów. Najwyraźniej można ją było zaobserwować w muzyce, astronomii, arytmetyce i geometrii (te dyscypliny jeszcze przez całe Średniowiecze wykładane były na wyższych uczelniach, jako drugi stopień wiedzy naukowej, tzw. quadrivium, pierwszy stopień, tzw. trivium: stanowiły gramatyka, retoryka i dialektyka). W okresie początkowego rozkwitu pitagoreizmu zajmowano się głównie arytmetyką. Hasło tego okresu brzmiało: "Wszystko jest liczbą". Kiedy jednak odkryto odcinki o długości niewymiernej, czyli takie, których nie dało wyrazić się liczbą (Grecy znali wówczas tylko dodatnie liczby wymierne), podważyło to podstawy doktryny.

    6. Pitagoreizm (2) Nastąpił czas załamania i rozpadu pitagoreizmu. Powstały dwa zwalczające się ugrupowania: akuzmatyków (tzn. słuchaczy), którzy wybrali drogę mityczno-religijną, uznali, że tajemnica harmonii jest dla człowieka nie do zgłębienia i należy jedynie nasłuchiwać podszeptów niebios na jej temat, oraz matematyków (tzn. badaczy), którzy postanowili odwrócić się od zdradliwych liczb i badać harmonię figur geometrycznych (ich hasło brzmiało: "Liczby zostawmy kupczykom", a symbolem stał się pentagram, czyli pięciokąt gwiaździsty - do dziś 1/3 państw ma go w swoim godle). Ruch akuzmatyków przetrwał kilkaset lat, ale nie wniósł nic istotnego do rozwoju nauki. Doktryna matematyków całkowicie zdominowała naukę starożytną. Poglądy te powróciły w Średniowieczu pod nazwą panteizmu.

    7. Związek Pitagorejski (1) Założony przez Pitagorasa związek miał ,jak wszystkie instytucje naukowe tamtego okresu, przede wszystkim charakter etyczno-religijny . Należeć mogli do niego tylko wtajemniczeni. Podstawą przyjęcia był pięcioletni okres próbny. Co ciekawe, nie istniały ograniczenia ze względu na płeć.

    8. Związek Pitagorejski (2) Przynależność do Związku wymagała pełnego utożsamienia się z jego regułami (co zapewniało realizację głównego celu - oczyszczenia duszy i zbliżenia do bogów), wśród których były m.in. takie: • śluby milczenia o nauczanych teoriach, • posłuszeństwo wobec przełożonych, • śluby milczenia o zdobywanej wiedzy, • uznanie wspólnoty dóbr członków ruchu (każdy automatycznie oddawał swe dobra do użytku wspólnego i mógł korzystać ze wspólnych środków, a gdy odchodził ze wspólnoty, otrzymywał dwa razy tyle dóbr, ile wniósł), • zakaz jedzenia fasoli, znęcania się nad zwierzętami i poprawiania mieczem ognia, • obowiązek uczestnictwa w misteriach, • poświęcenie się zgłębianiu wiedzy i pracy naukowej.

    9. Twierdzenia i odkrycia (1) Dla uczczenia swojego nauczyciela wiele własnych odkryć pitagorejczycy nazywali jego imieniem. Trudno dziś jednoznacznie określić, kto jest autorem jakiego wyniku. W pierwszym okresie działalności Pitagorejczycy uporządkowali terminologię geometryczną (wprowadzając pojęcia, które w niezmienionym kształcie przetrwały do dziś, m.in. punktu, prostej, równoległości, prostopadłości, płaszczyzny, odcinka, kąta w tym wpisanego, dopisanego i środkowego, figur przystających i podobnych), uporządkowali też i dowiedli wiele faktów z zakresu arytmetyki i geometrii.

    10. Twierdzenia i odkrycia (2) Dokonania pitagorejczyków znane są z jedynego zachowanego dzieła pt. Elementynapisanego przez Hipokratesa z Chios (nie należy mylić autora - z Hipokratesem z Kos - patronem lekarzy). Hipokratesa z Chios wyrzucono ze Związku Pitagorejskiego za nauczania geometrii za opłatą. Jemu też przypisuje się wyjawienie w odwecietajemnicy istnienia odcinków bez długości ,czyli o długości niewymiernej, która doprowadziła do rozłamu wśród pitagorejczyków.

