Himpunan

1. Himpunan Oleh : Devie Rosa Anamisa

2. Pengertian • Kumpulan dari objek-objek yang berbeda • Digunakan untuk mengelompokkan sejumlah objek. • Objek-Objek dalam Himpunan dapat berupa: • Elemen • Unsur • Anggota • Contoh : A= {1,2,3,4} • Menggambarkan himpunan A terdiri dari 4 anggota/unsur/elemen yaitu 1,2,3, dan 4.

3. Jika sebuah himpunan berukuran besar atau tak terbatas, bisa digambarkan dengan mendaftar sifat yang diperlukan untuk menjadi anggota. • Contoh: B = { x|x bil. Bulat genap positif}

4. Karakteristik Himpunan • Well-defined • Sebuah himpunan dikatakan well-defined, jika secara definitif dapat dinyatakan apakah suatu objek merupakan elemen atau bukan elemen dari himpunan tersebut. • Misal : • S = {beberapa bilangan asli}, maka S bukan merupakan himpunan yang well-defined sebab tidak dapat dinyatakan apakah 5 Є S, ataukah 5 Є S. • S ={empat bil. Asli pertama}, maka elemen-elemen S dapat disebutkan secara definitif, yakni 1,2,3 dan 4.

5. Ekspresi Himpunan • Sebuah himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan sifat-sifatnya, atau dengan mendaftar elemen-elemennya. • Misalnya, himpunan bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan 5, dapat dinyatakan sebagai {2,3,5}, atau {x|x bilangan prima ≤ 5} • Sebuah himpunan S tersusun atas elemen-elemen, dan jika a merupakan salah satu elemennya, maka dapat dinotasikan a∈S • Ada tepat satu himpunan yang tidak memiliki elemen, yang disebut sebagai himpunan kosong, dan dinotasikan sebagai Ф.

6. Cara Penyajian Himpunan • Enumerasi Elemen • Artinya menuliskan semua elemen himpunan yang bersangkutan, diantara 2 buah tanda kurung kerawal • Biasanya suatu himpunan diberi nama dengan menggunakan huruf kapital maupun dengan menggunakan simbol simbol lainnya • Contoh: • Himp. A berisi 4 buah bil. Asli pertama dapat ditulis sebagai : A = {1,2,3,4}

7. Simbol-simbol baku • Terdapat sejumlah simbol-simbol baku yang biasa digunakan untuk mendefinisikan himpunan yang sering digunakan antara lain: • P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... } • N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... } • Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } • Q = himpunan bilangan rasional • R = himpunan bilangan riil • C = himpunan bilangan kompleks • Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U. • Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.

8. Notasi Pembentuk Himpunan • Notasi : {x|syarat yang harus dipenuhi oleh x} • Aturan dalam penulisan syarat keanggotaan: • Bagian dikiri tanda ‘|’ melambangkan elemen himpunan • Tanda ‘|’ dibaca dimana atau sedemikian sehingga. • Bagian dikanan tanda’|’ menunjukkan syarat kenaggotaan himpunan • Setiap tanda’,’ didalam syarat keanggotaan dibaca sebagai dan.

9. Contoh : • A adalah himpunan bilangan bulat posistif yang kecil dari 5, dinayatkan sebagai: • A={x|x adalah bilangan bulat positif yang kecil dari 5} • A={x|xЄP, x<5} • A={1,2,3,4} • B adalah himpunan bil. Genap positif yang lebih kecil atau sama dengan 8, dinyatakan sebagai: • B={x|x adalah himpunan genap positif lebih kecil atau sama dari 8} • B={x|x/2 Є P, 2 ≤ x ≤ 8} • B={2,4,6,8}

10. Diagram Venn • Menyajikan himpunan secara grafis • Didalam diagram venn himpunan semesta (U) digambarkan sebagai suatu segi empat sedangkan himpunan lainnya digambarkan sebagai lingkaran didalam segi empat tersebut. • Misal : U={1,2,...,7,8}, A={1,2,3,5}, B={2,5,6,8}

11. Relasi Himpunan • Himpunan Bagian • Sebuah himpunan B merupakan himpunan bagian (subset) dari himpunan A dan dinotasikan ”B⊆A” atau ”A⊇B”, jika setiap elemen B merupakan elemen A. • Sejati dan Tak Sejati • Untuk setiap himpunan A, A dan Ф keduanya merupakan himpunan bagian pada A. A disebut sebagai himpunan bagian tak sejati (improper subset), sedangkan himpunan bagian lainnya disebut himpunan bagian sejati (proper subset) • Misalkan S ={a,b,c}, maka S memiliki 8 macam himpunan bagian yakni Ф, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}. • Himpunan Sama • Himpunan A dan B dikatakan sama (dinotasikan A=B) jika dan hanya jika A⊆B dan B⊆A, atau A=B↔ A⊆B dan B⊆A. • Contoh : Himpunan A={1,2,3,4} dan B={3,2,4,1} adalah himpunan yang sama

12. Kardinalitas • A merupakan himpunan yang elemen-elemennya berhingga banyaknya. • Jumlah elemen A disebut kardinal dari himpunan A • Notasi : n(A) atau |A| • Contoh : • B={x|x merupakan bil. Prima yang lebih kecil dari 20}, maka B={2,3,5,7,11,13,17,19}, n(B)=8

13. Himpunan Kosong • Himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinal =0 disebut himpunan kosong • Notasi : Ф atau { } • Contoh : • E = {x|x<x}, maka n(E)=0 • P={orang indonesia yang pernah ke bulan}, maka n(P)=0

14. Himpunan Yang Ekiuvalen • Himpunan A dikatakan ekiuvalen dengan himpunan B • Jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama. • Notasi : A~B ↔ |A| = |B| • Contoh : • Jika A ={1,3,5,7} dan B={a,b,c,d}, maka A~B

15. Himpunan Saling Lepas • Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (Disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama. • Notasi : A ⁄⁄ B • Contoh: A={x|x Є P, x <8} dan B {20,30,...} maka A ⁄⁄ B.

16. Himpunan Kuasa • Disebut powerset • Suatu himpunan A yang elemen merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri. • Notasi: P(A) atau 2^A • Contoh: A ={1,2} maka P(A)={{ },{1},{2},{1,2}} n(A)=4

17. Operasi Terhadap Himpunan • Irisan (intersection) • Adalah himpunan yang setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A dan himpunan B. • Notasi : A ∩ B = { x | x Є A dan x Є B}

18. Gabungan (union) • Adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B • Notasi : AUB = {x|xЄA atau xЄB}

19. Komplemen (-) • Adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen U yang bukan himpunan A dan bukan himpunan B. • Notasi : Â = { x | x Є U dan x Є A dan x Є B}

20. Selisih (A-C) • Adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen A dan bukan elemen C. • Notasi : A –C = {x|xЄA dan x ЄC}=A ∩Ĉ

21. Beda Setangkup (Symmetric Difference) • Adalah suatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B tetapi tidak pada keduanya. • Notasi : A Θ B = (A U B) – (A ∩ B)= (A-B) U (B-A)

22. Perkalian Kartesian • Himpunan yang elemennya semua pasangan berurutan (ordered pairs) yang mungkin terbentuk dengan komponen pertama dari himpunan A dan kedua dari himpunan B. • Notasi : A x B = {(a, b)| a Є A dan b Є B} • Misal : C ={1,2,3} dan D ={a,b} maka C x D ={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}

23. Hukum identitas : A U Ф = A A ∩ U = A Hukum komplemen : A U Â = U A U Â = Ф Hukum Involusi = (Ā) A Hukum Null A ∩Ф = Ф A U U = U Hukum Idempoten A U A = A A ∩ A = A Hukum Penyerapan A U (A ∩B) = A A ∩ (A UB) = A Sifat-sifat operasi Himpunan Hukum demorgan : (AUC) = Ā ∩ Ĉ

24. Soal • Jika A={1,3,5} dan B={4,5,6}, maka: • A U B • A ∩ B • A – B • B – A • A={a,b,c} maka berapa P(A)! • Jika x ={1,2,3} dan y ={a,b} maka perkalian kartesiannya: • x.y • y.x • y.y • |x|.|y|

25. 4. Jika A={1,4,7,10},B={1,2,3,4,5}, C={2,4,6,8} a. A ∩ B U C b. B ∩ U c. (AUB) - (C-B) d. A ∩ (B U C) 5. A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil import E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu, maka (E ∩ A) U (E ∩B)!

26. 6. Jika A = {(x, y) | x + y=7,x,y Є R} B = {(x, y) | x - y=3,x,y Є R} maka A x B x C ! 7. A ={1,2}, B={a,b}, C={α,β} maka A x B x C!