    11. Twierdzenia i odkrycia (3) Pitagorejczycy badali własności liczb: • występujących w muzyce (Pitagoras zbudował jednostrunowy instrument, za pomocą którego badał zależności pomiędzy dźwiękami) i odkryli, że skrócenie struny w stosunku 1:2, 2:3 i 3:4 daje przyjemne współbrzmienie - te interwały muzyczne nazywamy dziś oktawą, kwintą i kwartą, • parzystych i nieparzystych, • doskonałych (są równe sumie swoich dzielników mniejszych od samej liczby, np. 6, 28, 496), • zaprzyjaźnionych (pary liczb, w których suma dzielników jednej daje drugą i na odwrót, np. 220 i 284, 1184 i 1210, 6232 i 6368, 9363584 i 9437056), • występujących w geometrii, np. liczb trójkątnych, kwadratowych i innych wielokątnych oraz liczb gnomicznych (tzn. dających równoramienną literę L - są to wszystkie liczby nieparzyste), o tych ostatnich udowodnili, że są różnicami kolejnych liczb kwadratowych, • złotej i figur, w których występuje, • trójek pitagorejskich (odkryli wzór opisujący wszystkie takie liczby).

    12. Twierdzenia i odkrycia (4) Pitagorejczycy wśród zagadnień geometrycznych badali własności: • wielokątów foremnych (wykazali, że płaszczyznę można wyparkietować tylko kwadratami i trójkątami lub sześciokątami foremnymi, określali sumę kątów dowolnego wielokąta, znali konstrukcję n-kątów foremnych dla n = 3, 4, 5, 15 i ich iloczynów przez dowolne potęgi dwójki), • wielościanów foremnych (każdemu przypisali jeden żywioł: czworościanowi foremnemu - ogień, sześcianowi - ziemię, ośmiościanowi - powietrze, dwudziestościanowi - wodę, dwunastościan, który został odkryty dużo później, symbolizował wszechświat), • koła i kuli, • figur i brył podobnych.

    13. Problemy delijskie Do historii przeszły badane (i z powodzeniem rozwiązane przez pitagorejczyków), tzw. problemy delijskie. Ich nazwa wzięła się stąd, że gdy na wyspie Delos wybuchła zaraza, wysłani do Pytii Delfijskiej posłowie przywieźli proroctwo, że aby położyć jej kres, należy powiększyć dwukrotnie ołtarz Apollina, który miał kształt sześcianu. Powstało więc pytanie, jaką krawędź powinien mieć nowy sześcian, aby jego objętość była dwukrotnie większa. Zagadnienie to znane jest pod nazwą podwojenia sześcianu. Później dołączyły do niego jeszcze dwa: trysekcji kąta (czyli podziału danego kąta na trzy równe części) i kwadratury koła (czyli skonstruowaniu kwadratu o polu równym polu danego koła). Zadania te nazwano trzema wielkimi problemami starożytności, gdyż w czasach Platona do warunków zadania dodano ograniczenie, że konstrukcje te należy wykonać cyrklem i linijką. Dwa tysiące lat zajęło matematykom wykazanie, że w takiej wersji problemy delijskie nie mają rozwiązania.

    14. TWIERDZENIE PITAGORASA

    15. Trójkąt prostokątny Jeśli jeden kąt w trójkącie jest prosty, to pozostałe kąty są ostre. Żaden z nie może być ani prosty, ani większy od prostego, bo byłby to trójkąt, w którym suma kątów byłaby większa od 180°. Boki trójkąta prostokątnego nazywa się w taki sposób, aby było wiadomo, jakie jest ich położenie względem kąta prostego w tym trójkącie. Tak więc bok leżący naprzeciwko kąta prostego nazywa się przeciwprostokątną, a każdy z dwóch boków leżących na ramionach kąta prostego nazywa się przyprostokątną. W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem.

    16. Twierdzenie Pitagorasa W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta. Zgodnie z oznaczeniami na rysunku obok zachodzi tożsamość 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 Geometrycznie oznacza to, że jeżeli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy kwadraty, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych tego trójkąta będzie równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. W sytuacji na rysunku obok: suma pól kwadratów "czerwonego" i "niebieskiego" jest równa polu kwadratu "fioletowego".

    17. Twierdzenie Pitagorasa w uczniowskiej liryce "Ten Pitagoras to mądry Grek,ważne twierdzenie nam kiedyś rzekł:Gdy prostokątny to trójkąt jest,to suma kwadratów przyprostokątnych jego,równa się kwadratowi przeciwprostokątnej trójkąta danego.Tymi słowami wyjaśnił nam treść,która w nauce dość ważna jest.

    18. Ciekawostki i anegdoty Legenda głosi, że Pitagoras ofiarował bogom 100 wołów jako wyraz wdzięczności za odkrycie własności trójkątów prostokątnych. Warto przypomnieć, że twierdzenie to znane było już w Babilonii i Egipcie, gdzie służyło do wytyczania kątów prostych ,świadczą o tym zachowane tabliczki z pismem klinowym.

    19. Dowody twierdzenia pitagorasa Liczba różnych dowodów twierdzenia Pitagorasa jest bardzo duża – Euklides w Elementach podaje ich osiem, kolejne pojawiały się na przestrzeni wieków i pojawiają aż po dni dzisiejsze. Niektóre z dowodów są czysto algebraiczne (jak dowód z podobieństwa trójkątów), inne mają formę układanek geometrycznych (prawdopodobny dowód Pitagorasa), jeszcze inne oparte są o równości pól pewnych figur.

    20. Układanka dowód twierdzenia pitagorasa Szczepan Jeleński w książce Śladami Pitagorasa przypuszcza, że w ten sposób mógł udowodnić swoje twierdzenie sam Pitagoras. Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości a ,b i c jak na rysunku z lewej. Konstruujemy kwadrat o boku długości a + b w sposób ukazany na rysunku z lewej, a następnie z prawej. Z jednej strony pole kwadratu równe jest sumie pól czterech trójkątów prostokątnych i kwadratu zbudowanego na ich przeciwprostokątnych, z drugiej zaś równe jest ono sumie pól tych samych czterech trójkątów i dwóch mniejszych kwadratów zbudowanych na ich przyprostokątnych. Stąd wniosek, że pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych.

    21. dowód autorstwa Bhaskara II słynnego matematyka hinduskiego z XII wieku Ponoć autor tego dowodu Pitagorasa pod rysunkiem napisał: "patrz".

    22. dowód autorstwa Bhaskara II słynnego matematyka hinduskiego z XII wieku • Żeby nie było żadnych wątpliwości, przedstawiamy zapis matematycznym do rysunku . Jest to równości: z którego wynika niezbicie twierdzenie Pitagorasa oczywiście:

    23. Dowód Euklidesa Twierdzenia Pitagorasa - z przystawania Następujący dowód znajduje się w Elementach Euklidesa i oparty jest na spostrzeżeniu, że pola dwu mniejszych kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych trójkąta prostokątnego △ ABC są równe polom odpowiednich prostokątów na jakie wysokość CD dzieli kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej. Dla dowodu zauważmy, że pole kwadratu □ ACJK jest równe podwojonemu polu trójkąta △ KAB – podstawą trójkąta △ KAB jest bok KA kwadratu, a wysokość trójkąta jest równa bokowi CA tego kwadratu. Podobnie, pole prostokąta AEGD jest równe podwojonemu polu trójkąta △ CAE– podstawą trójkąta △ CAE jest bok AE prostokąta, a wysokość trójkąta jest równa bokowi EG prostokąta. Jednak trójkąty △ KAB i △ CAE są przystające, co wynika z cechy "bok-kąt-bok" – KA = CA , AB = AE i kąt ∡KAB jest równy kątowi ∡ CAE– a zatem mają równe pola, skąd wynika, że pole kwadratu □ ACJK jest równe polu prostokąta AEGD. " Analogicznie, rozważając trójkąty △ CBF i △ HBA można udowodnić, że pole kwadratu□ CBHI jest równe polu prostokąta BFGD. Stąd, suma pól obu kwadratów równa jest polu kwadratu □ AEFB .

    24. Rysunki do dowodów euklidesa

    25. Rysunki do dowodów euklidesa

    26. Rysunki do dowodów euklidesa

    27. Przez podobieństwo Jest to jeden z dowodów podanych przez Euklidesa, wykorzystuje on podobieństwo trójkątów. Zauważmy, że na rysunku obok trójkąty: "duży" –△ ABC , "różowy" – △ ADC i "niebieski" –△ DBC są podobne. Niech AB= c , BC= a i AC= b. Można napisać proporcje: Stąd: i po dodaniu stronami:

    28. Dowód Nassir–ed-DinaTwierdzenia Pitagorasa

    29. Dowód Hoffmana Twierdzenia Pitagorasa

    30. Dowód Renana Twierdzenia Pitagorasa

    31. Dowód Wernera Twierdzenia Pitagorasa

    32. Dowód Marrego Twierdzenia Pitagorasa

    33. II Dowód Marrego Twierdzenia Pitagorasa

    34. Dowód Reichenberga Twierdzenia Pitagorasa

    35. Dowód Garfielda Autorem tego dowodu twierdzenia Pitagorasa jestJames Garfield, dwudziesty prezydent Stanów Zjednoczonych. Pochodzi z roku 1876 i przebiega następująco: na przyprostokątnej BC= 𝑎 danego trójkąta prostokątnego △ ABC odkładamy CD =AB= 𝑏 , a następnie na prostej ED równoległej do AB odkładamy BC =𝑎. Trójkąt △ ACE jest prostokątny i równoramienny, a jego pole wynosi są równe (trójkąty te są przystające) i wynoszą w sumie pola trójkątów i o polu Trzy wspomniane trójkąty tworzą trapez Stąd równości:

    36. Twierdzenie figuralne • Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma pól dowolnych figur podobnych zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu figury podobnej do poprzednich zbudowanej na przeciwprostokątnej (dowód jest łatwy, wystarczy rozważyć skale podobieństwa figur i skorzystać ze zwykłego twierdzenia Pitagorasa).

    37. Dowód hinduski Weź dowolny trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a i b oraz przeciwprostokątnej c. Z czterech takich trójkątów ułóż kwadrat o boku a + b. Wewnątrz tego kwadratu powstaje niezacieniowany kwadrat o boku c. Przesuńmy wewnątrz kwadratu o boku a + b dwa trójkąty, tak jak na rysunku. Teraz niezacieniowany jest ten obszar dwóch kwadratów: jednego o boku a, a drugiego o boku b. A przecież niezacieniowane pole ma tę samą powierzchnię, co poprzednio. A więc a2 + b2 = c2.

    38. Dowód chiński Znowu zacznijmy od trójkąta prostokątnego a, b i c. Dowód zaczyna się od ustawienia obok siebie kwadratów o boku a i o boku b. Kolejne przekształcenia, które nie zmieniają pola, przekształcają pola obu kwadratów na pole jednego kwadratu o boku c.

    39. Wersja przestrzenna • W czworościanie prostokątnym (tzn. takim, gdzie 3 krawędzie wychodzące z pewnego wierzchołka są parami prostopadłe) suma kwadratów pól trzech ścian przyprostokątnych (tzn. leżących przy kącie prostym czworościanu) jest równa kwadratowi pola ściany przeciwprostokątnej. PΔAOB2 + PΔAOC2 + PΔBOC2 = = (1/2·AB·h)2 + (1/2·OA·OC)2 + (1/2·OB·OC)2 == (1/2·AB·h)2 + 1/4·OC2(OA2 + OB2) = =1/4·AB2·h2 + 1/4·OC2·AB2 = = 1/4·AB2(h2 + OC2) = 1/4·AB2·H2 = (1/2·AB·H)2 = PΔABC2

    40. Dowód na posadzce (1) Czasem patrzysz na kafelki na podłodze - takie jak na rysunku - i nawet nie zdajesz sobie sprawy, że ukryte w tych kafelkach jest jedno z najsłynniejszych twierdzeń w matematyce - twierdzenie Pitagorasa.

    41. Dowód na posadzce (2) No i na koniec wyjaśnienie tajemnicy posadzki. Na pierwszym rysunku na posadzce były tylko kwadraty o bokach - nazwijmy je - a i b. Czy potrafisz na tej posadzce dostrzec trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a i b? Oznaczmy długość przeciwprostokątnej w takim trójkącie c. Teraz posadzka została przykryta kwadratowymi kafelkami o boku c. Spójrz na zaznaczone cztery trójkąty prostokątne o bokach a, b i c. Pokazują one, że te duże kafelki rzeczywiście są kwadratami o boku c. Wyobraź sobie „bardzo dużą” posadzkę z bardzo wieloma kafelkami. Czy widzisz, że potrzeba na nią tyle samo kwadratowych kafelków o boku a co o boku b? Czy widzisz, że ta sama liczba kwadratowych kafelków o boku c pokryje tę podłogę? A więc powierzchnia dwóch mniejszych kafelków kwadratowych jest taka sama, jak powierzchnia dużego kafelka o boku c.

    42. Twierdzenie odwrotne do twierdzenia pitagorasa Jeśli dane są trzy dodatnie liczby 𝑎,𝑏 i 𝑐 takie, że 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2, to istnieje trójkąt o bokach długości 𝑎,𝑏 i 𝑐 a kąt między bokami o długości 𝑎 i 𝑏 jest prosty. Najprawdopodobniej twierdzenie to wykorzystywane było w wielu starożytnych kulturach Azji (Chinach, Indiach, Babilonii) i Egipcie do praktycznego wyznaczania kąta prostego. Wystarczy bowiem zbudować trójkąt o bokach długości 3, 4 i 5jednostek, aby uzyskać kąt prosty między bokami o długościach 3 i 4.

    43. Twierdzenie pitagoras a rodzaje trójkątów Wzór Pitagorasa pozwala określić rodzaj trójkąta bez mierzenia jego kątów – wystarczy jedynie obliczyć kwadraty długości jego boków i porównać kwadrat najdłuższego boku z sumą kwadratów pozostałych dwóch. Jeśli obie wartości są równe, mamy do czynienia z trójkątem prostokątnym. Jeśli suma jest mniejsza, trójkąt jest rozwartokątny a jeśli suma jest większa , trójkąt jest ostrokątny.

    44. powiązania Einsteinowskiej teorii względności czasu z twierdzeniem Pitagorasa (1) W książce Jeya Oreara pt. "Fizyka tom 1" w rozdziale 8.3 Dylatacja czasu str. 133 znajduje się opis wyprowadzenia wzoru na dylatację czasu za pomocą teoretycznej konstrukcji dwóch zegarów świetlnych: zegara A nieruchomego i zegara B poruszającego się z prędkością V jak na rysunku .

    45. powiązania Einsteinowskiej teorii względności czasu z twierdzeniem Pitagorasa (2) Konstrukcja teoretyczna zegarów słonecznych, użytych do wyprowadzenia wzoru na dylatację czasu.Zegary te są wyidealizowane, to znaczy z zwierciadłami doskonale odbijającymi światło. W chwili t = 0[s] w zegarze A oraz B wysłany został impuls świetlny, jednakże impuls ten w zegarze B patrząc z perspektywy układu odniesienia związanego z zegarem A musi przebyć dłuższą drogę równą cT. Jak wynika z rysunku możliwe jest napisanie następującej równości będącej oczywiście zastosowaniem twierdzenia Pitagorasa: Równanie należy przekształcić wyznaczając z niego T w następujący sposób: • należy przekształcić wyznaczając z niego T w następujący sposób: Znając upływ czasu w układzie związanym z zegarem A można obliczyć upływ czasu zaobserwowany w tymże układzie w zegarze B.

    46. Powiązania twierdzenia Pitagorasa z funkcjami trygonometrycznymi - czyli jak to ludzie twierdzenie Pitagorasa przemienili w jedynkę trygonometryczną. Dzieląc obustronnie wzór Pitagorasa przez c2 uzyskuje się następujące równanie: Do równania należy przypomnieć sobie dwa następujące podstawowe wzory trygonometryczne: Wzory podstawiamy do równania i jedynka trygonometryczna jest gotowa.

    47. Wzory geometryczne wyprowadzone za pomocą twierdzenia Pitagorasawysokość trójkąta równoramiennego

    48. Wzory geometryczne wyprowadzone za pomocą twierdzenia Pitagorasana pole powierzchni trójkąta równoramiennego

    49. 30° c 60° W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym 30° i przeciwprostokątnej c , przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta 30° jest równa (połowa przeciwprostokątnej), a druga przyprostokątna (wysokość trójkąta równobocznego o boku c).